Chapitre 7 : Intégrales généralisées
Chapitre 7 : Intégrales généralisées. 1 Introduction. Nous avons pour le moment considéré l'intégration de fonctions continues par morceaux.
Intégrales Généralisées
Comparaison Séries et Intégrales Généralisées. Fonctions localement intégrables. Intégrale d'une fonction sur un intervalle semi-ouvert. Relation de Chasles.
Résumé intégrales généralisées
3 nov. 2013 Étudier la nature d'une intégrale c'est dire si elle converge ou si elle diverge. Remarques. (a) Si b est réel et si f admet une limite finie ...
TD 1 Intégrales généralisées
16 sept. 2016 Riemann Darboux
INTEGRALES GENERALISEES
INTEGRALES GENERALISEES. I. Généralités. Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des.
Intégrales Généralisées
Intégrales Généralisées. Exercice 1. Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : 1 = ? 3 ? .
Intégrales Généralisées
Sinon on dit que l'intégrale généralisée est divergente. Exemple(s). • f(t) = e?t : l'intégrale de f sur [0+?[ est convergente et.
Exercices sur les intégrales généralisées
dx. (1 + x2)(1 + x?) . Montrer que I(?) converge pour tout réel ? et calculer cette intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.
Chapitre 01 : Intégrales généralisées
Critères de convergence pour les fonctions positives : Dans ce paragraphe nous allons affirmer que certains intégrales généralisées convergent
Intégrales généralisées
10 sept. 2020 un intervalle I d'extrémités ?? ? a < b ? +?. Si les intégrales généralisées ? b a f et ? b a g convergent alors pour tout ?
Chapitre 2 : Intégrales généralisées - unicefr
La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple I Intégrale sur un intervalle de longueur infinie 1 Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?z existe et est finie et alors f t dt f t dt a x a x
Chapitre 23 - Intégrales généralisées - 23 Chapitre - StuDocu
Intégrales Généralisées Hamid Boua Faculté pluridisciplinaire-Nador-Module: Analyse 2 SMP-SMC 26 mai 2021 Pr Boua Hamid (UMP) FPN 26 mai 2021 1 / 28
INTEGRALES GENERALISEES - univ-rennes1fr
INTEGRALES GENERALISEES I Généralités Dans le chapitre précédent a été définie et étudiée la notion d'intégrale de Riemann pour des fonctions définies sur un intervalle fermé et borné [a b] dites intégrables au sens de Riemann On va maintenant s'intéresser aux fonctions f à valeurs réelles ou complexes
INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr
INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES § 1 — Calcul d’intégrales généralisées par primitivation 1 § 2 — Nature d’intégrales généralisées 3 § 3 — Exercices complémentaires (plus di ciles) 6 § 1 —Calcul d’intégrales généralisées par primitivation Exercice 1 1
Intégrales Généralisées - licence-mathuniv-lyon1fr
Intégrales Généralisées Exercice 1 Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : ????1=? 3 ? +? 0; ????2=? 1 ? 2+1 +? 1; ????3=? ln( ) ( 2+1)2 +? 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2 Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes ? ????1=? ln( ) +? 2
CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES
CHAPITRE 1 : INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES HEI 2 - 2015/2016 - Anthony RIDARD Prérequis •Intégration sur un segment et primitives usuelles •Fonctions usuelles et formules trigonométriques •Limites croissances comparées équivalents et développements limités Table des matières I Nature d’une intégrale généralisée 2 1
Combien de chapitre intégrales généralisées résumé ?
Voila:) 23 chapitre intégrales généralisées résumé dans ce chapitre, on généralise la notion vue sur un segment, au cas Passer au document Demande à un expert Se connecterS'inscrire Se connecterS'inscrire Accueil Demande à un expertNouveau Ma Librairie Découverte Institutions Université Paul-Valéry-Montpellier Université Catholique de Lille
Qu'est-ce que la notion d'intégrale généralisée?
La notion d’intégrales généralisées est une extension de la notion d’intégrale simple. I. Intégrale sur un intervalle de longueur infinie. 1. Intégrale du type ftdt a +?z Définition : Soit f : [a ; +?[ ? R continue. On dit que ftdt a +?z converge si lim ( ) x a x ftdt ?+?zexiste et est finie, et alors f t dt f t dt
Quelle est la nature d’une intégrale généralisée ?
