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Cours de Math´ematiques 2

premi `ere partie :Analyse 2

DEUG MIAS1eann´ee,2esemestre.

Maximilian F. Hasler

D

´epartement Scientifique Interfacultaire

B.P. 7209 - F-97275 SCHOELCHER CEDEX

Fax : 0596 72 73 62 - e-mail :mhasler@univ-ag.fr

version du 21 avril 20021

www.Les-Mathematiques.netTable des mati`eres1 Fonctions`a valeur dansR2: courbes param´etr´ees31.1 Plan d"´etude d"une courbe parametr´ee. . . . . . . . . . . . . . . . .31.2 Etude des branches infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.3 Etude de points particuliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.3.1 Etude en un point stationnaireM(t0).. . . . . . . . . . . . .51.3.2 Position deCpar rapport`aTen un pointM(t0). . . . . . .51.3.3 Points doubles (ou multiples). . . . . . . . . . . . . . . . .71.4 Etude d"un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

www.Les-Mathematiques.net1 Fonctions`a valeur dansR2: courbes param´etr´eesD´efinition 1 (et interpr´etation g´eom´etrique)SoitDun sous-ensemble de

R

2.-Une fonctionf:D !R2est appel´eeapplication vectorielle`a valeurs

dansR2.-Les deux fonctionsx:D !Rety:D !Rtelles que

8t2 D:f(t) = (x(t);y(t))

sont appel

´ees les applicationscomposantesde (ou : associ´ees`a)f.-Le plan´etant rapport´e`a un rep`ere(O;~{;~|), on noteM(t)le point dont les

coordonn ´ees sontf(t) = (x(t);y(t)). Lorsque leparam`etretparcourtD, le pointM(t)d´ecrit un sous-ensemble du plan, appel´e lacourbeCde (ou : associ

´ee`a)f.-Le syst`eme d"´equations

x=x(t) y=y(t)t2 D est appel

´e unerepr´esentation param´etriquedeC.

On dit alors queCest une courbe param´etr´ee.1.1 Plan d"´etude d"une courbe parametr´ee

On proc

`ede en 6´etapes, pr´ecis´ees ci-dessous :1) Pr´eciser le domaine de d´efinitionDc"est`a dire l"ensemble des points en lesquel

lesdeuxapplications composantesxetysont d´efinis.2) Recherche de p´eriodes et sym´etries1.Si9T >0 :8t2 D;x(t) =x(t+T)ety(t+T) =y(t), la fonction est

t-p´eriodique : on peut alors restreindre l"´etude`a l"intersection deDavec

un intervalle de longueurT, et on obtient ainsi toute la courbe.2.SiDest sym´etrique et on a une des sym´etries suivantes :

(i)8t2 D:x(t) =x(t)ety(t) =y(t)(xetyfcts paires det), (ii)8t2 D:x(t) =x(t)ety(t) =y(t)(ximpaire etypaire), (iii)8t2 D:x(t) =x(t)ety(t) =y(t)(xpaire etyimpaire), (iv)8t2 D:x(t) =x(t)ety(t) =y(t)(xetyimpaires), alors on restreint l" ´etude`at2 D \R+, et on obtient toute la courbe (i) qui est parcourue 2 fois (ii) en compl ´etant l"arc par une sym´etrie par rapport`a l"axey3 www.Les-Mathematiques.net(iii) en compl´etant l"arc par une sym´etrie par rapport`a l"axex (iv) en compl

´etant l"arc par une sym´etrie par rapport`a l"origineO.3) Rechercher les eventuelles branches infinies :voir chapitre1.24) Faire un tableau de variationspourxety, en´etudiant les signes dex0ety0.5) Etudier les points particulierstels que points stationnaires (= singuliers), points

doubles : voir chapitre1.36) Tracer la courbeen s"aidant des r´esultats pr´ec´edants, notamment en reportant

aussi les points singuliers, tangentes et asymptotes.

1.2 Etude des branches infiniesD´efinition 2La courbeCpr´esente une branche infinie (ou : un arc infini),

si au moins une des coordonn

´ees tend vers l"infini, pourt!t0, avect02

R[ f1g.Les cas suivants sont possibles :1.limt!t0x(t) =`2Retlimt!t0y(t) =1:Cadmet la droited"´equationx=`

comme asymptote verticale2.limt!t0x(t) =1etlimt!t0y(t) =`2R:Cadmet la droited"´equationy=`

comme asymptote horizontale3.limt!t0x(t) =1etlimt!t0y(t) =1: On´etudielimt!t0y(t)=x(t):(a)Silimt!t0y(t)x(t)=1, alorsCadmet une branche parabolique dans la direc-

tion0y(b)Silimt!t0y(t)x(t)= 0, alorsCadmet une branche parabolique dans la direction

