Intégrales généralisées PDF 10 sept. 2020 un intervalle

Chapitre 7 : Intégrales généralisées

Chapitre 7 : Intégrales généralisées. 1 Introduction. Nous avons pour le moment considéré l'intégration de fonctions continues par morceaux.

Intégrales Généralisées

Comparaison Séries et Intégrales Généralisées. Fonctions localement intégrables. Intégrale d'une fonction sur un intervalle semi-ouvert. Relation de Chasles.

Résumé intégrales généralisées

3 nov. 2013 Étudier la nature d'une intégrale c'est dire si elle converge ou si elle diverge. Remarques. (a) Si b est réel et si f admet une limite finie ...

INTEGRALES GENERALISEES

INTEGRALES GENERALISEES. I. Généralités. Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des.

Intégrales Généralisées

Intégrales Généralisées. Exercice 1. Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : 1 = ? 3 ? .

Intégrales Généralisées

Sinon on dit que l'intégrale généralisée est divergente. Exemple(s). • f(t) = e?t : l'intégrale de f sur [0+?[ est convergente et.

Exercices sur les intégrales généralisées

dx. (1 + x2)(1 + x?) . Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.

Chapitre 01 : Intégrales généralisées

Critères de convergence pour les fonctions positives : Dans ce paragraphe nous allons affirmer que certains intégrales généralisées convergent

Intégrales généralisées

10 sept. 2020 un intervalle I d'extrémités ?? ? a < b ? +?. Si les intégrales généralisées ? b a f et ? b a g convergent alors pour tout ?

Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x a x

Chapitre 23 - Intégrales généralisées - 23 Chapitre - StuDocu

Intégrales Généralisées Hamid Boua Faculté pluridisciplinaire-Nador-Module: Analyse 2 SMP-SMC 26 mai 2021 Pr Boua Hamid (UMP) FPN 26 mai 2021 1 / 28

INTEGRALES GENERALISEES - univ-rennes1fr

INTEGRALES GENERALISEES I Généralités Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES § 1 — Calcul d’intégrales généralisées par primitivation 1 § 2 — Nature d’intégrales généralisées 3 § 3 — Exercices complémentaires (plus di ciles) 6 § 1 —Calcul d’intégrales généralisées par primitivation Exercice 1 1

Intégrales Généralisées - licence-mathuniv-lyon1fr

Intégrales Généralisées Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : ????1=? 3 ? +? 0; ????2=? 1 ? 2+1 +? 1; ????3=? ln( ) ( 2+1)2 +? 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ????1=? ln( ) +? 2

CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES HEI 2 - 2015/2016 - Anthony RIDARD Prérequis •Intégration sur un segment et primitives usuelles •Fonctions usuelles et formules trigonométriques •Limites croissances comparées équivalents et développements limités Table des matières I Nature d’une intégrale généralisée 2 1

Combien de chapitre intégrales généralisées résumé ?

Voila:) 23 chapitre intégrales généralisées résumé dans ce chapitre, on généralise la notion vue sur un segment, au cas Passer au document Demande à un expert Se connecterS'inscrire Se connecterS'inscrire Accueil Demande à un expertNouveau Ma Librairie Découverte Institutions Université Paul-Valéry-Montpellier Université Catholique de Lille

Qu'est-ce que la notion d'intégrale généralisée?

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple. I. Intégrale sur un intervalle de longueur infinie. 1. Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue. On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?zexiste et est finie, et alors f t dt f t dt

Quelle est la nature d’une intégrale généralisée ?

Remarques. Etudier la nature d’une intégrale généralisée revient à dire si elle converge ou si elle diverge. Ne pas confondre lanatured’une intégrale généralisée et lavaleurd’une intégrale généralisée.

Comment calculer l’intégrale ?

a f( t)d t et donc F( y)???? y? a+F( x)? ? x a f( t)d t. Il suffit alors de dériver les propriétés( ?)pour conclure. DémonstrationPour ?6 =1, on a, pour tout u?]0, 1[, ? 1 u 1 t?d t= ? 1 1 ? ? 1 t?? 1 ? 1 u 1 1 ? ?? 1 1 ? ? 1 u?? 1 Si ?>1, ulim? 0 1 u?? 1 L’intégrale diverge donc. Si ?

Int´egrales g´en´eralis´ees

Herv´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

10 septembre 2020

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Motivation

Consid´erons la fonctionf(x) =1⎷xd´efinie sur l"intervalle]0,1].

Pour tout

δ?]0,1], la fonctionfest int´egrable sur[δ,1]; de plus : lim

δ→0?

1δf(x)dx=2.