Remarques. Etudier la nature d’une intégrale généralisée revient à dire si elle converge ou si elle diverge. Ne pas confondre lanatured’une intégrale généralisée et lavaleurd’une intégrale généralisée.
Comment calculer l’intégrale ?
a f( t)d t et donc F( y)???? y? a+F( x)? ? x a f( t)d t. Il suffit alors de dériver les propriétés( ?)pour conclure. DémonstrationPour ?6 =1, on a, pour tout u?]0, 1[, ? 1 u 1 t?d t= ? 1 1 ? ? 1 t?? 1 ? 1 u 1 1 ? ?? 1 1 ? ? 1 u?? 1 Si ?>1, ulim? 0 1 u?? 1 L’intégrale diverge donc. Si ?
Chapitre 3:
Intégrales Généralisées
Hamid Boua
Faculté pluridisciplinaire-Nador-
Module: Analyse 2
SMP-SMC
26 mai 2021
Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 1 / 28
Sommaire
1Généralités
2Critères de convergence pour les fonctions positives
Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 2 / 28
Sommaire
1Généralités
2Critères de convergence pour les fonctions positives
Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 3 / 28
!Dans le chapitre précédent, on a défini et étudié la notion d"intégrale de Riemann d"une fonction bornée et définie sur un intervalle fermé et borné. !Dans ce chapitre, on cherche à étendre la notion d"intégrale aux fonctions non nécessairement bornée et définies sur des intervalles de la forme[a;b[; [a;+¥[,]a;b],]¥;b],]a;b[,]¥;+¥[.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 4 / 28Définition :
Soitfune fonction continue sur[a;b[oùa2Retb2Roub= +¥. Pour x2[a;b[, on poseF(x) =Z x a f(t)dt. On dit que l"intégrale defsur[a;b[est convergente ou existe si lim x!bF(x)existe et elle est finie. Cette limite est appelée intégrale généralisée ou impropre defsur[a;b[, et on la note parZ b a f(t)dt. !Si limx!bF(x)n"existe pas ou égale à¥, on dit que l"intégrale defsur[a;b[ n"existe pas ou divergente.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 5 / 28
Définition :
Soitfune fonction continue sur]a;b]oùb2Reta2Roua=¥. Pour x2]a;b], on poseF(x) =Z b x f(t)dt. On dit que l"intégrale defsur]a;b]est convergente ou existe si lim x!aF(x)existe et elle est finie. Cette limite est appelée intégrale généralisée ou impropre defsur]a;b], et on la note parZ b a f(t)dt. !Si limx!aF(x)n"existe pas ou égale à¥, on dit que l"intégrale defsur]a;b] n"existe pas ou divergente.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 6 / 28
Exemples
1) Etudier la convergence de
Z 0 etdt.Pourx0 on a :Zx
0 etdt= [et]x0=ex+1
lim x!+¥Z x 0 etdt=limx!+¥1ex=1. DoncZ 0 etdtest convergente et on a :Z+¥
0 etdt=1Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 7 / 28Exemples
1) Etudier la convergence de
Z 0 etdt.Pourx0 on a :Zx 0 etdt= [et]x0=ex+1
lim x!+¥Z x 0 etdt=limx!+¥1ex=1. DoncZ 0 etdtest convergente et on a :Z+¥
0 etdt=1Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 7 / 282) Etudier la convergence de
Z 1dtpt etZ 1 0dtptPourx1 on a :
Z x 1dtpt = [2pt]x1=2px2!+¥, qdx!+¥. Donc
Z 1dtpt divergePoure>0 :Z
1 edtpt = [2pt]1e=22pe!2, qde!0. DoncZ 1 0dtpt est converge et on a Z1 0dtpt =2Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 8 / 28
2) Etudier la convergence de
Z 1dtpt etZ 10dtptPourx1 on a :
Z x 1dtpt = [2pt]x1=2px2!+¥, qdx!+¥. Donc
Z 1dtpt divergePoure>0 :Z
1 edtpt = [2pt]1e=22pe!2, qde!0. DoncZ 1 0dtpt est converge et on a Z1 0dtpt =2Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 8 / 28
Remarques
1) Sifest continue sur[a;b[et sic2[a;b[alorsZ
