COURBES PARAMETREES
1 nov. 2004 On étudie donc la courbe sur l'intervalle [0 ?/2] et on compl`ete le tracé par deux symétries. 1. Page 2. 4 Points singuliers. Un point c(t0) d ...
Courbes paramétrées
Points singuliers – Branches infinies. 3.1. Tangente en un point singulier. Rappelons qu'un point M(t0) d'une courbe paramétrée M(t) = x(t) y(t) est dit
Chapitre 6 Courbes paramétrées
6.2.3 Points singuliers. Propriété : Si (f (a) g (a))= (. 0. 0). alors la tangente `a la courbe au point de param`etre a est la droite qui passe par le
Cours de Mathématiques 2
aussi les points singuliers tangentes et asymptotes. 1.2 Etude des branches infinies. Définition 2 La courbe C présente une branche infinie (ou : un arc
Courbes planes
Montrer que la courbe paramétrée x(t) = 4t?3 t2+1 y(t) = 2t?1 t2+2 admet un unique point singulier et tracer l'allure de la courbe au ...
le Programme de licence en génie industriel-ING203
4. Etudes des points singuliers d'une courbe paramétrée. 5. Etude de courbes. 6. Définitions des séries séries convergentes et divergentes. Comparaison série-
le Programme de licence en génie informatique-ING203
4. Etudes des points singuliers d'une courbe paramétrée. 5. Etude de courbes. 6. Définitions des séries séries convergentes et divergentes. Comparaison série-
Les courbes paramétrées
On verra que c'est aussi le cas pour les courbes paramétrées. d'un point mobile et la courbe C est sa trajectoire. ... d'un point singulier.
F411 - Courbes Paramétrées Polaires
Courbes Paramétrées. Courbes polaires. Longueur d'un arc Courbure. Etude locale. Etude locale (hors programme). • Généralement les points singuliers jouent
Feuille de TD n 1 : Étude locale des courbes planes
Est-ce que la courbe C admet des points singuliers ? Montrer que les courbes paramétrées suivantes admettent un unique point singulier déter-.
[PDF] Courbes paramétrées - Exo7 - Cours de mathématiques
Points singuliers – Branches infinies 3 1 Tangente en un point singulier Rappelons qu'un point M(t0) d'une courbe paramétrée M(t) = x(t)
[PDF] Chapitre 6 Courbes paramétrées
La courbe est un moyen de résumer graphiquement toutes les étapes précédentes Il ne sert `a rien de placer énormément de points pour la tracer
[PDF] Études de courbes paramétrées - Apprendre-en-lignenet
Déterminer s'il y en a les points à tangente verticale les points à tangente horizontale et les points singuliers Calculer la limite de la pente de la
[PDF] COURBES PARAMETREES
1 nov 2004 · Un point c(t0) d'une courbe c est dit singulier si la vitesse c (t0) = 0 On se demande quel est l'aspect de la courbe au voisinage d'un point
[PDF] Courbes paramétrées
Etudier la courbe paramétrée définie par F signifie tracer dans le plan IR2 l'image de A par la fonction F c'est à dire l'ensemble des points M(t)=(x(t)
[PDF] Courbes paramétrées - AlloSchool
On trace la courbe quand t décrit [0 ?] puis on complète par réflexion d'axe (Oy) puis par translations Etude des points singuliers Pour t ? [0 ?] x?(t)
[PDF] Cours 1 : Courbes paramétrées
sont les mêmes : le cercle unité dont on a enlevé le point (?10) Page 8 Cours 1 : Courbes paramétrées V Borrelli
[PDF] Cours de Mathématiques 2
aussi les points singuliers tangentes et asymptotes 1 2 Etude des branches infinies Définition 2 La courbe C présente une branche infinie (ou : un arc
[PDF] F411 - Courbes Paramétrées Polaires
Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d'un arc Courbure Etude locale Etude locale (hors programme) • Généralement les points singuliers jouent
Comment trouver le point singulier ?
On dit que M est un point régulier si f?(t)?0. f ? ( t ) ? 0. Dans le cas contraire, on dit que M est un point singulier ou encore point stationnaire.Comment trouver le paramétrage d'une courbe ?
On appelle paramétrage une application f : I ? R2, o`u I désigne un intervalle (voire une réunion d'intervalles) de R et o`u f est continue. La courbe (paramétrée) associée `a f est son image C = f(I).Comment montrer qu'une courbe est régulière ?
Définition. – Une courbe géométrique est dite RÉGULIÈRE si l'un de ses représentants ?0 : I ?? R2 ou R3 est régulier en tous points. NORMALE. dim Vect(?(p)(t0),?(q)(t0)) = 2.- Pour étudier une courbe d'équation y = f(x) (ou simplement étudier une fonction f), le schéma est le suivant : – On commence par chercher l'ensemble de définition de la fonction f. Eventuellement, si la fonction est paire/impaire, périodique, on peut restreindre l'intervalle d'étude.
Courbes planes
Fiche de Léa Blanc-Centi.
