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Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

Michel Fournié

michel.fournie@iut-tlse3.fr

Année 2012/2013

1/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Table des matières

1Courbes Paramétrées

Définition d"une courbe paramétrée

Domaine de définition

Courbes à paramétrage périodique

Réduction du domaine d"étude

Exemple

Variation dexetyLecture du tableau de variation

Branches infinies

Etude locale

2Courbes polaires

3Longueur d"un arc, Courbure

2/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure DéfinitionDéfinition d"une courbe paramétrée

Définition :

Soientfetgdeux applications définies surIR

Le pointM(t)de coordonnées(f(t)|{z}

x;g(t)|{z} y)décrit une courbe du plan(C)appeléecourbe par amétrée(de par amètret)

L"application deIsur(C)qui àtassocieM(t)

estunparamétragede (C)

Les équationsx=f(t)

y=g(t) définissent une représentation par amétrique de (C)

Notation :(x=x(t);y=y(t))t!(x(t);y(t))

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DéfinitionExemple

Remarque :

On peut toujours éliminer la variabletentre les deux équations pour obteniryen fonctionxet se ramener à une

équation cartésienne

=)Il faut étudier les variations dexen fonction det =)Souvent la fonction obtenue est compliquée Inversement toute courbe définie pary=h(x)peut être paramétrée par(x=t;y=h(t)) Une même courbe admet plusieurs paramétrages

Exemple :

Quelle sont les courbes dont les paramétrages, pourt2Rsont donnés parx=1t y=t2x=1t y= (t+2)2 4/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

DéfinitionCommentaires fondamentaux

Courbes Cartésiennes !Courbes paramétréesx!f(x)t!(x(t);y(t))la courbe ne revient pas en arrière (1xassocie 1y)la courbe peut revenir en arrière (1xassocie plusieursy) 5/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Domaine de définitionDomaine de définition

Définition :

Le domaine de définitionIdu paramétrage est l"intersection des domaines de définition des fonctionsx(t)ety(t)

Exemple :

Quel est le domaine de définition du paramétrage ? (discuter selon les valeurs deaetbet calculerx2+y2)

Quelle est la courbe associée ?

x=pta y=pbt 6/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Courbes à paramétrage périodiqueCourbes à paramétrage périodique Si les fonctionsx(t)ety(t)ont la même période et siTest la plus petite période positive alors la courbe est entièrement décrite lorsque t2I\[a;a+T[ etaun nombre réel fixé (a=0 oua=T2 , autre)

Exercice :

Trouver la plus petite période positive pour le paramétrage 8>>< >:x=sin3t2 y=sint3

Le fonctionxa pour période43

etya pour période 6d"où la période commune est de 12Animation Maple 7/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étudeIIdée :

On chercheI1etI2deux sous ensemble deItels que

les points deI2se déduisent des points deI1 (par symétrie, rotation, translation) On étudie alors la courbe pourt2I1au lieu det2I1[I2

Par exemple

pour M(t) = (cos(t2)|{z} x;sin(t2)|{z} y),t2I=R

Où se trouve le pointM(t)?

Ses coordonnées s"expriment-ils simplement en fct dexety?

IciM(t) =M(t)on peut donc étudier la courbe

uniquement pourt2R+. 8/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étude (intervalle)

Dans l"exemple on déduitM(t)deM(t)

ce qui s"écrit :M(t) =M((t))avec(t) =t

Domaine d"étude initialI=] 1;+1[

Domaine réduitI0= [0;+1[,

D"autres transformations "classiques" peuvent être testées (t) =t,I= [a;a],I0= [0;a] (t) =t+a2 ,I= [0;a],I0= [0;a2 (t) =at,I= [0;a],I0= [0;a2 (t) =1t ,I=]0;+1[,I0=]0;1[ (t) =1t ,I=] 1;+1[,I0=]1;1[ 9/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étude (courbe)

Il faut savoir :

réduire le domaine d"étude tracer la courbe associée au domaine réduit en déduire la courbe sur sa totalité SoitM(t) = (x(t);y(t)) = (x;y)un point associé àt. SoitM(~t) = (x(~t);y(~t)) = (~x;~y)un autre point associé à~t=(t).

On essaye de montrer que ces deux sont liés.

