[PDF] CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

CHAPITRE1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

HEI 2 - 2015/2016 - Anthony RIDARD

Prérequis

I ntégrationsur u nsegmen tet p rimitivesu suelles F onctionsu suelleset f ormulest rigonométriques L imites,cr oissancescomparées ,éq uivalentset dév eloppementslimi tés

Table des matières

I. Nature d"une intégrale généralisée2

1. Définitions

2

2. Exemples de référence

3

II. Premières méthodes4

1. Linéarité

4

2. Intégration par parties

4

3. Changements de variable

4

III.Cas des fonctions positives6

1. Une CNS de convergence

6

2. Des théorèmes de comparaison

6

IV. Cas des fonctions réelles ou complexes7

1. Cas complexe

7

2. Convergence absolue

7

Les résultats sont énoncés pour un intervalle[a,b[mais ils s"adaptent sans difficulté à un intervalle]a,b].

1

I.N atured "uneinté graleg énéralisée

Dans cette section,fdésigne une fonction deRdansR. 1. Dé finitionsSoitfcontinue sur [a,Å1[ aveca2R. On dit que l"intégrale généraliséeRÅ1 af(t)dtconverge siRx af(t)dtadmet une limite réelle quandxtend versÅ1.

Dans ce cas, on a :ZÅ1

a f(t)dtAElimx!Å1Z x a f(t)dt. Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale généralisée

RÅ1

af(t)dtdiverge.Définition(un seul problème en une borne infinie :bAEÅ1).Exemples.

1.RÅ1

011Åt2dt

2.RÅ1

011Åtdt

3.RÅ1

0sint dt

Questions.

1. S ic2]a,Å1[, que pouvons-nous dire des intégralesRÅ1 af(t)dtetRÅ1 cf(t)dt?RÅ1

111Åt2dt

2. Q uese pass e-t-ilsi le pr oblèmeest en ¡1?R¡1

¡11t

2dt

Remarques.

E tudierla n atured "uneint égraleg énéraliséer evientà dir esi el leconv ergeou s iell ediv erge.

N epas c onfondrela natured"une intégrale généralisée et lavaleurd"une intégrale généralisée.

S ion n ousdeman ded "étudierla na tureet de c alculerl av aleurd "uneint égralegénér alisée,le calcul de l av aleurde l "intégrale

prouve la convergence de l"intégrale généralisée.Soitfcontinue sur [a,Å1[ aveca2R. Sifadmet enÅ1une limite non nulle (finie ou infinie), alorsRÅ1 af(t)dtdiverge (grossièrement).Propriété(divergence grossière).Exemple.

RÅ1

0t2tÅ3dt

Question.Cette condition suffisante de divergence est-elle nécessaire?Soitfcontinue sur [a,b[ avec¡1ÇaÇbÇÅ1.

af(t)dtconvergesiRx

Dans ce cas, on a :Zb

a f(t)dtAElimx!b¡Z x a f(t)dt. Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale généralisée Rb af(t)dtdiverge.Définition(un seul problème en une borne finie :b2R).Exemples. 1.R1

01p1¡tdt

2. R1

011¡tdt

Question.Que se passe-t-il si l"on remplace [a,b[ par ]a,b]?R1 01t dtSoitfcontinue sur [a,b[ avec¡1ÇaÇbÇÅ1. Sifadmet une limite à gauche réelle enb, alorsRb af(t)dtconverge (trivialement).Propriété(convergence triviale).2

Exemple.

R1

0sintt

dt

Question.Cette condition suffisante de convergence est-elle nécessaire?Soitfcontinue sur [a,c[[]c,b] avec¡1ÇaÇcÇbÇÅ1.

On dit queRb

af(t)dtconverge siRc af(t)dtetRb cf(t)dtconvergent. Dans ce cas, on a : Z b a f(t)dtAEZ c a f(t)dtÅZ b c f(t)dt.