b a f(t)dtetZ b c f(t)dtsont de même nature. En effet : Z x a f(t)dt=Z c a f(t)dt+Z x c f(t)dt lim x!bZ x a f(t)dtexiste dansRsi et seulement si limx!bZ x c f(t)dtexiste dansR2) De même sifest continue sur]a;b]et sic2]a;b]alorsZ
b a f(t)dtet Z c a f(t)dtsont de même nature.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 9 / 28Définition
Soitfune fonction continue sur]a;b[(¥ab+¥). On dit que l"intégrale defsur]a;b[est convergente s"il existec2]a;b[tel que chacune des intégrales defsur]a;c]et sur[c;b[sont convergentes, et on pose Z b a f(t)dt=Z c a f(t)dt+Z b c f(t)dtLe nombre
Z b a f(t)dtest indépendant dec, et s"appelle l"intégrale généralisée defsur]a;b[.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 10 / 28Exemples
1) Etudier la convergence de
Z¥11+t2dtPourx>0 :
Z x011+t2dt= [arctant]x
0=arctanx!p2
, qdx!+¥. Donc Z011+t2dt=p2
Pourx<0 :Z
0 x11+t2dt= [arctant]0 x=arctanx!p2 , qdx! ¥. Donc Z 0¥11+t2dt=p2
D"oùZ
¥11+t2dt=Z
0¥11+t2dt+Z
011+t2dt=p2
+p2 =pPr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 11 / 28Exemples
1) Etudier la convergence de
Z¥11+t2dtPourx>0 :
Z x011+t2dt= [arctant]x
0=arctanx!p2
, qdx!+¥. Donc Z011+t2dt=p2
Pourx<0 :Z
0 x11+t2dt= [arctant]0 x=arctanx!p2 , qdx! ¥. Donc Z 0¥11+t2dt=p2
D"oùZ
¥11+t2dt=Z
0¥11+t2dt+Z
011+t2dt=p2
+p2 =pPr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 11 / 282) Etudier la convergence de
Z¥sin(t)dtPourx>0 :
Z x 0 sin(t)dt=[cos(t)]x0=cos(x)+1 n"a pas de limite qdx!+¥, donc
Z x 0 sin(t)dtdiverge et par suiteZ ¥sin(t)dtdiverge.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 12 / 282) Etudier la convergence de
Z¥sin(t)dtPourx>0 :
Z x 0 sin(t)dt=[cos(t)]x0=cos(x)+1 n"a pas de limite qdx!+¥, donc
Z x 0 sin(t)dtdiverge et par suiteZ ¥sin(t)dtdiverge.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 12 / 28Définition :
1) Soitfune fonction continue sur]a;b[et sur]b;d[. On dit queZ
d a f(t)dtest convergente si les deux intégrales Z b a f(t)dtetZ d b f(t)dtsont convergentes, et dans ce cas on pose : Z d a f(t)dt=Z b a f(t)dt+Z d b f(t)dt2) Soita0 chaquei2 f0;:::;n1g. On dit queZ an a 0f(t)dtest convergente si pour chaque
i2 f0;:::;n1g,Z ai+1 a if(t)dtest convergente et dans ce cas on pose Z an a 0f(t)dt=n1å
i=0Z ai+1 a if(t)dtPr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 13 / 28 Exemple :
Z 10 0e tt(t1)(t2)dtconverge si et seulement si les 3 intégrales suivantes sont convergentes : Z 1 0e tt(t1)(t2)dt;Z 2 1e tt(t1)(t2)dt;etZ 10 2e tt(t1)(t2)dtPr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 14 / 28 Proposition ( Exemple de référence à retenir ) Soita>0 eta2R1Z
a1x adxconverge()a>1,2Z a 01x adxconverge()a<1,Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 15 / 28 L"étude de l"intégrale généralisée d"une fonctionfsur un intervalle]c;d]se ramène par le changement de variablet=xà l"étude de l"intégrale généralisée de la fonctionx!f(x)sur l"intervalle[d;c[ Z d c f(t)dt=Z c df(t)dt Dans la suite on va considérer seulement les intégrales généralisées sur des intérvalles de type[a;b[.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 16 / 28 Sommaire
1Généralités
2Critères de convergence pour les fonctions positives
Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 17 / 28
Proposition :
Soitfune fonction continue et positive sur[a;b[. Pour que l"intégraleZ b a f(t)dt soit convergente, il faut et il suffit, qu"il existeM>0 tel que8x2[a;b[:Zx a f(t)dtM.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 18 / 28 Proposition :
Soientfetgdeux fonctions positives continues1Si
