Exercices sur les intégrales généralisées PDF

Chapitre 7 : Intégrales généralisées

Chapitre 7 : Intégrales généralisées. 1 Introduction. Nous avons pour le moment considéré l'intégration de fonctions continues par morceaux.

Intégrales Généralisées

Comparaison Séries et Intégrales Généralisées. Fonctions localement intégrables. Intégrale d'une fonction sur un intervalle semi-ouvert. Relation de Chasles.

Résumé intégrales généralisées

3 nov. 2013 Étudier la nature d'une intégrale c'est dire si elle converge ou si elle diverge. Remarques. (a) Si b est réel et si f admet une limite finie ...

INTEGRALES GENERALISEES

INTEGRALES GENERALISEES. I. Généralités. Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des.

Intégrales Généralisées

Intégrales Généralisées. Exercice 1. Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : 1 = ? 3 ? .

Intégrales Généralisées

Sinon on dit que l'intégrale généralisée est divergente. Exemple(s). • f(t) = e?t : l'intégrale de f sur [0+?[ est convergente et.

Exercices sur les intégrales généralisées

dx. (1 + x2)(1 + x?) . Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.

Chapitre 01 : Intégrales généralisées

Critères de convergence pour les fonctions positives : Dans ce paragraphe nous allons affirmer que certains intégrales généralisées convergent

Intégrales généralisées

10 sept. 2020 un intervalle I d'extrémités ?? ? a < b ? +?. Si les intégrales généralisées ? b a f et ? b a g convergent alors pour tout ?

Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x a x

Chapitre 23 - Intégrales généralisées - 23 Chapitre - StuDocu

Intégrales Généralisées Hamid Boua Faculté pluridisciplinaire-Nador-Module: Analyse 2 SMP-SMC 26 mai 2021 Pr Boua Hamid (UMP) FPN 26 mai 2021 1 / 28

INTEGRALES GENERALISEES - univ-rennes1fr

INTEGRALES GENERALISEES I Généralités Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES § 1 — Calcul d’intégrales généralisées par primitivation 1 § 2 — Nature d’intégrales généralisées 3 § 3 — Exercices complémentaires (plus di ciles) 6 § 1 —Calcul d’intégrales généralisées par primitivation Exercice 1 1

Intégrales Généralisées - licence-mathuniv-lyon1fr

Intégrales Généralisées Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : ????1=? 3 ? +? 0; ????2=? 1 ? 2+1 +? 1; ????3=? ln( ) ( 2+1)2 +? 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ????1=? ln( ) +? 2

CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES

CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES HEI 2 - 2015/2016 - Anthony RIDARD Prérequis •Intégration sur un segment et primitives usuelles •Fonctions usuelles et formules trigonométriques •Limites croissances comparées équivalents et développements limités Table des matières I Nature d’une intégrale généralisée 2 1

Combien de chapitre intégrales généralisées résumé ?

Voila:) 23 chapitre intégrales généralisées résumé dans ce chapitre, on généralise la notion vue sur un segment, au cas Passer au document Demande à un expert Se connecterS'inscrire Se connecterS'inscrire Accueil Demande à un expertNouveau Ma Librairie Découverte Institutions Université Paul-Valéry-Montpellier Université Catholique de Lille

Qu'est-ce que la notion d'intégrale généralisée?

La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple. I. Intégrale sur un intervalle de longueur infinie. 1. Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue. On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?zexiste et est finie, et alors f t dt f t dt

Quelle est la nature d’une intégrale généralisée ?

Remarques. Etudier la nature d’une intégrale généralisée revient à dire si elle converge ou si elle diverge. Ne pas confondre lanatured’une intégrale généralisée et lavaleurd’une intégrale généralisée.

Comment calculer l’intégrale ?

a f( t)d t et donc F( y)???? y? a+F( x)? ? x a f( t)d t. Il suffit alors de dériver les propriétés( ?)pour conclure. DémonstrationPour ?6 =1, on a, pour tout u?]0, 1[, ? 1 u 1 t?d t= ? 1 1 ? ? 1 t?? 1 ? 1 u 1 1 ? ?? 1 1 ? ? 1 u?? 1 Si ?>1, ulim? 0 1 u?? 1 L’intégrale diverge donc. Si ?

Exercices sur les int´egrales g´en´eralis´ees

1.Calculer les in´egrales g´en´eralis´ees suivantes :

a)∞ 0dx (1 +ex)(1 +e-x)b)∞ 0e x ⎷xdx c)1 0 lnxdx d)∞ 1lnx x2dx e)1

0lnx(1 +x)2dx f)∞

0 x ne-xdx(n?N) g)∞

0arctanx

1 +x2dx h)∞

adxx(x+r)(a >0, r >0)i)π/2?

