INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

Chapitre 7 : Intégrales généralisées

Chapitre 7 : Intégrales généralisées. 1 Introduction. Nous avons pour le moment considéré l'intégration de fonctions continues par morceaux.

Comparaison Séries et Intégrales Généralisées. Fonctions localement intégrables. Intégrale d'une fonction sur un intervalle semi-ouvert. Relation de Chasles.

Résumé intégrales généralisées

3 nov. 2013 Étudier la nature d'une intégrale c'est dire si elle converge ou si elle diverge. Remarques. (a) Si b est réel et si f admet une limite finie ...

INTEGRALES GENERALISEES

INTEGRALES GENERALISEES. I. Généralités. Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des.

Intégrales Généralisées

Intégrales Généralisées. Exercice 1. Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : 1 = ? 3 ? .

Intégrales Généralisées

Sinon on dit que l'intégrale généralisée est divergente. Exemple(s). • f(t) = e?t : l'intégrale de f sur [0+?[ est convergente et.

Exercices sur les intégrales généralisées

dx. (1 + x2)(1 + x?) . Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.

Chapitre 01 : Intégrales généralisées

Critères de convergence pour les fonctions positives : Dans ce paragraphe nous allons affirmer que certains intégrales généralisées convergent

Intégrales généralisées

10 sept. 2020 un intervalle I d'extrémités ?? ? a < b ? +?. Si les intégrales généralisées ? b a f et ? b a g convergent alors pour tout ?

Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x a x

Chapitre 23 - Intégrales généralisées - 23 Chapitre - StuDocu

Intégrales Généralisées Hamid Boua Faculté pluridisciplinaire-Nador-Module: Analyse 2 SMP-SMC 26 mai 2021 Pr Boua Hamid (UMP) FPN 26 mai 2021 1 / 28

INTEGRALES GENERALISEES - univ-rennes1fr

INTEGRALES GENERALISEES I Généralités Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES § 1 — Calcul d’intégrales généralisées par primitivation 1 § 2 — Nature d’intégrales généralisées 3 § 3 — Exercices complémentaires (plus di ciles) 6 § 1 —Calcul d’intégrales généralisées par primitivation Exercice 1 1

Intégrales Généralisées - licence-mathuniv-lyon1fr

Intégrales Généralisées Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : ????1=? 3 ? +? 0; ????2=? 1 ? 2+1 +? 1; ????3=? ln( ) ( 2+1)2 +? 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ????1=? ln( ) +? 2

CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES HEI 2 - 2015/2016 - Anthony RIDARD Prérequis •Intégration sur un segment et primitives usuelles •Fonctions usuelles et formules trigonométriques •Limites croissances comparées équivalents et développements limités Table des matières I Nature d’une intégrale généralisée 2 1

Combien de chapitre intégrales généralisées résumé ?

Voila:) 23 chapitre intégrales généralisées résumé dans ce chapitre, on généralise la notion vue sur un segment, au cas Passer au document Demande à un expert Se connecterS'inscrire Se connecterS'inscrire Accueil Demande à un expertNouveau Ma Librairie Découverte Institutions Université Paul-Valéry-Montpellier Université Catholique de Lille

Qu'est-ce que la notion d'intégrale généralisée?

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple. I. Intégrale sur un intervalle de longueur infinie. 1. Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue. On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?zexiste et est finie, et alors f t dt f t dt

Quelle est la nature d’une intégrale généralisée ?

Remarques. Etudier la nature d’une intégrale généralisée revient à dire si elle converge ou si elle diverge. Ne pas confondre lanatured’une intégrale généralisée et lavaleurd’une intégrale généralisée.

Comment calculer l’intégrale ?

a f( t)d t et donc F( y)???? y? a+F( x)? ? x a f( t)d t. Il suffit alors de dériver les propriétés( ?)pour conclure. DémonstrationPour ?6 =1, on a, pour tout u?]0, 1[, ? 1 u 1 t?d t= ? 1 1 ? ? 1 t?? 1 ? 1 u 1 1 ? ?? 1 1 ? ? 1 u?? 1 Si ?>1, ulim? 0 1 u?? 1 L’intégrale diverge donc. Si ?

