[PDF] Résumé intégrales généralisées

Résumé intégrales généralisées

Gilbert Primet

3 novembre 2013

On est invité à réfléchir aux exemples donnés.

1 Convergence, divergence d"une intégrale

1.1 Définitions

1. Soitf2CM([a,b[,K)(KAERouC, (a,b)2R£R,aÇbOnditquel"intégraleRb

af(t)dt converge lorsque l"application de [a,b[ dans

K:x7!Rx

af(t)dtpossède unelimite finielorsquextend versb. Cette limite est alors appelée l"intégrale deaàbdefet est notée :Rb af(t)dt.

Si l"intégraleRb

af(t)dtne converge pas, on dit qu"ellediverge. Étudier lanatured"une intégrale, c"est dire si elle converge ou si elle diverge.

Remarques

(a) Sibestréelet sifadmet une limite finie enb, alors, l"intégraleRb af(t)dtconverge. On dit qu"elle est faussement généralisée. (b) SibAEÅ1et sifadmet une limite enbautre que 0, alors,Rb af(t)dtdiverge. On dit que la divergence est grossière.

Par contrapposition, si l"intégraleRÅ1

af(t)dtconverge et sifa une limite finie enÅ1, cette limite est forcément 0. Attention,fpeut ne pas avoir de limite enÅ1. Exemple : soitfla fonction définie sur R )AEn,fest nulle surh n,nÅ12

¡13n3i

et surh12Å13n3,nÅ1i ,fest affine surh nÅ12

¡13n3,nÅ12

i et surh nÅ12 ,nÅ12

Å13n3i

. Enfin,fest nulle sur [0,1]. (Faire un dessin)fn"a pas de limite en

Å1, maisRÅ1

0f(t)dtconverge.

(c) Sic2]a,b[, les intégralesRb af(t)dtetRb cf(t)dtsont de même nature, et en cas de convergence : Z b a f(t)dtAEZ c a f(t)dtÅZ b c f(t)dt(Relation de Chasles) (d) Si Rb af(t)dtconverge, alors limx!b¡Rb xf(t)dtAE0

2. On a des notions identiques lorsquefest continue par morceaux sur ]a,b], en considérant

la limite dex7!Rb xf(t)dtena.

3. Soitf2CM(]a,b[,K), on dit queRb

af(t)dtconverge lorsque pour un certainc2]a,b[, les intégralesRc af(t)dt etRb cf(t)dtconvergent. Lorsque c"est le cas , on pose par définition : Z b a f(t)dtAEZ c a f(t)dtÅZ b c f(t)dt 1

(La nature de l"intégrale et sa valeur sont indépendantes decd"après la relation de Chasles).

RemarqueSelon l"exemple, on aura affaire à une intégrale généralisée sur un intervalle de

type [a,b[,]a,b],]a,b[,¢¢¢ou non généralisée (Fonction continue par morceaux sur un seg-

ment [a,b]). Il appartient au lecteur de déterminer le cas où l"on est, en prenant garde de ne pas inclure une extrémité où l"intégrale n"est pas généralisée). Å1

0e¡atdtconverge et :RÅ1

0e¡atdtAE1a

R1

0ln(t)dtconverge.RÅ1

1dtt

®converge()®È1R1

0dtt

®converge()®Ç1

1.2 Propriétés

1.2.1 Somme

fetgsont des fonctions continues par morceaux sur un intervalle d"extrémitésaetb. - Si Rb af(t)dtetRb ag(t)dtconvergent, alorsRb a(f(t)Åg(t))dtconverge et Z b a (f(t)Åg(t))dtAEZ b a f(t)dtÅZ b a g(t)dt - Si Rb af(t)dtconverge etRb ag(t)dtdiverge , alorsRb a(f(t)Åg(t))dtdiverge. - SiRb af(t)dtetRb ag(t)dtdivergent, alors on ne peut rien dire sur la nature deRb a(f(t)Åg(t))dt

1.2.2 Produit par un scalaire

af(t)dtetRb a¸f(t)dtsont de même nature, et en cas de convergence :Zb a

¸f(t)dtAE¸Z

b a f(t)dt

1.2.3 Cas des fonctions à valeurs complexes

R b af(t)dtconverge si et seulement siRb aRe(f)(t)dtetRb aIm(f)(t)dtconvergent et en cas de convergence :Zb a f(t)dtAEZ b a

Re(f)(t)dtÅiZ

b a

Im(f)(t)dt

1.2.4 Conjugaison

Si Rb af(t)dtconverge, alorsRb af(t)dtconverge etRb af(t)dtAER b af(t)dt

1.2.5 Cas d"une décomposition de la fonction à intégrer

Lorsque la fonction à intégrer est décomposée en somme, par exemple, dans le cas d"une

décomposition en éléments simples, il convient de rester prudent : les intégrales des différents

termes peuvent diverger, même si l"intégrale initiale converge. Dans ce cas il faut rester entre des

bornes finies puis passer à la limite, en recherchant les compensations de termes.