0cos2xdx⎷sin2x

2.Montrer que les int´egrales suivantes convergent :

a)∞ 01 ⎷xe-⎷ x2+x+1dx b)π/2? -π/2ln(1 + sinx)dx c)∞ 0 e -t2dt d)∞

01 + sint

1 +⎷t3dt .

3.D´eterminer pour quelles valeurs du couple (α,β)?R2les int´egrales suivantes sont conver-

gentes. (On dessinera dans le plan l"ensemble des couples (α,β) pour lesquels il y a convergence).

a)∞ 0dx xα(1 +xβ)b)∞

0ln(1 +xα)xβdx c)∞

0(1 +t)α-tαtβdt .

4.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleI(n) =∞

1lnx xndxconverge et calculerI(n) dans ce cas.

5.SoitI(λ) =∞

0dx (1 +x2)(1 +xλ). Montrer queI(λ) converge pour tout r´eelλet calculer cette int´egrale en utilisant le changement de variablet= 1/x.

6.SoitI=∞

0e -t-e-2t tdt. a) Montrer queIest convergente. b) Pourε >0, ´etablir, en posantx= 2t, la relation∞ εe -t-e-2t tdt=2ε? εe -ttdt . c) En d´eduire la valeur deI.

7.SoitJ=π/2?

0 lnsinxdx. 1 a) Montrer queJest convergente et que l"on aJ=π/2? 0 lncosxdx. b) Montrer que 2J=π/2? 0 lnsin2x

2dx, et en d´eduire la valeur deJ.

8.Montrer que les int´egrales suivantes sont semi-convergentes :

a)∞

πcosx

⎷xdx b)∞ -1cos(x2)dx(poseru=x2)c)∞ x

2sin(x4)dx .

9.Soitfune fonction deRdansRcontinue et p´eriodique dont l"int´egrale∞

0 f(x)dxest conver- gente. Montrer quefest la fonction nulle. (Raisonner par l"absurde : supposer quef(c)?= 0 pour un certain r´eelc, et montrer que le crit`ere de Cauchy est alors contredit).

10.Soitfune fonction uniform´ement continue de [a,∞[ dansR, telle que l"int´egrale

a f(x)dxconverge. Montrer que limx→∞f(x) = 0 (montrer que sinon le crit`ere de Cauchy se- rait contredit).

11.Soitfune fonction de classe C1deRdansRtelle que, quandxtend vers±∞, on ait

f ?(x) =O?1 x2? a) D´emontrer que les limitesLet?defen +∞et-∞respectivement existent.

12.Soitfune fonction d´ecroissante de [a,∞[ dansR+.

a) Montrer que si l"int´egrale a f(t)dtconverge, alors limx→∞xf(x) = 0. x f(t)dt). b) Montrer par un contre-exemple que la r´eciproque est fausse.

13.D´eterminer la limite des suites (an) d´efinies ci-dessous :

a)an=∞

0arctan(nx)

n(1 +x2)dx , b)an=1

0dx1 +xn, c)an=+∞?

1dx1 +xn, d)an=+∞?

0arctan

?n+1 nx?

1 +x2dx .

14.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleJn=∞

0dx (x3+ 1)nconverge. CalculerJ1, puis montrer que sin≥2, on aJn+1=3n-1

3nJn. En d´eduireJnsin≥1.

Corrig´e1.a) On a

1 (1 +ex)(1 +e-x)=ex(1 +ex)2. Cette expression est de la formeu?/(1 +u)2et admet comme primitive-1/(1 +u). Donc 0dx (1 +ex)(1 +e-x)=? -11 +ex?

0=12-limx→∞11 +ex=12.

b) Une primitive dee-⎷ x/⎷xest-2e-⎷x, donc 0e x ⎷xdx=? -2e-⎷ x?∞0= 2(limx→0e-⎷x-limx→∞e-⎷x) = 2. c) Une primitive de lnxestxlnx-x. Donc 1 0 lnxdx=? xlnx-x? 1

0=-1-limx→0(xlnx-x) =-1,

car la limite dexlnxest nulle en 0. d) En int´egrant par parties ?lnx x2dx=-lnxx+?dxx2=-lnxx-1x, donc 1lnx x2dx=? -lnxx-1x?

1= limx→∞?

-lnxx-1x? + 1 = 1. e) En int´egrant par parties ?lnx (1 +x)2dx=-lnx1 +x+?dxx(1 +x).

