[PDF] Intégrales Généralisées Comparaison Séries et Inté





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Chapitre 7 : Intégrales généralisées

Chapitre 7 : Intégrales généralisées. 1 Introduction. Nous avons pour le moment considéré l'intégration de fonctions continues par morceaux.



Intégrales Généralisées

Comparaison Séries et Intégrales Généralisées. Fonctions localement intégrables. Intégrale d'une fonction sur un intervalle semi-ouvert. Relation de Chasles.



Résumé intégrales généralisées

3 nov. 2013 Étudier la nature d'une intégrale c'est dire si elle converge ou si elle diverge. Remarques. (a) Si b est réel et si f admet une limite finie ...



TD 1 Intégrales généralisées

16 sept. 2016 Riemann Darboux



INTEGRALES GENERALISEES

INTEGRALES GENERALISEES. I. Généralités. Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des.



Intégrales Généralisées

Intégrales Généralisées. Exercice 1. Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : 1 = ? 3 ? .



Intégrales Généralisées

Sinon on dit que l'intégrale généralisée est divergente. Exemple(s). • f(t) = e?t : l'intégrale de f sur [0+?[ est convergente et.



Exercices sur les intégrales généralisées

dx. (1 + x2)(1 + x?) . Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.



Chapitre 01 : Intégrales généralisées

Critères de convergence pour les fonctions positives : Dans ce paragraphe nous allons affirmer que certains intégrales généralisées convergent



Intégrales généralisées

10 sept. 2020 un intervalle I d'extrémités ?? ? a < b ? +?. Si les intégrales généralisées ? b a f et ? b a g convergent alors pour tout ?



Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x a x



Chapitre 23 - Intégrales généralisées - 23 Chapitre - StuDocu

Intégrales Généralisées Hamid Boua Faculté pluridisciplinaire-Nador-Module: Analyse 2 SMP-SMC 26 mai 2021 Pr Boua Hamid (UMP) FPN 26 mai 2021 1 / 28



INTEGRALES GENERALISEES - univ-rennes1fr

INTEGRALES GENERALISEES I Généralités Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes



INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES § 1 — Calcul d’intégrales généralisées par primitivation 1 § 2 — Nature d’intégrales généralisées 3 § 3 — Exercices complémentaires (plus di ciles) 6 § 1 —Calcul d’intégrales généralisées par primitivation Exercice 1 1



Intégrales Généralisées - licence-mathuniv-lyon1fr

Intégrales Généralisées Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : ????1=? 3 ? +? 0; ????2=? 1 ? 2+1 +? 1; ????3=? ln( ) ( 2+1)2 +? 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ????1=? ln( ) +? 2



CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES HEI 2 - 2015/2016 - Anthony RIDARD Prérequis •Intégration sur un segment et primitives usuelles •Fonctions usuelles et formules trigonométriques •Limites croissances comparées équivalents et développements limités Table des matières I Nature d’une intégrale généralisée 2 1

Combien de chapitre intégrales généralisées résumé ?

Voila:) 23 chapitre intégrales généralisées résumé dans ce chapitre, on généralise la notion vue sur un segment, au cas Passer au document Demande à un expert Se connecterS'inscrire Se connecterS'inscrire Accueil Demande à un expertNouveau Ma Librairie Découverte Institutions Université Paul-Valéry-Montpellier Université Catholique de Lille

Qu'est-ce que la notion d'intégrale généralisée?

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple. I. Intégrale sur un intervalle de longueur infinie. 1. Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue. On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?zexiste et est finie, et alors f t dt f t dt

Quelle est la nature d’une intégrale généralisée ?

Remarques. Etudier la nature d’une intégrale généralisée revient à dire si elle converge ou si elle diverge. Ne pas confondre lanatured’une intégrale généralisée et lavaleurd’une intégrale généralisée.

Comment calculer l’intégrale ?

a f( t)d t et donc F( y)???? y? a+F( x)? ? x a f( t)d t. Il suffit alors de dériver les propriétés( ?)pour conclure. DémonstrationPour ?6 =1, on a, pour tout u?]0, 1[, ? 1 u 1 t?d t= ? 1 1 ? ? 1 t?? 1 ? 1 u 1 1 ? ?? 1 1 ? ? 1 u?? 1 Si ?>1, ulim? 0 1 u?? 1 L’intégrale diverge donc. Si ?

Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesIntégrales Généralisées

2ème année CPP

Année Universitaire 2014-15

C. NazaretIntégrales Généralisées

Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesIl s"agit ici d"étendre la notion d"intégrale aux cas oùfest

continue sur un intervalle du type[a;+1[,] 1;b],[a;b[ou ]a;b](avecfnon définie enaou enb). On écrira les énoncés avec[a;b[ou[a;+1[. Pour les autres cas, il suffit d"adapter les

énoncés.

