COURBES PARAMETREES
1 nov. 2004 On étudie donc la courbe sur l'intervalle [0 ?/2] et on compl`ete le tracé par deux symétries. 1. Page 2. 4 Points singuliers. Un point c(t0) d ...
Courbes paramétrées
Points singuliers – Branches infinies. 3.1. Tangente en un point singulier. Rappelons qu'un point M(t0) d'une courbe paramétrée M(t) = x(t) y(t) est dit
Chapitre 6 Courbes paramétrées
6.2.3 Points singuliers. Propriété : Si (f (a) g (a))= (. 0. 0). alors la tangente `a la courbe au point de param`etre a est la droite qui passe par le
Cours de Mathématiques 2
aussi les points singuliers tangentes et asymptotes. 1.2 Etude des branches infinies. Définition 2 La courbe C présente une branche infinie (ou : un arc
Courbes planes
Montrer que la courbe paramétrée x(t) = 4t?3 t2+1 y(t) = 2t?1 t2+2 admet un unique point singulier et tracer l'allure de la courbe au ...
le Programme de licence en génie industriel-ING203
4. Etudes des points singuliers d'une courbe paramétrée. 5. Etude de courbes. 6. Définitions des séries séries convergentes et divergentes. Comparaison série-
le Programme de licence en génie informatique-ING203
4. Etudes des points singuliers d'une courbe paramétrée. 5. Etude de courbes. 6. Définitions des séries séries convergentes et divergentes. Comparaison série-
Les courbes paramétrées
On verra que c'est aussi le cas pour les courbes paramétrées. d'un point mobile et la courbe C est sa trajectoire. ... d'un point singulier.
F411 - Courbes Paramétrées Polaires
Courbes Paramétrées. Courbes polaires. Longueur d'un arc Courbure. Etude locale. Etude locale (hors programme). • Généralement les points singuliers jouent
Feuille de TD n 1 : Étude locale des courbes planes
Est-ce que la courbe C admet des points singuliers ? Montrer que les courbes paramétrées suivantes admettent un unique point singulier déter-.
[PDF] Courbes paramétrées - Exo7 - Cours de mathématiques
Points singuliers – Branches infinies 3 1 Tangente en un point singulier Rappelons qu'un point M(t0) d'une courbe paramétrée M(t) = x(t)
[PDF] Chapitre 6 Courbes paramétrées
La courbe est un moyen de résumer graphiquement toutes les étapes précédentes Il ne sert `a rien de placer énormément de points pour la tracer
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Déterminer s'il y en a les points à tangente verticale les points à tangente horizontale et les points singuliers Calculer la limite de la pente de la
[PDF] COURBES PARAMETREES
1 nov 2004 · Un point c(t0) d'une courbe c est dit singulier si la vitesse c (t0) = 0 On se demande quel est l'aspect de la courbe au voisinage d'un point
[PDF] Courbes paramétrées
Etudier la courbe paramétrée définie par F signifie tracer dans le plan IR2 l'image de A par la fonction F c'est à dire l'ensemble des points M(t)=(x(t)
[PDF] Courbes paramétrées - AlloSchool
On trace la courbe quand t décrit [0 ?] puis on complète par réflexion d'axe (Oy) puis par translations Etude des points singuliers Pour t ? [0 ?] x?(t)
[PDF] Cours 1 : Courbes paramétrées
sont les mêmes : le cercle unité dont on a enlevé le point (?10) Page 8 Cours 1 : Courbes paramétrées V Borrelli
[PDF] Cours de Mathématiques 2
aussi les points singuliers tangentes et asymptotes 1 2 Etude des branches infinies Définition 2 La courbe C présente une branche infinie (ou : un arc
[PDF] F411 - Courbes Paramétrées Polaires
Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d'un arc Courbure Etude locale Etude locale (hors programme) • Généralement les points singuliers jouent
Comment trouver le point singulier ?
On dit que M est un point régulier si f?(t)?0. f ? ( t ) ? 0. Dans le cas contraire, on dit que M est un point singulier ou encore point stationnaire.Comment trouver le paramétrage d'une courbe ?
On appelle paramétrage une application f : I ? R2, o`u I désigne un intervalle (voire une réunion d'intervalles) de R et o`u f est continue. La courbe (paramétrée) associée `a f est son image C = f(I).Comment montrer qu'une courbe est régulière ?
Définition. – Une courbe géométrique est dite RÉGULIÈRE si l'un de ses représentants ?0 : I ?? R2 ou R3 est régulier en tous points. NORMALE. dim Vect(?(p)(t0),?(q)(t0)) = 2.- Pour étudier une courbe d'équation y = f(x) (ou simplement étudier une fonction f), le schéma est le suivant : – On commence par chercher l'ensemble de définition de la fonction f. Eventuellement, si la fonction est paire/impaire, périodique, on peut restreindre l'intervalle d'étude.