Exemple : Calculer

RÅ1

0dt(tÅ1)(t2Å1)

2

2 Cas des fonctions à valeurs réelles positives

2.1 Ordre et comparaison

Soientfetgdes fonctions continues par morceaux sur [a,b[ à valeurs réelles positives. majorationRb af(t)dtconverge()(x2[a,bj7!Rx af(t)dt) est majorée.

Si c"est le cas :Zb

a f(t)dtAEsup x2[a,b[Z x a f(t)dt Prépondérance,négligeabilitéSifAEOb(g) alors :Rb ag(t)dtconverge)Rb af(t)dtconverge. (et donc par contrapposition :Rb af(t)dtdiverge)Rb ag(t)dtdiverge.) (Ceci vaut donc en particulier sifAEob(g)) Application classique: comparaison à une intégrale de Riemann par calcul de la limite enb det®f(t) (sibAEÅ1), ou de (b¡t)®f(t) (Sib2R), avec®judicieusement choisi.

OrdreSifÉgalors :

Z b a g(t)dtconverge)Z b a f(t)dtconverge etZ b a f(t)dtÉZ b a g(t)dt (et donc par contrapposition : Rb af(t)dtdiverge)Rb ag(t)dtdiverge) (Il suffit d"avoir l"inégalitéfÉgsur un certain intervalle [c,b[,c2[a,b[)

ÉquivalentsSif»bg, alorsRb

af(t)dtetRb ag(t)dtsont de même nature.

Remarques

1. Il suffit quef(oug) soit de signe constant au voisinage deb

2. La condition du signe est essentielle. On pourra par exemple montrer en exercice que

RÅ1

1(¡1)E(t)pt

dtconverge, alors queRÅ1 1³ (¡1)E(t)pt

Å1t

dtdiverge, bien que les deux fonc- tions à intégrer soient équivalentes enÅ1

3. Pour le calcul de l"intégrale, on ne peut bien sûr pas remplacer une fonction par une

fonction équivalente. Cas d"un l"intervalle ]a,b]On a des théorèmes identiques, en les transposant bien entendu ena.

RemarquePour l"application d"un critère, on risque parfois d"introduire des problèmes de diver-

gence à l"autre extrémité de l"intervalle en changeant de fonction. Il faut alors restreindre

l"intervalle. Un cas classique est la comparaison enÅ1avec1t

2.2 Comparaison série-intégrale

2.2.1 Théorème de comparaison série-intégrale

Soitfune fonction continue par morceaux, positive, décroissante sur [N,Å1[,N2N. Alors :

1. La série de terme généralwnAERn

n¡1f(t)dt¡f(n) converge

2. La sérieP

nÊNf(n) et l"intégraleRÅ1

Nf(t)dtsont de même nature.

2.2.2 Exemples

1. La série de Riemann

P nÊ11n

®converge si et seulement si®È1

3

2. La série de Bertrand

P nÊ21n ®ln(n)¯, (®,¯)2R2converge si et seulement si®È1 ou (®AE

1 et¯È1).

(En fait si®est différent de 1, on utilise la comparaison avec1n

¯, où¯est compris entre®et

1. La comparaison série-intégrale n"est utilisée que dans le cas®AE1 pour¯È0.)

3. On peut aussi utiliser des intégrales pour encadrer la somme partielle d"une série ou le reste

d"une sériePf(n), oùfest une fonction monotone positive, pour par exemple trouver

un équivalent de la somme partielle (lorsque la série diverge) ou du reste (lorsque la série

converge). On pourra par exemple examiner le cas des séries de RiemannP1n

®: Si®Ç1,Sn»11¡®n1¡®

et si®È1Rn»1®¡11n

®¡1

2.3 Convergence absolue

On revient à des fonctions quelconques

2.3.1 Convergence absolue

SoitIun intervalle non trivial etfune fonction deIdansKcontinue par morceaux. On dit que l"intégraleR

If(t)dt converge absolumentlorsqueR

Ijf(t)jdtconverge.

2.3.2 Propriété

Si l"intégrale

R If(t)dtconverge absolument, alors elle converge et :Z I f(t)dtÉ Z I jf(t)jdt

2.3.3 Application

On peut utiliser surjfjles critères de convergence pour les intégrales de fonctions positives. Lorsque par exempleIAE]a,b] : sijfj Égoujfj AEoa(g), et queR

Igconverge (gétant définie et

continue par morceaux surI), alorsR

Ifconverge absolument donc converge.

2.3.4 Exemple

1.8®2]1,2[RÅ1

0sintt

®converge absolument.

2.8®2]0,1]RÅ1

0sintt

®converge mais ne converge pas absolument. (Exemple à savoir retrou- montrer la convergence, on fait une intégration par parties sur [1,Å1[, et pour montrer la non convergence absolue, on montre la divergence de la série de terme généralR(nÅ1)¼ n¼jsintjt par un changement de variablestAEuÅn¼)

3. L"exemple précédent montre en particulier que la convergence n"implique pas la conver-

gence absolue.

3 Fonctions intégrables

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