Z b a g(t)dtconverge alorsZ b a f(t)dtconverge et dans ce cas on a : Z b a f(t)dtZ b a g(t)dt2Si Z b a f(t)dtdiverge alorsZ b a g(t)dtdiverge.Exemple : Déterminer la nature de l"intégraleZ
01e x+1dx On a :8x2[0;+¥[, 01e
x+11e x orZ t 01e xdx=Z t 0 exdx= [ex]t 0=et+1!1qd t!+¥Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 19 / 28
Proposition :
Soientfetgdeux fonctions positives continues1Si
Z b a g(t)dtconverge alorsZ b a f(t)dtconverge et dans ce cas on a : Z b a f(t)dtZ b a g(t)dt2Si Z b a f(t)dtdiverge alorsZ b a g(t)dtdiverge.Exemple : Déterminer la nature de l"intégraleZ
01e x+1dxOn a :8x2[0;+¥[, 01equotesdbs_dbs14.pdfusesText_20
0f(t)dtest convergente si pour chaque
i2 f0;:::;n1g,Z ai+1 a if(t)dtest convergente et dans ce cas on pose Z an a0f(t)dt=n1å
i=0Z ai+1 a if(t)dtPr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 13 / 28Exemple :
Z 10 0e tt(t1)(t2)dtconverge si et seulement si les 3 intégrales suivantes sont convergentes : Z 1 0e tt(t1)(t2)dt;Z 2 1e tt(t1)(t2)dt;etZ 10 2e tt(t1)(t2)dtPr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 14 / 28 Proposition ( Exemple de référence à retenir )Soita>0 eta2R1Z
a1x adxconverge()a>1,2Z a 01x adxconverge()a<1,Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 15 / 28 L"étude de l"intégrale généralisée d"une fonctionfsur un intervalle]c;d]se ramène par le changement de variablet=xà l"étude de l"intégrale généralisée de la fonctionx!f(x)sur l"intervalle[d;c[ Z d c f(t)dt=Z c df(t)dt Dans la suite on va considérer seulement les intégrales généralisées sur des intérvalles de type[a;b[.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 16 / 28Sommaire
1Généralités
2Critères de convergence pour les fonctions positives
Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 17 / 28
Proposition :
Soitfune fonction continue et positive sur[a;b[. Pour que l"intégraleZ b a f(t)dt soit convergente, il faut et il suffit, qu"il existeM>0 tel que8x2[a;b[:Zx a f(t)dtM.Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 18 / 28Proposition :
Soientfetgdeux fonctions positives continues1Si
Z b a g(t)dtconverge alorsZ b a f(t)dtconverge et dans ce cas on a : Z b a f(t)dtZ b a g(t)dt2Si Z b a f(t)dtdiverge alorsZ b a g(t)dtdiverge.Exemple :Déterminer la nature de l"intégraleZ
01e x+1dxOn a :8x2[0;+¥[, 01e
x+11e x orZ t 01e xdx=Z t 0 exdx= [ex]t0=et+1!1qd t!+¥Pr. Boua Hamid (UMP)FPN26 mai 2021 19 / 28
Proposition :
Soientfetgdeux fonctions positives continues1Si
Z b a g(t)dtconverge alorsZ b a f(t)dtconverge et dans ce cas on a : Z b a f(t)dtZ b a g(t)dt2Si Z b a f(t)dtdiverge alorsZ b a g(t)dtdiverge.Exemple :Déterminer la nature de l"intégraleZ
01e x+1dxOn a :8x2[0;+¥[, 01equotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] Intégrales impropres et Suite d`intégrales
[PDF] Intégralité - Jean - France
[PDF] intégralité au format PDF - Archives de Nantes
[PDF] Intégralité de l`article
[PDF] intégralité de nos formations informatiques - Conception
[PDF] Intégralité et détail des ateliers ICI - Gestion De Projet
[PDF] Integralrechnung Aufgaben Wasserbecken Bergstollen
[PDF] Integralrechnung: unbestimmte und bestimmte Integrale • f (x) dx ist
[PDF] Integramouse +
[PDF] intégrant la carte de surveillance patient - Chirurgie
[PDF] Integrated Aircraft Routing and Crew Pairing at Air France
[PDF] Integrated Alarm Systems - VdS - Design of CO2 extinguishing
[PDF] Integrated Compressed Air Foam System - Anciens Et Réunions
[PDF] Integrated Dell Remote Access Controller 7 (iDRAC7) Guide d