F411 - Courbes Paramétrées, Polaires
Michel Fournié
michel.fournie@iut-tlse3.frAnnée 2012/2013
1/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureTable des matières
1Courbes Paramétrées
Définition d"une courbe paramétrée
Domaine de définition
Courbes à paramétrage périodique
Réduction du domaine d"étude
Exemple
Variation dexetyLecture du tableau de variation
Branches infinies
Etude locale
2Courbes polaires
3Longueur d"un arc, Courbure
2/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure DéfinitionDéfinition d"une courbe paramétréeDéfinition :
Soientfetgdeux applications définies surIR
Le pointM(t)de coordonnées(f(t)|{z}
x;g(t)|{z} y)décrit une courbe du plan(C)appeléecourbe par amétrée(de par amètret)L"application deIsur(C)qui àtassocieM(t)
estunparamétragede (C)Les équationsx=f(t)
y=g(t) définissent une représentation par amétrique de (C)Notation :(x=x(t);y=y(t))t!(x(t);y(t))
3/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureDéfinitionExemple
Remarque :
On peut toujours éliminer la variabletentre les deux équations pour obteniryen fonctionxet se ramener à uneéquation cartésienne
=)Il faut étudier les variations dexen fonction det =)Souvent la fonction obtenue est compliquée Inversement toute courbe définie pary=h(x)peut être paramétrée par(x=t;y=h(t)) Une même courbe admet plusieurs paramétragesExemple :
Quelle sont les courbes dont les paramétrages, pourt2Rsont donnés parx=1t y=t2x=1t y= (t+2)2 4/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureDéfinitionCommentaires fondamentaux
Courbes Cartésiennes !Courbes paramétréesx!f(x)t!(x(t);y(t))la courbe ne revient pas en arrière (1xassocie 1y)la courbe peut revenir en arrière (1xassocie plusieursy) 5/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureDomaine de définitionDomaine de définition
Définition :
Le domaine de définitionIdu paramétrage est l"intersection des domaines de définition des fonctionsx(t)ety(t)Exemple :
Quel est le domaine de définition du paramétrage ? (discuter selon les valeurs deaetbet calculerx2+y2)Quelle est la courbe associée ?
x=pta y=pbt 6/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Courbes à paramétrage périodiqueCourbes à paramétrage périodique Si les fonctionsx(t)ety(t)ont la même période et siTest la plus petite période positive alors la courbe est entièrement décrite lorsque t2I\[a;a+T[ etaun nombre réel fixé (a=0 oua=T2 , autre)Exercice :
Trouver la plus petite période positive pour le paramétrage 8>>< >:x=sin3t2 y=sint3Le fonctionxa pour période43
etya pour période 6d"où la période commune est de 12Animation Maple 7/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étudeIIdée :On chercheI1etI2deux sous ensemble deItels que
les points deI2se déduisent des points deI1 (par symétrie, rotation, translation) On étudie alors la courbe pourt2I1au lieu det2I1[I2Par exemple
pour M(t) = (cos(t2)|{z} x;sin(t2)|{z} y),t2I=ROù se trouve le pointM(t)?
Ses coordonnées s"expriment-ils simplement en fct dexety?IciM(t) =M(t)on peut donc étudier la courbe
uniquement pourt2R+. 8/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étude (intervalle)Dans l"exemple on déduitM(t)deM(t)
ce qui s"écrit :M(t) =M((t))avec(t) =tDomaine d"étude initialI=] 1;+1[
Domaine réduitI0= [0;+1[,
D"autres transformations "classiques" peuvent être testées (t) =t,I= [a;a],I0= [0;a] (t) =t+a2 ,I= [0;a],I0= [0;a2 (t) =at,I= [0;a],I0= [0;a2 (t) =1t ,I=]0;+1[,I0=]0;1[ (t) =1t ,I=] 1;+1[,I0=]1;1[ 9/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étude (courbe)Il faut savoir :
réduire le domaine d"étude tracer la courbe associée au domaine réduit en déduire la courbe sur sa totalité SoitM(t) = (x(t);y(t)) = (x;y)un point associé àt. SoitM(~t) = (x(~t);y(~t)) = (~x;~y)un autre point associé à~t=(t).On essaye de montrer que ces deux sont liés.