0x(c)Silimt!t0y(t)x(t)=a6= 0, on´etudie la fonctionya.x:-Silimt!t0(y(t)a.x(t)) =b2RalorsCadmet la droited"´equation

y=a.x+bcomme asymptote, et la position deC=d´epend du signe

deya.xb. (On peut utiliser unDL(t0)pour le trouver.)-Silimt!t0(y(t)a.x(t)) =1alorsCadmet une branche parabolique

dans la direction de la droite d"

´equationy=a.x.-Siya.xn"admet pas de limite, on ne sait pas conclure.(d)Silimt!t0y(t)x(t)n"admet pas de limite, on ne peut conclure sur la nature de l"arc

infini.4

www.Les-Mathematiques.net1.3 Etude de points particuliersD´efinition 3On suppose quex:t7!x(t)ety:t7!y(t)sont d´erivables en

t

0. Le vecteur~V0(t0) = (x0(t0);y0(t))est appel´e le vecteur d´eriv´ee defent0.

On note aussi

~V0(t0)parddt!OM(t0). Si~V0(t0)6=~o, c"est`a dire(x0(t0);y0(t0))6= (0;0), le pointM(t0)est ditpoint ordinaire. La droite(T)de vecteur directeur~V0(t0)et passant par

M(t0)est appel´ee tangente`aCenM(t0).

Une repr

´esentation param´etrique deTest donc donn´ee par T:( x=x(t0) +x0(t0).(tt0) y=y(t0) +y0(t0).(tt0)t2 D: et on peut en d ´eduire facilement une´equation de la formey=mx+b(ou x=x(t0)six0(t0) = 0) en exprimant(tt0)dans la deuxi`eme´equation en terme dex`a l"aide de la premi`ere´equation : y=y(t0) +y0(t0)x0(t0)(xx(t0)): Si~V0(t0) =~o, c"est`a direx0(t0) =y0(t0) = 0, alors le pointM(t0)est dit stationnaireousingulier.1.3.1 Etude en un point stationnaireM(t0).

On suppose que les fonctionsxetysont au plusieurs fois d´erivables.1.Six0(t0) =y0(t0) = 0et(x00(t0);y00(t0))6= (0;0): Dans ce cas, la tangente

(T)`aCenM(t0)est la droite qui passe parM(t0)de vecteur directeur le vecteur

~V00(t0) =d2dt2M(t0)de composantes(x00(t0);y00(t0)).2.Si~V0(t0) =~V00(t0) =:::=~o,~V(p)(t0)6=~o: On g´en´eralise le cas pr´ec´edent.

La tangenteT`aCenM(t0)est la droite qui passe parM(t0)et qui a comme vecteur directeur ~V(p)(t0) = (x(p)(t0);y(p)(t0)).

1.3.2 Position deCpar rapport`aTen un pointM(t0)

On designe parple premier entier0tel que(x(p)(t0);y(p)(t0))6= (0;0): p= minn p2Nj~V(p)6=~oo5

www.Les-Mathematiques.netet parqle premier entier strictement sup´erieur`aptel que les vecteurs~V(p)et~V(q)ne

soient pas colin

´eaires. (On peut´ecrire

q= minn q2Nj~V(q)6=~V(p)82Ro car pourqpla derni`ere relation n"est pas satisfaite non plus.

Ecrivons la formule de Taylor-Young

`a l"ordreq, c"est-`a-dire leDLq(t0): (S)(x(t) =x(t0) +(tt0)pp!x(p)(t0) +:::+(tt0)qq!x(q)(t0) + (tt0)q"1(t) y(t) =y(t0) +(tt0)pp!y(p)(t0) +:::+(tt0)qq!y(q)(t0) + (tt0)q"2(t) aveclimt!t0"1(t) = 0etlimt!t0"2(t) = 0. En

´ecrivant(S)sous forme vectorielle, il vient :

f(t) =f(t0) +(tt0)pp!~V(p)(t0) +:::+(tt0)qq!~V(q)(t0) + (tt0)q~"(t) Or, ~V(p+1)(t0);:::;~V(q1)(t0)sont colin´eaires`a~V(p)(t0), donc f(t) =f(t0) + (tt0)p1p!+p+1tt0(p+ 1)!+:::+q1(tt0)qp1(q1)! ~V(p)(t0) (tt0)qq!~V(q)(t0) + (tt0)q~"(t)

Etudions le vecteur

!M(t0)M(t)dans le rep`ere(M(t0);~V(p)(t0);~V(q)(t0)). Six1(t) ety1(t)designent ses composantes dans cette base, on a les´equivalences (au voisinage det0) x

1(t)(t0)(tt0)pp!ety1(t)(t0)(tt0)qq!