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Motivation

Consid´erons la fonctionf(x) =1⎷xd´efinie sur l"intervalle]0,1].

Pour tout

δ?]0,1], la fonctionfest int´egrable sur[δ,1]; de plus : lim

δ→0?

1δf(x)dx=2.

Cela nous motive

`a d´efinir? 1

0f(x)dx= lim

δ→0?

1δf(x)dx.

Introduction

Objectifs de ce cours

1ˆEtre capable de calculer une int´egrale g´en´eralis´ee ou

Introduction

Objectifs de ce cours

1ˆEtre capable de calculer une int´egrale g´en´eralis´ee ou

2ˆEtre capable de dire si une int´egrale g´en´eralis´ee converge

ou pas.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

Soitfune fonction r´eelle d´efinie sur un intervalleI. On dira quefest localement int´egrable surIsifest int´egrable sur chaque intervalle ferm

´e et born´e[

α,β]?I.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

Soitfune fonction r´eelle d´efinie sur un intervalleI. On dira quefest localement int´egrable surIsifest int´egrable sur chaque intervalle ferm

´e et born´e[

α,β]?I.

Proposition

Toute fonction continue sur un intervalleIest localement int

´egrable surI.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

Soitfune fonction r´eelle d´efinie sur un intervalleI. On dira quefest localement int´egrable surIsifest int´egrable sur chaque intervalle ferm

´e et born´e[

α,β]?I.

Proposition

Toute fonction continue sur un intervalleIest localement int

´egrable surI.

Proposition

Toute fonction r´eelle et monotone sur un intervalleIest localement int

´egrable surI.

Int´egrale g´en´eralis´ee

D´efinition

SoitIun intervalle deRd"extr´emit´esa´eel tel quea Soitfune fonction r´eelle localement int´egrable surI.

Si les limites

lim

α→a?

cαf(x)dxetlimβ→b? cf(x)dx sont finies, on dira que l"int

´egrale g´en´eralis´ee?

b afconverge et on posera : b af(x)dx= lim

α→a?

cαf(x)dx+ limβ→b? cf(x)dx

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0e-xdxconverge et est´egale`a 1.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0e-xdxconverge et est´egale`a 1.

Preuve

La fonctionx?→e-xest continue sur[0,+∞[et donc localement int

´egrable. Puisque

N notre affirmation est bien d

´emontr´ee.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

11xdxdiverge.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

11xdxdiverge.

Preuve

La fonctionx?→1xest continue sur[1,+∞[et donc localement int

´egrable. Puisque

N 11 xdx= [ln|x|]N1= ln(N)-→N→+∞+∞ notre affirmation est bien d

´emontr´ee.

Propri´et´es de l"int´egrale g´en´eralis´ee Th´eor`eme (Lin´earit´e de l"int´egrale g´en´eralis´ee) Soientf,g:I-→Rdeux fonctions localement int´egrables sur g

´en´eralis´ees?b

afet?b agconvergent alors, pour tout

λ,μ?R,

l"int

´egrale g´en´eralis´ee?b

λf+μg)converge et on a :

Propri´et´es de l"int´egrale g´en´eralis´ee Th´eor`eme (Lin´earit´e de l"int´egrale g´en´eralis´ee) Soientf,g:I-→Rdeux fonctions localement int´egrables sur g

´en´eralis´ees?b

afet?b agconvergent alors, pour tout

λ,μ?R,

l"int

´egrale g´en´eralis´ee?b

λf+μg)converge et on a :

b a(

λf+μg) =λ

?b af+ ?b ag. Propri´et´es de l"int´egrale g´en´eralis´ee Th´eor`eme (Croissance de l"int´egrale g´en´eralis´ee) Soientf,g:I-→Rdeux fonctions localement int´egrables sur g

´en´eralis´ees?b

afet?b Propri´et´es de l"int´egrale g´en´eralis´ee Th´eor`eme (Croissance de l"int´egrale g´en´eralis´ee) Soientf,g:I-→Rdeux fonctions localement int´egrables sur g

´en´eralis´ees?b

afet?b b b ag.

Exemples fondamentaux

Proposition (Int´egrale de Riemann)

L"int´egrale g´en´eralis´ee

11 xαdx,α?R converge si et seulement si

α>1.

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα>1, on a :

N 11 xαdx=11-α

N1-α-1?

-→N→+∞-11-α

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα>1, on a :

N 11 xαdx=11-α

N1-α-1?

-→N→+∞-11-α De la mˆeme formule on en d´eduit que siα<1, on a : lim

N→+∞?

N 11 xαdx= +∞.