Si(~x;~y) = (x;y)
alors la courbe admet une symétrie par rapport à l"origine 10/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étude (courbe) ~x;~y) = (x;y) =)symétrie par rapport à l"origine( ~x;~y) = (x;y) =)symétrie par rapport à l"axeOy( ~x;~y) = (x;y) =)symétrie par rapport à l"axeOx( ~x;~y) = (y;x) =)symétrie 1ère bissectrice11/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Réduction du domaine d"étudeRéduction du domaine d"étude (courbe) ~x;~y) = (y;x) =)symétrie 2ième bissectrice( ~x;~y) = (y;x) =)rotation d"angle2 de centreO( ~x;~y) = (y;x) =)rotation d"angle2 de centreOOn peut imaginer d"autres transformations géométriques 12/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureRéduction du domaine d"étudeAttention
Avec une transformation donnée par exemple(t) =t (M(t)à comparer avecM(t)) suivant l"exercice, les symétries de la courbe ne sont pas toujours les mêmes. Avecon est passé d"un intervalleIà un intervalle réduitI0. Avec le tracé de la courbe pourI0les symétries permettent de déduire la courbe surIet pas plusDans les tracéstn"apparaît pas
C"estx(t)ety(t)qui se lit sur la courbe
Le paramètrets"interprète comme le "temps"
à l"instantton se trouve au pointM(x(t);y(t))
Voir en mécanique la notion detrajectoire d"un point 13/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureExempleExemple
Etudier la courbe définie par
x=3cos(t) +2cos(3t) y=3sin(t)2sin(3t) xetysont périodiques :T=2 =)I0de longueur 2Nous considérons(t) =+talors(~x;~y) = (x;y)car
x(+t) =x(t) y(+t) =y(t) ce qui correspond à une symétrie par rapport à l"origineO =)I1de longueur 14/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureExempleExemple (suite)
(x=3cos(t) +2cos(3t);y=3sin(t)2sin(3t))Pour(t) =ton a(~x;~y) = (x;y)car x(t) =x(t) y(t) =y(t) ce qui correspond à une symétrie par rapport àOx =)I2= [0;2 ](Attention)Pour(t) =2
talors(~x;~y) = (y;x) 8< :x(2 t) =y(t) y(2 t) =x(t) qui correspond à une symétrie par rapport à la 1ère bissectrice =)I3= [0;4 ](Attention)Animation Maple 15/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureExempleExemple (tracé)
I3= [0;4
]I2= [0;2
]I 1= [2 ;2 ]I 0= [2 ;34 ]16/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureVariation dexetyEtude des variations dexetyOn construit un tableau de variation (sur le domaine réduit)t
x0(t)x(t)y
0(t)y(t)y
0(t)x0(t) pente de la courbe en "t"Commentaires :V oire xemplesen TD
Siy0(t0) =0,x0(t0)6=0 on a unetangente hor iz.en M(t0) Six0(t0) =0,y0(t0)6=0 on a unetangente v erticaleen M(t0) Siy0(t0) =x0(t0) =0 on dit queM(t0)est unpoint singulier 17/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Lecture du tableau de variationEvolution du tracé quandtaugmentet x% y%On se déplace vers la droite et vers le haut t x% y&On se déplace vers la droite et vers le bas t x& y%On se déplace vers la gauche et vers le haut t x& y&On se déplace vers la gauche et vers le bas 18/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureBranches infiniesEtude des branches infinies
Idée :
On étudie le comportement de la courbe lorsquexetytendent vers l"infini quandttend vers une valeur finiet0ou infinieAsymptote obliquey=ax+b
On doit avoir limt!t0x(t) =limt!t0y(t) =1
On aa=limt!t0y(t)x(t)
Enfinb=limt!t0y(t)ax(t)
Démonstration :
A comprendre (idem étude pour les éq.