Selon la parit

´e depet deq, on a les r´esultats suivants :D´efinition 41.ppair etqimpair : au voisinage det0,x1(t)0ety1(t)

a le signe de(tt0):Ctraverse la tangenteTenM(t0), qui est un point de rebroussement de1eesp`ece.2.ppair etqpair : au voisinage det0,x1(t)0ety1(t)0, ind ´ependamment du signe de(tt0):Cne traverse pas la tangente

T;M(t0)est un point de rebroussement de2eesp`ece.3.pimpair etqpair : au voisinage det0,x1(t)change de signe ety1(t)

0:Ctouche la tangenteT;M(t0)est appele "m´eplat".4.pimpair etqimpair : au voisinage det0,x1(t)ety1(t)changent de

signe :Ctraverse la tangenteTenM(t0), qui est appel´epoint d"in- flexion.6 point double (ou multiple).Pour trouver les points doubles, il faut donc r´esoudre le syst`eme x(t0) =x(t) y(t0) =y(t) avect06=t. (C"est en g´en´eral un calcul assez lourd...!)

1.4 Etude d"un exemple

Etudions la courbeCd´efinie par(

x=t2+2t

y=t2+1t2.1.Domaine de d´efinition :xetysont d´efinis surD=Rn f0g2.Recherche de sym´etries : il n"y a pas de sym´etries´evidentes. (yest paire maisx

n"a pas de parit

´e d´efinie.)7

www.Les-Mathematiques.net3.Etude de branches infinies.(a)t! 1: On ax!+1ety!+1, il faut donc´etudieryx1t

2t2= 1,

ety(t)1.x(t) =1t22t= 0: La droite d"´equation :y=xest asymptote `a la courbe pour les deux arcs infinist! 1.(b)t!0: On ay1t2!+1etx2t!t!01(selon la signe det). On etudie doncyx0t2t2=12t! 1, on a donc deux branches parabolique de direction(Oy)ent= 04.´etude du signe dex0ety0: x0(t) = 2t2t2=2t2t31=2t2(t1)t2+t+ 1 y

0(t) = 2t2t3=2t3t41=2t3t2+ 1(t1)(t+ 1)

doncx0a le signe det1ety0a le signe det(t21): t1 1 0 1 +1x0(t) 0 +x(t)+1 & 1& 1+1 &3%+1y(t)+1 &2%+1+1 &2%+1y0(t)0 +0 +5.´etude ent= 1 x

0(1) =y0(1) = 0 =)M(1) : (3;2)est un point stationnaire.

Calculons les deriv

´ees successives dexetyent= 1pour connaˆıtre le vecteur directeur de la tangente et la nature du point : x00(t) = 2 +4t3 y

00(t) = 2 +6t4=)(

x00(1) = 6 y

00(1) = 8

Donc ~V00(1) = (6;8)6=~0 =) Cadmet une tangente enM(1) : (3;2)de vecteur directeur ~V00(1) = (6;8). (Son

´equation est doncT:y=86(x3) + 2 =43x2.)

Nature du point :

x000(t) =12t4 y

000(t) =24t5=)(

x000(1) =12 y

000(1) =24

V000(1) = (12;24)est non colin´eaire`a~V00(1) = (6;8), on est donc dans le casp= 2;q= 3, c"est-`a-dire le pointM(1) : (3;2)est un pt de rebroussement de1eesp`ece.6.recherche de points doubles : cherchonst06=ttel queM(t0) =M(t), c"est-`a-dire x(t0) =x(t) y(t0) =y(t)()( t02+2t0=t2+2t t

02+2t02=t2+2t28

www.Les-Mathematiques.net( t02t2=2t2t0= 2t0ttt0 t

02t2=2t22t02= 2t02t2t02t2()(

t0+t=2tt0 1 =

1t2t02

cart6=t0. Donc tt0=1 t+t0=2()( t0=1t t

22t1 = 0

Le premier choix de signes est

`a exclure car il correspond`a(t1)2= 0, soit t= 1 =t0. Donct;t0sont les solutions`at2+ 2t1 = 0, soitt=1 +p2et t

0=1p2.

Le point double est doncM(t) =M(t0) = (5;6).7.Trac´e de la courbe : (cf. figure ci-dessous) on reporte les asymptotes, le pt. stationnaire avec sa tangente. En partant de1, au dessus de l"asymptote, on rejoint le pt.(1;2)avec une tangente horizontale, puis on repart pourt!0versx=1,y= +1(brache parabolique de directionOy) (pourx=10;y25). Pourtau voisinage de+1, on vient de en-dessous de l"asymptotey=x, et on rejoint le pt. singulier(3;2)avec la tangente de vecteur directeur(6;8), puis on repart de l"autre cot ´e de cette tangente, en passant par le pt. double (5,6), pour la branche parabolique de directionOy, quandt!0+(pourx= 10;y25).9 www.Les-Mathematiques.netA: y=xy 2 3 xV''=(6,8) 6

5t->0-t->-oot->0+

t->+oo -1FIG. 1 - Graphe de la courbe´etudi´ee, avec l"asymptotey=xet le vecteur directeur de la tangente en le point de rebroussement.10quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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