Mais en d´ecomposant la fraction rationnelle

1 x(1 +x)=1x-11 +x, on obtient ?lnx (1 +x)2dx=-lnx1 +x+ lnx-ln(1 +x) =xlnx1 +x-ln(1 +x). Alors 1 0lnx (1 +x)2dx=?xlnx1 +x-ln(1 +x)? 1

0=-ln2-limx→0?

xlnx1 +x-ln(1 +x)? =-ln2. 3 f) PosonsIn=∞ 0 x ne-xdx. Puisque les fonctions int´egr´ees sont positives, la fonctionFnd´efinie par F n(α) =α 0 x ne-xdx , est croissante et poss`ede une limite finie ou non `a +∞.

En int´egrant par parties, sin≥1.

x ne-xdx=-xne-x+? nx n-1e-xdx . Mais limx→∞xe-x= 0.

Il en r´esulte que

lim 0 x ne-xdx=nlimα→∞α 0 x n-1e-xdx , et donc I n=nIn-1.

Mais, d"apr`es b),

0=∞

0 e -xdx= 1, donc l"int´egraleInconverge et I n=n(n-1)···1·I0=n!. g) Comme arctanxa pour d´eriv´ee 1/(1 +x2), on a ?arctanx

1 +x2dx=12(arctanx)2,

0arctanx

1 +x2dx=?12(arctanx)2?

0= limx→∞12(arctanx)2=π28.

h) La fraction rationnelle se d´ecompose facilement, puisque 1 x(x+r)=1r?

1x-1x+r?

et admet sur [a,∞[ la primitive1 rlnxx+r. Donc adr x(x+r)=?1rlnxx+r? a=1r? lna+ra+ limx→∞lnxx+r? =1rlna+ra. i) Une primitive de cos2x/⎷ sin2xest⎷sin2x, donc

π/2?

0cos2xdx

⎷sin2x=?⎷sin2x?

π/2

0= limx→π/2⎷sin2x-limx→0⎷sin2x= 0.

2.a) Au voisinage de 0 on a

1 ⎷xe-⎷ x2+x+1≂e-1⎷x, donc l"int´egrale 1 01 ⎷xe-⎷ x2-x+1dxconverge par comparaison `a1 0dx x1/2.

Lorsquex >1,1

⎷xe-⎷

Et l"int´egrale

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[PDF] Exercices sur les intégrales généralisées

Combien de chapitre intégrales généralisées résumé ?

Qu'est-ce que la notion d'intégrale généralisée?

Quelle est la nature d’une intégrale généralisée ?

Comment calculer l’intégrale ?

1.Calculer les in´egrales g´en´eralis´ees suivantes :

0lnx(1 +x)2dx f)∞

0arctanx

1 +x2dx h)∞

0cos2xdx⎷sin2x

2.Montrer que les int´egrales suivantes convergent :

01 + sint

1 +⎷t3dt .

3.D´eterminer pour quelles valeurs du couple (α,β)?R2les int´egrales suivantes sont conver-

0ln(1 +xα)xβdx c)∞

0(1 +t)α-tαtβdt .

4.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleI(n) =∞

5.SoitI(λ) =∞

6.SoitI=∞

7.SoitJ=π/2?

2dx, et en d´eduire la valeur deJ.

8.Montrer que les int´egrales suivantes sont semi-convergentes :

πcosx

2sin(x4)dx .

9.Soitfune fonction deRdansRcontinue et p´eriodique dont l"int´egrale∞

10.Soitfune fonction uniform´ement continue de [a,∞[ dansR, telle que l"int´egrale

11.Soitfune fonction de classe C1deRdansRtelle que, quandxtend vers±∞, on ait

12.Soitfune fonction d´ecroissante de [a,∞[ dansR+.

13.D´eterminer la limite des suites (an) d´efinies ci-dessous :

0arctan(nx)

0dx1 +xn, c)an=+∞?

1dx1 +xn, d)an=+∞?

0arctan

1 +x2dx .

14.Etudier pour quelles valeurs den?Nl"int´egraleJn=∞

3nJn. En d´eduireJnsin≥1.

Corrig´e1.a) On a

0=12-limx→∞11 +ex=12.

0=-1-limx→0(xlnx-x) =-1,

1= limx→∞?

Mais en d´ecomposant la fraction rationnelle

0=-ln2-limx→0?

En int´egrant par parties, sin≥1.

Il en r´esulte que

Mais, d"apr`es b),

0=∞

1 +x2dx=12(arctanx)2,

0arctanx

1 +x2dx=?12(arctanx)2?

0= limx→∞12(arctanx)2=π28.

1x-1x+r?

π/2?

0cos2xdx

π/2

0= limx→π/2⎷sin2x-limx→0⎷sin2x= 0.

2.a) Au voisinage de 0 on a

Lorsquex >1,1

Et l"int´egrale