cartésiennes)Voir exemple TD
Remarque :
L "emploides D .L.per metde déter minerla position de la courbe par rapport à son asymptote 19/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureEtude localeEtude locale (hors programme)
Généralement les points singuliers jouent un rôle particulier Une étude locale au voisinage de ces points peut être réalisée Cette étude repose sur l"emploi des développements limités vu en 1ère année Ces points peuvent être classés selon quatre natures différentes suivant la position de la courbe par rapport à la tangentePoint d"inflexionPoint de rebroussement de 1ère espèce Point ordinairePoint de rebroussement de 2ième espèce 20/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureTable des matières
1Courbes Paramétrées
2Courbes polaires
Définition
Domaine de définition
Courbes avecrpériodiqueVariations derBranches infiniesEtude locale
Tracé de la courbe
Exemple
3Longueur d"un arc, Courbure
21/43Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure
DéfinitionDéfinition
On appelle rayon-vecteur d"angle:
la demi-droite d"origineOfaisant un angleavec l"axeOx A tout couple(r;)de nombres réels, on associe le point du planMde coordonnéesx=rcos() y=rsin() Sirest positif,Mest situé sur le rayon-vecteur d"angleet à une distancerde l"origine Sirest négatif,Mest situé sur le rayon-vecteur d"angle+ et à une distancerde l"origine22/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureDéfinitionDéfinition (suite)
On appellecoordonnées polaires de Mun couple(r;) associé àM L"ensemble des points de coordonnées polaires(f();), pour2Iest (en général) une courbe(C)du plan. L"équation r=f() est appelée équation polaire de(C)Commentaires :
Dans tous les casOM=jrj
Un même point est défini par une infinité de couples possibles 23/43Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure
DéfinitionExemples
Exemple 1 :
Donner l"équation polaire du cercle de centreOet de rayonR Donner l"équation polaire de la première bissectriceExemple 2 :
Trouver l"équation polaire du cercle de rayonRpassant par l"origineO, de centre = (a;b) = (Rcos(0);Rsin(0))Correction :
Le cercle est défini par(xa)2+ (yb)2=R2=a2+b2
Ce qui s"écrit encorex2+y22ax2by=0
On remplacexparrcos()etyparrsin()d"où
r22r(acos() +bsin() =0 d"oùr=2(acos() +bsin())
Ce qui s"écrit encorer=2Rcos(0)
24/43Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Domaine de définitionDomaine de définition - Réduction du domaine d"étudeDéfinition: On appelle domaine de définition l"ensemble des valeurs de pour lequelr()a un sens
Réduction du domaine d"étude
en suiv antune démarche semblable aux courbes paramétrées avec des transformations vérifiant r(()) =r()our(()) =r() 25/43Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Domaine de définitionTransformations générales
Sir(a) =r()
=)symétrie orthogonale par rapport à la droite polaire=a2Sir(a) =r()
=)symétrie orthogonale par rapport à la droite polaire=a+2Sir(a+) =r()
=)rotation de centreOet d"angleaSir(a+) =r()
=)rotation de centreOet d"anglea+26/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Domaine de définitionTransformations "classiques" (a=0Sir() =r() =)symétrie orthogonale par rapport à l"axe desxSir() =r() =)symétrie orthogonale par rapport à l"axe desy27/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Domaine de définitionTransformations "classiques"a=Sir() =r() =)symétrie orthogonale par rapport à l"axe desySir() =r()
=)symétrie orthogonale par rapport à l"axe desxSir(+) =r()
=)symétrie par rapport à l"origine28/43 Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, CourbureCourbes avecrpériodiqueCourbes avecrpériodiqueLorsquerest périodique de périodeTon étudie la courbe
pourdécrivant un intervalle de longueurT, par exemple[0;T] ou[T2 ;T2 ](ou autre) Puis on complète par autant de rotations qu"il faut pour retomber sur l"arc de courbe initialParfois la courbe ne se referme pas
(par exemple quand T non rationnel) Dans ce cas on obtient une infinité de rotations 29/43Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Variations derEtude des variations derOn construit un tableau de variation r
0()r()r()r
0() pour construire la tangente en ""Voir exemples en TD
Commentaires :
Le signe der0()n"apporte pas toujours d"informationsLe signe derest souvent plus intéressant
30/43Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure
Variations derTangente
Soitsl"angle que fait la tangente à la courbe enM avec l"axeOxEtVl"angle entre(OM)et la tangente (V=s)
On peut alors montrer que
tan(V) =r()r0()Sir(0)6=0 etr0(0) =0 la tangente à la courbe est
orthogonale au rayon-vecteur enM(0) Sir(0) =0 la courbe est tangente au rayon-vecteur en M(0) 31/43Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure Branches infiniesBranches infinies (Hors programme) Sir()tend vers 0 lorsquetend vers l"infini, la courbe admet une branche spir ale qui s"enroule autour de l"or igine Sir()tend vers une limiteRlorsquetend vers l"infini, la courbe admet une branche spir ale qui s"enroule autour du cercle de centreOet de rayonjRj Sir()tend vers l"infini lorsquetend vers l"infini, la courbe admet une branche spir ale qui se déroule
Asymptote :
Sir()tend vers l"infini lorsquetend vers0, la courbe admet une direction asymptotique d"angle0 Si l"asymptote existe elle a pour équation polaire r=asin(0)oùa=lim!0r()sin(0) 32/43Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure
Etude localeEtude locale (Hors programme)
Le tracé de la courbe fait naturellement apparaître les points singuliers Une étude locale au voisinage de ces points peut être réalisée Cette étude repose sur l"emploi des développements limités vu en 1ère année 33/43Courbes ParamétréesCourbes polairesLongueur d"un arc, Courbure
Tracé de la courbeTracé de la courbe
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