Mathématiques 3 (L2) - Quelques exercices supplémentaires

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

§ 1. - Calcul d"intégrales généralisées par primitivation . . . . . . . 1 § 2. - Nature d"intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . 3 § 3. - Exercices complémentaires (plus diciles) . . . . . . . . . . .6

§ 1. -

Calcul d"intégrales généralisées par primiti vationExercice 1.1.Convergence et calcul des intégrales suivantes.(i)Z

+1 0 exdx. (ii)Z +1 1dxx 2. (iii)Z 1 0dxpx .(iv)Z +1

1dx1+x2.

(v)Z +1 0 xex2dx. (vi)Z +1 0 xex.(vii)Z +1 0e arctanx1+x2dx. (viii)Z +1 2dxx 21.
(ix)Z 4

0cosxpsinx.On rappelle quearctanA!A!+12

etarctanA!A!12 .Corrigé de l"exercice 1.1. (i)Posonsf(x)=ex. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Si

A>0, on aZA

0 exdx=[ex]A

0=1eA!A!+11;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 exdx=1. (ii)Posonsf(x)=1x de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. SiA>1, on aZA 1dxx 2=" 1x A 1 =11A !A!+11; 1 donc l"intégrale est convergente et Z +1 1dxx 2=1. (iii)Posonsf(x)=1px . La fonctionfest continue sur ]0;1] donc pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de 0. Si 0< " <1, on aZ 1 "dxpx =h2px i 1 "=22p"!"!02; donc l"intégrale est convergente et Z 1 0dxpx =2. (iv)Posonsf(x)=11+x2. La fonctionfest continue sur ]1;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1et de

1. SiA>0>B, on a

Z A

Bdx1+x2=[arctanx]AB=arctanAarctanB!A!+12

arctanB B!+12 2 donc l"intégrale est convergente et Z +1

1dx1+x2=.

(v)Posonsf(x)=xex2. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0; puisquef(x)=xex2est de la forme12

u0eu, elle se primitive en12 euet donc : Z A 0 xex2=" 12 ex2#A 0 =12 12 eA2!A!+112 donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 xex2dx=12 (vi)Posonsf(x)=xex. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0; pour calculerRA

0xex, on fait une intégration par parties en dérivantxet en inté-

grantex: Z A 0 xex=[xex]A 0+Z A 0 exdx=AeA+[ex]A

0=AeAeA+1!A!+11;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0 xex=1. (vii)Posonsf(x)=earctanx1+x2. La fonctionfest continue sur [0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit A>0. Puisquef(x) est de la formeu0euelle se primitive eneu: Z A 0e arctanx1+x2dx=hearctanxiA

0=earctanA1!A!+1e=21;

donc l"intégrale est convergente et Z +1 0e arctanx1+x2dx=e=21. 2 (viii)Posonsf(x)=1x

21. La fonctionfest continue sur [2;+1[ donc pour étudier la conver-

gence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de+1. Soit

A>0. Décomposonsf(x) sous la formex+1+x1:

21=x+1+x1()1x

21=(x1)+(x+1)x

21
1x

21=(+)+()x

21
()(+=0 =1()(= 2=1 ()=12 et=12 et donc 1x 21=12
1x112

1x+1; par suite :

Z A 2dxx 21=12
Z A

2dxx112

Z A

2dxx+1=12

[lnjx1j]A 212
[lnjx+1j]A 2 12 (ln(A1)ln1)12 (ln(A+1)ln3)=12 lnA1A+1+12 ln3

A!+112

ln3; car

A1A+1=11A

1+1A !A!+11 donc lnA1A+1!A!+1ln1=0. Par suite, l"intégrale converge etZ+1 2dxx 21=12
ln3. (ix)Posonsf(x)=cosxpsinx. La fonctionfest continue sur ]0;4 ] (car sinx>0 sur ]0;2 [) donc pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut de se préoccuper du comportement au voisinage de 0. Soit 0< " <4 . La fonctionfest de la formeu0pu avecu(x)=sinxdonc se primitive en 2pu: Z =4 "cosxpsinxdx=h2psinxi =4 "=2qsin 4

2psin"=2qp2

2psin"

=221=42

1=22psin"=23=42psin"!"!023=4;

donc l"intégrale est convergente et Z 4

0cosxpsinxdx=23=4.