Dans le cas contraire, on dit que

Rb af(t)dtdiverge.Définition(un seul problème à l"intérieur de l"intervalle).Exemples. 1.R1

¡11t

dt 2. R1 ¡11pjtjdtSoitfcontinue sur ]a,b[ avec¡1·aÇb·Å1.

On dit queRb

af(t)dtconverge s"il existe un réelc2]a,b[ tel queRc af(t)dtetRb cf(t)dtconvergent. Dans ce cas, on a : Z b a f(t)dtAEZ c a f(t)dtÅZ b c f(t)dt.

Dans le cas contraire, on dit que

Rb af(t)dtdiverge.Définition(plusieurs problèmes).Questions. 1. L anat urede l "intégraledép end-elledu c hoixde c? 2.

Q uesign ifie" lec ascon traire""?

Exemples.

1.R1

01t(1¡t)dt

2. R1

¡11p1¡t2dt

2.

Ex emplesde ré férence•

RÅ1

11t

®dtconverge,®È1

•R1 01t

®dtconverge,®Ç1Propriété(intégrales de Riemann).Question.Que se passe-t-il si l"on remplace la borne 1 par un autre réel strictement positif?SiaÈ0, l"intégraleRÅ1

0e¡atdtconverge.Propriété(intégrale d"une exponentielle).Questions.

1. Q uese pass e-t-ilsi l "onr emplacel abor ne0 par un autr erée l? 2.

Q uese pass e-t-ilsi a·0?

3

II.P remièresmé thodes

Dans cette section,fdésigne une fonction réelle continue sur [a,b[ avec¡1ÇaÇb·Å1.

1. af(t)dtetRb a¸f(t)dtont même nature.

En cas de convergence, on a :Zb

a

¸f(t)dtAE¸Z

b a f(t)dt S oitgcontinue sur [a,b[. Si deux des trois intégralesRb af(t)dt,Rb ag(t)dtetRb a(fÅg)(t)dtconvergent, alors la troisième converge et on a :Zb a f(t)dtÅZ b a g(t)dtAEZ b a (fÅg)(t)dtPropriété.

Questions.

1. Q uese pass e-t-ilsi ,sur l est roisint égrales,u necon vergeet u ned iverge? 2. U nec ombinaisonlinéair ede deux int égralesd ivergentesest-ell ediv ergente?

On pourra considérerAAERÅ1

1t dt,BAERÅ1

1t3Å1t

2dtetCAEA¡B.

2. I ntégrationpar pa rtiesSoituetvdeux fonctions de classeC1sur [a,b[. Siuvadmet une limite réelle enbà gauche, alors les intégralesRb a(u0v)(t)dtetRb a(uv0)(t)dtont même nature.

En cas de convergence, on a :

Z b a b a (uv0)(t)dtThéorème.

Exemples.

1.RÅ1

0te¡tdt

2.R1

0lnt dt

Remarque.On peut aussi revenir à la définition de la convergence d"une intégrale généralisée : on utilise alors l"intégration par

parties des intégrales non généralisées puis on passe à la limite. 3.

Change mentsd ev ariableS"ilexisteµdeclasseC1sur[a,b[admettantunelimitel(finieouinfinie)enbàgauche,etgcontinuesurµ([a,b[)telles

quefAE(g±µ)µ0, alorsRb af(t)dtetRl

µ(a)g(u)duont même nature.

En cas de convergence, elles sont égales.Théorème(changement de variable direct).Exemple. R ¼2

0costsint(1Åsint)dt(poserxAEsint)

Voici une application (à compléter) très pratique :Soita2R. •RÅ1 •RaÅ1 a1(t¡a)®dtconverge,¢¢¢Propriété(intégrales de Riemann ena).4 S"il existe une bijection':[®,¯[![a,b[ croissante et de classeC1, alors les intégralesRb af(t)dtetR¯

®(f±'(u))'0(u)du

ont même nature.

En cas de convergence, elles sont égales.Théorème(changement de variable bijectif).Question.Que se passe-t-il si la bijection est décroissante?

Exemple.