Si(~x;~y) = (x;y)

alors la courbe admet une symétrie par rapport à l"origine 10/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étude (courbe) ~x;~y) = (x;y) =)symétrie par rapport à l"origine( ~x;~y) = (x;y) =)symétrie par rapport à l"axeOy( ~x;~y) = (x;y) =)symétrie par rapport à l"axeOx( ~x;~y) = (y;x) =)symétrie 1ère bissectrice11/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étude (courbe) ~x;~y) = (y;x) =)symétrie 2ième bissectrice( ~x;~y) = (y;x) =)rotation d"angle2 de centreO( ~x;~y) = (y;x) =)rotation d"angle2 de centreOOn peut imaginer d"autres transformations géométriques 12/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Réduction du domaine d"étudeAttention

Avec une transformation donnée par exemple(t) =t (M(t)à comparer avecM(t)) suivant l"exercice, les symétries de la courbe ne sont pas toujours les mêmes. Avecon est passé d"un intervalleIà un intervalle réduitI0. Avec le tracé de la courbe pourI0les symétries permettent de déduire la courbe surIet pas plus

Dans les tracéstn"apparaît pas

C"estx(t)ety(t)qui se lit sur la courbe

Le paramètrets"interprète comme le "temps"

à l"instantton se trouve au pointM(x(t);y(t))

Voir en mécanique la notion detrajectoire d"un point 13/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

ExempleExemple

Etudier la courbe définie par

x=3cos(t) +2cos(3t) y=3sin(t)2sin(3t) xetysont périodiques :T=2 =)I0de longueur 2

Nous considérons(t) =+talors(~x;~y) = (x;y)car

x(+t) =x(t) y(+t) =y(t) ce qui correspond à une symétrie par rapport à l"origineO =)I1de longueur 14/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

ExempleExemple (suite)

(x=3cos(t) +2cos(3t);y=3sin(t)2sin(3t))Pour(t) =ton a(~x;~y) = (x;y)car x(t) =x(t) y(t) =y(t) ce qui correspond à une symétrie par rapport àOx =)I2= [0;2 ](Attention)

Pour(t) =2

talors(~x;~y) = (y;x) 8< :x(2 t) =y(t) y(2 t) =x(t) qui correspond à une symétrie par rapport à la 1ère bissectrice =)I3= [0;4 ](Attention)Animation Maple 15/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

ExempleExemple (tracé)

I

3= [0;4

]I

2= [0;2

]I 1= [2 ;2 ]I 0= [2 ;34 ]16/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Variation dexetyEtude des variations dexetyOn construit un tableau de variation (sur le domaine réduit)t

x

0(t)x(t)y

0(t)y(t)y

0(t)x

0(t) pente de la courbe en "t"Commentaires :V oire xemplesen TD

Siy0(t0) =0,x0(t0)6=0 on a unetangente hor iz.en M(t0) Six0(t0) =0,y0(t0)6=0 on a unetangente v erticaleen M(t0) Siy0(t0) =x0(t0) =0 on dit queM(t0)est unpoint singulier 17/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Lecture du tableau de variationEvolution du tracé quandtaugmentet x% y%On se déplace vers la droite et vers le haut t x% y&On se déplace vers la droite et vers le bas t x& y%On se déplace vers la gauche et vers le haut t x& y&On se déplace vers la gauche et vers le bas 18/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Branches infiniesEtude des branches infinies

Idée :

On étudie le comportement de la courbe lorsquexetytendent vers l"infini quandttend vers une valeur finiet0ou infinie

Asymptote obliquey=ax+b

On doit avoir limt!t0x(t) =limt!t0y(t) =1

On aa=limt!t0y(t)x(t)

Enfinb=limt!t0y(t)ax(t)

Démonstration :

A comprendre (idem étude pour les éq.

cartésiennes)

Voir exemple TD

Remarque :

L "emploides D .L.per metde déter minerla position de la courbe par rapport à son asymptote 19/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Etude localeEtude locale (hors programme)

Généralement les points singuliers jouent un rôle particulier Une étude locale au voisinage de ces points peut être réalisée Cette étude repose sur l"emploi des développements limités vu en 1ère année Ces points peuvent être classés selon quatre natures différentes suivant la position de la courbe par rapport à la tangentePoint d"inflexionPoint de rebroussement de 1ère espèce Point ordinairePoint de rebroussement de 2ième espèce 20/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Table des matières

1Courbes Paramétrées

2Courbes polaires

Définition

Domaine de définition

Courbes avecrpériodiqueVariations derBranches infinies

Etude locale

Tracé de la courbe

Exemple

3Longueur d"un arc, Courbure

21/43
Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

DéfinitionDéfinition

On appelle rayon-vecteur d"angle:

la demi-droite d"origineOfaisant un angleavec l"axeOx A tout couple(r;)de nombres réels, on associe le point du planMde coordonnéesx=rcos() y=rsin() Sirest positif,Mest situé sur le rayon-vecteur d"angleet à une distancerde l"origine Sirest négatif,Mest situé sur le rayon-vecteur d"angle+ et à une distancerde l"origine22/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