§ 2. -

Natur ed"intégrales généralisées Exercice 2.1.Déterminer la nature des intégrales suivantes.On pourra primitiver les fonctions.(i)Z

+1 0dxx

2dx.(ii)Z

+1 0dxpx dx.(iii)Z +1 0 exdx.(iv)Z 0

1dxx(x+2)dx.3

Corrigé de l"exercice 2.1.

(i)Posonsf(x)=1x de l"intégrale, il faut s"intéresser au comportement au voisinage de 0 et de+1. Si 0< " <

A, on a

Z A "dxx 2=" 1x A =1" 1A !"!0+1; donc l"intégrale est divergente. Autre m´ethode. - C"est une intégrale de RiemannRdxx avecqui n"est pas<1, donc il y a divergence de l"intégrale au voisinage de 0. L"intégraleR+1 0dxx

2dxn"est donc pas

convergente. (ii)Posonsf(x)=1px . La fonctionfest continue sur ]0;+1[ donc pour étudier la conver- gence de l"intégrale, il faut s"intéresser au comportement au voisinage de 0 et de+1. Si

0< " Z A "dxpx =h2px i A "=2pA2p"!A!+1+1 donc l"intégrale est divergente. Autre m´ethode. - C"est une intégrale de RiemannRdxx avecqui n"est pas>1, donc il y a divergence de l"intégrale au voisinage de+1. L"intégraleR+1 0dxpx dxn"est donc pas convergente. (iii)Posonsf(x)=ex. La fonctionfest continue surRdonc sur [0;+1[. Pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut donc de regarder le comportement au voisinage de l"infini. SiA>0, Z A 0 exdx=[ex]A
0=eA1!A!+1+1;
donc l"intégrale Z +1 0 exdxdiverge. (iv)Posonsf(x)=1x(x+2). La fonctionfest continue surRn f2;0gdonc sur [1;0[. Pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut donc de regarder ce qui se passe au voisinage de 0. Si1< " <0, on doit étudier Z
1dxx(x+2):

Cherchonsettels que1x(x+2)=x
+x+2:
1x(x+2)=x
+x+2()1x(x+2)=(x+2)+xx(x+2)=(+)x+2x(x+2) ()(+=0
2=1()=12
et=12 4
Ainsi,

1x(x+2)=x
+x+2et donc : Z
1dxx(x+2)=12
Z 1dxx 12 Z
1dxx+2=12
[lnjxj]" 112
[lnjx+2j]" 1 12 (lnj"jln1)12 (lnj"+2jln1)=12 lnj"j12 lnj"+2j!"!01; donc l"intégrale Z 0
1dxx(x+2)dxdiverge.

Autre m´ethode. - Si1x0, on a 1x+22 d"où12

1x+21 et donc

1x(x+2)
12 1j xj
Puisque l"intégrale
R0 1dxj xjest divergente (c"est une intégrale de Riemann), on en déduit queR0
1dxx(x+2)diverge par comparaisonExercice 2.2.Déterminer la nature des intégrales suivantes.On pourra comparer à des inté-grales de références.
(i)Z +1
11cosxx
2dx. (ii)Z 1
0cosxpx
dx.(iii)Z +1 0x 2x
17=5+1dx.
(iv)Z 1 0x 2+1x dx.(v)Z 1 0e xx dx. (vi)Z 1 1e cosxx dx.Corrigé de l"exercice 2.2. (i)Posonsf(x)=1cosxx
2. Cette fonction est continue surRdonc sur [1;+1[. Pour étudier
la convergence de l"intégrale, il sut donc d"étudier le comportement au voisinage de l"infini. On a, puisque jcosxj1,
1cosxx
2 j1cosxjx
21+jcosxjx
22x
2; avec R+1 1dxx
2convergente (c"est une intégrale de RiemannR+1
1dxx avec=2>1), donc, par comparaison,R+1
11cosxx