R1 0qt

1¡tdt(posertAEsin2x)

de variable des intégrales non généralisées puis on passe à la limite. 5

III.C asdes f onctionspositiv es

Dans cette section,fdésigne une fonction réelle continue et positive sur [a,b[ avec¡1ÇaÇb·Å1.

1.

U neCNS de c onvergence

Le théorème de la limite monotone entraîne :L"intégrale Rb af(t)dtconverge si et seulement siFa:x7!Rx af(t)dtest majorée sur [a,b[.Propriété. 2.

D esth éorèmesd ec omparaison

Soitgune fonction continue sur [a,b[ telle que8t2[a,b[, 0·f(t)·g(t). S iRb ag(t)dtconverge, alorsRb af(t)dtconverge aussi S iRb af(t)dtdiverge, alorsRb ag(t)dtdiverge aussiThéorème(de majoration et minoration).Questions. 1.

Q uese pass e-t-ilsi la p ositivité,l "inégalitéo ula conv ergencen "estvr aiequ esur [ c,b[½[a,b[?

2. Q uese pass e-t-ilsi la f onctionest n égative?ch angede sign e?

Exemples.

1.RÅ1

0e¡t2dt

2.RÅ1

1lntt dt

3.RÅ1

0t3e¡tdt(on pourra utiliser les croissances comparées et la définition d"une limite)Sifest équivalente à une fonctiongde signe constant au voisinage deb¡, alors les intégralesRb

af(t)dtetRb ag(t)dt ont même nature.Théorème(d"équivalence).Questions. 1. Q uese pass e-t-ilsi la f onctiongchange de signe? 2. Q uelest l "inconvénientpr incipalde ces mét hodesde c omparaison?

Exemples.

1.R1

0sintt

2dt 2.

RÅ1

1t2Å1t

4Å1dt

6

IV.C asd esfonc tionsr éellesou c omplexes

1.

C asc omplexe

Soitfune fonction complexe continue sur [a,b[ avec¡1ÇaÇb·Å1.L"intégrale Rb af(t)dtconverge si et seulement siRb a<(f(t))dtetRb a=(f(t))dtconvergent.

Dans ce cas, on a :Zb

a f(t)dtAEZ b a <(f(t))dtÅiZ b a =(f(t))dtDéfinition.

Exemple.

R ¼2

0eitpt

dt 2.

C onvergenceabsol ue

Soitfune fonction réelle ou complexe continue sur [a,b[ avec¡1ÇaÇb·Å1.On dit que l"intégrale

Rb af(t)dtconverge absolument siRb ajf(t)jdtconverge.Définition(convergence absolue).Exemples.

1.RÅ1

1sintt

2dt 2.

RÅ1

1eitt 2dtSi Rb af(t)dtconverge absolument, alors elle converge et on a :

¯¯¯Z

b a f(t)dt¯¯¯¯·Z b a jf(t)jdtPropriété. Question.Cette condition suffisante de convergence est-elle nécessaire?

On pourra considérerRÅ1

1eitt dtOn dit que l"intégrale Rb

af(t)dtest semi-convergente si elle est convergente mais pas absolument convergente.Définition(semi-convergence).7

quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

[PDF] Intégrales impropres

[PDF] Intégrales impropres et Suite d`intégrales

[PDF] Intégralité - Jean - France

[PDF] intégralité au format PDF - Archives de Nantes

[PDF] Intégralité de l`article

[PDF] intégralité de nos formations informatiques - Conception

[PDF] Intégralité et détail des ateliers ICI - Gestion De Projet

[PDF] Integralrechnung Aufgaben Wasserbecken Bergstollen

[PDF] Integralrechnung: unbestimmte und bestimmte Integrale • f (x) dx ist

[PDF] Integramouse +

[PDF] intégrant la carte de surveillance patient - Chirurgie

[PDF] Integrated Aircraft Routing and Crew Pairing at Air France

[PDF] Integrated Alarm Systems - VdS - Design of CO2 extinguishing

[PDF] Integrated Compressed Air Foam System - Anciens Et Réunions

[PDF] Integrated Dell Remote Access Controller 7 (iDRAC7) Guide d