DéfinitionDéfinition (suite)

On appellecoordonnées polaires de Mun couple(r;) associé àM L"ensemble des points de coordonnées polaires(f();), pour2Iest (en général) une courbe(C)du plan. L"équation r=f() est appelée équation polaire de(C)

Commentaires :

Dans tous les casOM=jrj

Un même point est défini par une infinité de couples possibles 23/43
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DéfinitionExemples

Exemple 1 :

Donner l"équation polaire du cercle de centreOet de rayonR Donner l"équation polaire de la première bissectrice

Exemple 2 :

Trouver l"équation polaire du cercle de rayonRpassant par l"origineO, de centre = (a;b) = (Rcos(0);Rsin(0))

Correction :

Le cercle est défini par(xa)2+ (yb)2=R2=a2+b2

Ce qui s"écrit encorex2+y22ax2by=0

On remplacexparrcos()etyparrsin()d"où

r

22r(acos() +bsin() =0 d"oùr=2(acos() +bsin())

Ce qui s"écrit encorer=2Rcos(0)

24/43
Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Domaine de définitionDomaine de définition - Réduction du domaine d"étudeDéfinition: On appelle domaine de définition l"ensemble des valeurs de pour lequelr()a un sens

Réduction du domaine d"étude

en suiv antune démarche semblable aux courbes paramétrées avec des transformations vérifiant r(()) =r()our(()) =r() 25/43
Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Domaine de définitionTransformations générales

Sir(a) =r()

=)symétrie orthogonale par rapport à la droite polaire=a2

Sir(a) =r()

=)symétrie orthogonale par rapport à la droite polaire=a+2

Sir(a+) =r()

=)rotation de centreOet d"anglea

Sir(a+) =r()

=)rotation de centreOet d"anglea+26/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Domaine de définitionTransformations "classiques" (a=0Sir() =r() =)symétrie orthogonale par rapport à l"axe desxSir() =r() =)symétrie orthogonale par rapport à l"axe desy27/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Domaine de définitionTransformations "classiques"a=Sir() =r() =)symétrie orthogonale par rapport à l"axe desy

Sir() =r()

=)symétrie orthogonale par rapport à l"axe desx

Sir(+) =r()

=)symétrie par rapport à l"origine28/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Courbes avecrpériodiqueCourbes avecrpériodiqueLorsquerest périodique de périodeTon étudie la courbe

pourdécrivant un intervalle de longueurT, par exemple[0;T] ou[T2 ;T2 ](ou autre) Puis on complète par autant de rotations qu"il faut pour retomber sur l"arc de courbe initial

Parfois la courbe ne se referme pas

(par exemple quand T non rationnel) Dans ce cas on obtient une infinité de rotations 29/43
Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Variations derEtude des variations derOn construit un tableau de variation r

0()r()r()r

0() pour construire la tangente en ""Voir exemples en TD

Commentaires :

Le signe der0()n"apporte pas toujours d"informations

Le signe derest souvent plus intéressant

30/43
Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Variations derTangente

Soitsl"angle que fait la tangente à la courbe enM avec l"axeOx

EtVl"angle entre(OM)et la tangente (V=s)

On peut alors montrer que

tan(V) =r()r

0()Sir(0)6=0 etr0(0) =0 la tangente à la courbe est

orthogonale au rayon-vecteur enM(0) Sir(0) =0 la courbe est tangente au rayon-vecteur en M(0) 31/43
Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Branches infiniesBranches infinies (Hors programme) Sir()tend vers 0 lorsquetend vers l"infini, la courbe admet une branche spir ale qui s"enroule autour de l"or igine Sir()tend vers une limiteRlorsquetend vers l"infini, la courbe admet une branche spir ale qui s"enroule autour du cercle de centreOet de rayonjRj Sir()tend vers l"infini lorsquetend vers l"infini, la courbe admet une branche spir ale qui se déroule

Asymptote :

Sir()tend vers l"infini lorsquetend vers0, la courbe admet une direction asymptotique d"angle0 Si l"asymptote existe elle a pour équation polaire r=asin(0)oùa=lim!0r()sin(0) 32/43
Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Etude localeEtude locale (Hors programme)

Le tracé de la courbe fait naturellement apparaître les points singuliers Une étude locale au voisinage de ces points peut être réalisée Cette étude repose sur l"emploi des développements limités vu en 1ère année 33/43
Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure

Tracé de la courbeTracé de la courbe

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