2dxest convergente.
(ii)Posonsf(x)=cosxpx . La fonctionfest continue sur ]0;+1[ donc sur ]0;1]. Pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut donc d"étudier le comportement au voisinage de 0.
On a, puisque
jcosxj1, cosxpx jcosxjpx 1px avec R1 0dxpx convergente (c"est une intégrale de RiemannR1 0dxx avec=12 <1), donc, par comparaison,R1
0cosxpx
dxest convergente. 5 (iii)Posonsf(x)=x2x
17=5+1. Cette fonction est continue sur ]0;+1[ (six>0, on ax17=5+1>1
donc le dénominateur ne s"annule jamais). Pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut donc d"étudier le comportement au voisinage de+1. On a, puisquex17=5+1x17=5, 1x
17=5+11x

17=5, et donc
x 2x
17=5+1
=x2x
17=5+1x2x

17=5=1x
175
2=1x 175
105
=1x 7=5; avec R+1 1dxpx convergente (c"est une intégrale de RiemannR1 0dxx avec=74 >1) donc, par comparaison, l"intégraleR+1 0x2x
17=5+1dxconverge.
(iv)Posonsf(x)=x2+1x . Cette fonction est continue surRdonc sur ]0;1]. Pour étudier la convergence de l"intégrale, il sut donc d"étudier le comportement au voisinage de 0. On a 1x2+12, donc x 2+1x =x2+1x 1x avec R1 0dxx divergente (c"est une intégrale de RiemannR1 0dxx avec=1 qui n"est pas<1) donc, par comparaison, l"intégraleR1
0x2+1x
dxdiverge.quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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Combien de chapitre intégrales généralisées résumé ?

Qu'est-ce que la notion d'intégrale généralisée?

Quelle est la nature d’une intégrale généralisée ?

Comment calculer l’intégrale ?

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

§ 1. -

1dx1+x2.

0cosxpsinx.On rappelle quearctanA!A!+12

A>0, on aZA

0=1eA!A!+11;

1. SiA>0>B, on a

Bdx1+x2=[arctanx]AB=arctanAarctanB!A!+12

1dx1+x2=.

A>0; puisquef(x)=xex2est de la forme12

A>0; pour calculerRA

0xex, on fait une intégration par parties en dérivantxet en inté-

0=AeAeA+1!A!+11;

0=earctanA1!A!+1e=21;

21. La fonctionfest continue sur [2;+1[ donc pour étudier la conver-

A>0. Décomposonsf(x) sous la formex+1+x1:

21=x+1+x1()1x

21=(x1)+(x+1)x

21=(+)+()x

1x+1; par suite :

2dxx112

2dxx+1=12

A!+112

A1A+1=11A

2psin"=2qp2

2psin"

1=22psin"=23=42psin"!"!023=4;

0cosxpsinxdx=23=4.

§ 2. -

2dx.(ii)Z

1dxx(x+2)dx.3

Corrigé de l"exercice 2.1.

A, on a

2dxn"est donc pas

0=eA1!A!+1+1;

1dxx(x+2):

Cherchonsettels que1x(x+2)=x

1x(x+2)=x

2=1()=12

Ainsi,

1x(x+2)=x

1dxx(x+2)=12

1dxx+2=12

1dxx(x+2)dxdiverge.

Autre m´ethode. - Si1x0, on a 1x+22 d"où12

1x+21 et donc

1x(x+2)

Puisque l"intégrale

1dxx(x+2)diverge par comparaisonExercice 2.2.Déterminer la nature des intégrales suivantes.On pourra comparer à des inté-grales de références.

11cosxx

0cosxpx

17=5+1dx.

2. Cette fonction est continue surRdonc sur [1;+1[. Pour étudier

1cosxx

21+jcosxjx

2convergente (c"est une intégrale de RiemannR+1

11cosxx

2dxest convergente.

On a, puisque

0cosxpx

17=5+1. Cette fonction est continue sur ]0;+1[ (six>0, on ax17=5+1>1

17=5+11x

17=5, et donc

17=5+1

17=5+1x2x

17=5=1x

17=5+1dxconverge.

0x2+1x