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα>1, on a :

N 11 xαdx=11-α

N1-α-1?

-→N→+∞-11-α De la mˆeme formule on en d´eduit que siα<1, on a : lim

N→+∞?

N 11 xαdx= +∞. Si

α=1, on a :

N 11 xαdx= ln(N)-→N→+∞+∞.

Exemples fondamentaux

Proposition (Int´egrale de Riemann)

L"int´egrale g´en´eralis´ee

1 01 xαdx,α?R converge si et seulement si

α<1.

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα<1, on a :

1 N1 xαdx=11-α

1-N1-α?

-→N→0+1

1-α

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα<1, on a :

1 N1 xαdx=11-α

1-N1-α?

-→N→0+1

1-α

De la mˆeme formule on en d´eduit que siα>1, on a : lim

N→0+?

1 N1 xαdx= +∞.

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα<1, on a :

1 N1 xαdx=11-α

1-N1-α?

-→N→0+1

1-α

De la mˆeme formule on en d´eduit que siα>1, on a : lim

N→0+?

1 N1 xαdx= +∞. Si

α=1, on a :

1 N1 xαdx=-ln(N)-→N→0++∞.

Exemples fondamentaux

Proposition

Pour touta>1, l"int´egrale g´en´eralis´ee a1 xlnαxdx,α?R converge si et seulement si

α>1.

Exemples fondamentaux

Preuve

Pourα?=1, une primitive de la fonctionx?→1xlnαxest donn´ee par la fonctionx?→1

1-αln1-αxet siα=1, une primitive de la

fonctionx?→1 xlnxest donn´ee par la fonctionx?→ln(lnx).

Exemples fondamentaux

Preuve

Pourα?=1, une primitive de la fonctionx?→1xlnαxest donn´ee par la fonctionx?→1

1-αln1-αxet siα=1, une primitive de la

fonctionx?→1 xlnxest donn´ee par la fonctionx?→ln(lnx). `A vous de jouer...

Exemples fondamentaux

Proposition

L"int´egrale g´en´eralis´ee

0rxdx,r>0

converge si et seulement sir<1. L"int

´egrale diverge si et seulement sir≥1.

Exemples fondamentaux

Proposition

L"int´egrale g´en´eralis´ee

0rxdx,r>0

converge si et seulement sir<1. L"int

´egrale diverge si et seulement sir≥1.

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0? 23?
x dxconverge. Crit`eres de convergence pour les fonctions positives

Notation

Sif≥0 et l"int´egrale g´en´eralis´ee?b af(x)dxne converge pas alors on posera :?b af(x)dx= +∞. Crit`eres de convergence pour les fonctions positives

Notation

Sif≥0 et l"int´egrale g´en´eralis´ee?b af(x)dxne converge pas alors on posera :?b af(x)dx= +∞.

Th´eor`eme

Soientf,gdeux fonctions positives et localement int´egrables sur[a,b[. Supposons que

Alors si l"int

´egrale?b

agconverge alors l"int´egrale?b afconverge aussi; si l"int

´egrale?b

afdiverge alors l"int´egrale?bquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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[PDF] Intégrales généralisées 10 sept. 2020 un intervalle

Combien de chapitre intégrales généralisées résumé ?

Qu'est-ce que la notion d'intégrale généralisée?

Quelle est la nature d’une intégrale généralisée ?

Comment calculer l’intégrale ?

Int´egrales g´en´eralis´ees

Herv´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

10 septembre 2020

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Motivation

Pour tout

δ→0?

1δf(x)dx=2.

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Motivation

Pour tout

δ→0?

1δf(x)dx=2.

Cela nous motive

0f(x)dx= lim

δ→0?

1δf(x)dx.

Introduction

Objectifs de ce cours

1ˆEtre capable de calculer une int´egrale g´en´eralis´ee ou

Introduction

Objectifs de ce cours

1ˆEtre capable de calculer une int´egrale g´en´eralis´ee ou

2ˆEtre capable de dire si une int´egrale g´en´eralis´ee converge

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

´e et born´e[

α,β]?I.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

´e et born´e[

α,β]?I.

Proposition

´egrable surI.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

´e et born´e[

α,β]?I.

Proposition

´egrable surI.

Proposition

´egrable surI.

Int´egrale g´en´eralis´ee

D´efinition

Si les limites

α→a?

´egrale g´en´eralis´ee?

α→a?

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0e-xdxconverge et est´egale`a 1.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0e-xdxconverge et est´egale`a 1.

Preuve

´egrable. Puisque

´emontr´ee.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

11xdxdiverge.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?