C. NazaretIntégrales Généralisées

Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesPlan

1Introduction

2Défintions et théorèmes généraux

3Intégrales des fonctions positives

4Intégrales des fonctions de signe quelconque

5Comparaison Séries et Intégrales Généralisées

C. NazaretIntégrales Généralisées

Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralPlan

1Introduction

2Défintions et théorèmes généraux

3Intégrales des fonctions positives

4Intégrales des fonctions de signe quelconque

5Comparaison Séries et Intégrales Généralisées

C. NazaretIntégrales Généralisées

Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralOn considère un intervalleIdeRqui n"est ni vide, ni réduit à un

point et qui n"est pas un fermé borné.Définition Une fonction f localement intégrable est une fonction intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I.

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Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralRappelons qu"une fonction intégrable (au sens de Riemann) est une fonction réelle bornée et presque partout continue. C"est le cas notamment des fonctions continues, continues par morceaux, ou même seulement bornée et continue sauf en un nombre fini de points, ou encore bornée et monotone sur un segment[a;b], ou réglées sur un segment[a;b]( limite uniforme d"une suite de fonctions en escalier).

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Intégrales des fonctions positives

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Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralPlan

1Introduction

2Défintions et théorèmes généraux

3Intégrales des fonctions positives

4Intégrales des fonctions de signe quelconque

5Comparaison Séries et Intégrales Généralisées

C. NazaretIntégrales Généralisées

Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralIntégrale d"une fonction sur un intervalle[a;+1[ou] 1;b]Définition

f étant une fonction définie et localement intégrable sur[a;+1[ et silimx!+1Z x a f(t)dt est finie alors on note Z +1 a f(t)dt=limx!+1Z x a f(t)dt:

On dit que l"intégrale est convergente.

Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale est divergente.Remarque Pour Z b 1

f(t)dt, la définition s"adapte de façon évidente.C. NazaretIntégrales Généralisées

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Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralIntégrale d"une fonction sur un intervalle[a;+1[ou] 1;b]Définition

f étant une fonction définie et localement intégrable sur[a;+1[ et silimx!+1Z x a f(t)dt est finie alors on note Z +1 a f(t)dt=limx!+1Z x a f(t)dt:

On dit que l"intégrale est convergente.

Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale est divergente.Remarque Pour Z b 1

f(t)dt, la définition s"adapte de façon évidente.C. NazaretIntégrales Généralisées

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Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralUne première méthode pour étudier la convergence de Z+1 a f(t)dtconsiste à calculerI(x) =Z x a f(t)dtquand c"est possible puis à chercher si lim x!+1I(x)existe et est finie.Exemple

L"intégrale I=Z

+1 1dtt

2est convergente car

Z x 1dtt

2= [1t

]x1=11x et donc

I=limx!+111x

=1:C. NazaretIntégrales Généralisées

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Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralUne première méthode pour étudier la convergence de Z+1 a f(t)dtconsiste à calculerI(x) =Z x a f(t)dtquand c"est possible puis à chercher si lim x!+1I(x)existe et est finie.Exemple

L"intégrale I=Z

+1 1dtt

2est convergente car

Z x 1dtt

2= [1t

]x1=11x et donc

I=limx!+111x

=1:C. NazaretIntégrales Généralisées

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Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralExemple

En revanche, l"intégrale J=Z

+1 0 costdt est divergente car Z x 0 costdt=sinx et comme la fonction sinus n"a pas de limite en+1, J est divergente.

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Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralExemple

L"intégrale K=Z

1

0dt1+t2converge car

Z x

0dt1+t2= [arctant]x0=arctanx

et donc

K=limx!1arctanx=2

:C. NazaretIntégrales Généralisées

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Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralDéfinition (Intégrale d"une fonction qui devient infinie pour une

des bornes d"intégration)f étant une fonction définie et localement intégrable sur[a;b[et

silimx!bZ x a f(t)dt est finie alors Z b a f(t)dt=limx!bZ x a f(t)dt:

On dit que l"intégrale est convergente.

Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale est divergente.Remarque Pour f fonction définie et localement intégrable sur]a;b], la définition s"adapte de façon évidente.

C. NazaretIntégrales Généralisées

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Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralDéfinition (Intégrale d"une fonction qui devient infinie pour une

des bornes d"intégration)f étant une fonction définie et localement intégrable sur[a;b[et

silimx!bZ x a f(t)dt est finie alors Z b a f(t)dt=limx!bZ x a f(t)dt:

On dit que l"intégrale est convergente.

Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale est divergente.Remarque Pour f fonction définie et localement intégrable sur]a;b], la définition s"adapte de façon évidente.

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Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralExemple

L"intégrale I=Z

1 0dtpt converge car Z 1 dtpt = [2pt]1=2(1p) et donc I=lim!02(1p) =2:C. NazaretIntégrales Généraliséesquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20
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