1 Courbes d"équationy=f(x)
Exercice 1Représenter les courbes d"équation cartésienney=f(x), donner l"équation de leur tangente au point d"abscisse
x=0 et la position de la courbe par rapport à cette tangente, pour :1.f(x) =sin2x+cosx
2.f(x) =x+ln(1+ex)
1. Donner une paramétrisation (x(t);y(t))de la courbe d"équation y=px23x+4 en précisant le domaine de variation du paramètret. 2. Montrer que le support de la courbe paramétrée par x(t) =cost+3 y(t) =sint(t2R) ne peut pas être décrit par une équation de la formey=f(x). 3. Montrer que le support de la courbe paramétrée par x(t) =cos2t2 y(t) =sin4t+4sin2t+4(t2R) est le graphe d"une fonctionfque l"on précisera, ainsi que son domaine de définition. Exercice 3Étudier et tracer les courbes paramétrées suivantes: 1. x(t) =cos3t y(t) =sin3t(L"astroïde) 2. x(t) =ttht y(t) =1cht 1 3. x(t) =tsint y(t) =1cost(La cycloïde)SoitCla courbe plane paramétrée par
x(t) =tlnt y(t) =lntt (t2]0;+¥[) 1. Comparer les points de paramètres tet 1=t, en déduire un domaine d"étude deC. 2.Représenter C.
Montrer que la courbe paramétrée
8< :x(t) =1t 2t y(t) =tt 21possède un point double et que les tangentes en ce point sont perpendiculaires.
Montrer que la courbe paramétrée
8< :x(t) =4t3t 2+1 y(t) =2t1t 2+2 admet un unique point singulier, et tracer l"allure de la courbe au voisinage de ce point. On considère la courbe paramétrée définie par 8< :x(t) =t+4t y(t) =t3 +2+3t+1 1. Dresser le tableau de v ariationsconjointes de xety. 2. Calculer les tangentes horizontales, v erticaleset les asymptotes. 3.T rouverle point singulier de la courbe, étudier son type et écrire l"équation de la tangente à la courbe en
ces points. 4.T racerla courbe.
Trouver les droites à la fois tangentes et orthogonales à la courbe x(t) =3t2 y(t) =4t3 2 Exercice 9Étudier les courbes d"équations polaires suivantes:1.r(q) =1ptan(2q)pourq2]0;p4
2.r(q) =sin2qcosqpourq2]p2
;p2 [(La cissoïde droite)3.r(q) =pcos(2q)(La lemniscate de Bernoulli)
On considère les courbesC1etC2(des limaçons de Pascal)respectivement données en polaires par
r1(q) =1+cosqr2(q) =3+cosq
Pouri=1;2, on noteNi(q)la droite orthogonale au pointMi(q)2Ci. Vérifier que pour toutq60[2p], les droitesN1(q)etN2(q)sont sécantes, en un pointP(q). Déterminer le lieu du pointPquandqvarie.Indication pourl"exer cice6 NUn pointM(t)est singulier six0(t) =0 ety0(t) =0.Indication pourl"exer cice10 NUtiliser le repère de Frenet(~uq;~vq).4
Correction del"exer cice1 N1.Pour f(x) =sin2x+cosx, le domaine de définition defestR, etfest de classeC¥. On remarque que
fest 2p-périodique et paire, il suffit donc de faire l"étude defsur l"intervalle[0;p].V ariationsde f
Pourx2[0;p],f0(x) =2sinxcosxsinx=sinx(2cosx1)et doncf0(x) =0 si et seulement si x2 f0;p3 ;pg. Comme sinx>0 six2]0;p[, pour étudier le signe def0(x), il suffit d"étudier le signe de(2cosx1), et on obtient x0 p3 pf0(x)0+005
4 f% & 11T angenteshorizontales
Le graphe defpossède une tangente horizontale là oùf0s"annule, c"est-à-dire aux points de
coordonnées(0;1),(p3 ;54 )et(p;1). Enparticulier, latangenteaupointd"abscisse0esthorizontaleet a pour équationy=1. Pour déterminer la position de la courbe par rapport à sa tangente en ce
point, on étudie le signe def(x)1 pourxproche de 0: f(x)1=sin2x1+cosx=cos2x+cosx=cosx(1cosx) Cette expression est positive au voisinage de 0 (et même>0 pourx6=0 proche de 0). La courbe est donc au-dessus de sa tangente.Points particuliers
Le graphe defcoupe l"axe des abscisses entre 0 etpen un unique pointx0, qu"on détermine en résolvant f(x) =0()1cos2x+cosx=0()X2X1=0(X=cosx) cequidonnedeuxsolutionspourX, maisuneseuledans[1;1]:X=1p5 2 etdoncx0=arccos(1p5 2Le graphe defest obtenu sur[p;p]par symétrie par rapport à l"axe des ordonnées, puis surRpar
2p-périodicité.xy
x 00p p 3 xy y=sin2x+cosx2.Pour f(x) =x+ln(1+ex), le domaine de définition defestRetfest de classeC¥.V ariationsde f
Commef0(x) =1+ex1+ex, pour toutx,f0(x)>1. En particulierfest strictement croissante surR. 5 •Allure du graphe en +¥On af(x)!x!+¥+¥et
f(x)x =1+lnex(ex+1)x =1+x+ln(ex+1)x !x!+¥2 puisf(x)2x=ln(ex+1)!x!+¥0+. Ainsi le graphe defa en+¥une asymptote, d"équation y=2x, et reste au-dessus de cette asymptote.Allure du graphe en ¥
On af(x)!x!¥¥et
f(x)x =1+ln(1+ex)x !x!¥1 puisf(x)x=ln(1+ex)!x!¥0+. Ainsi le graphe defa en¥une asymptote, d"équation y=x, et reste au-dessus de cette asymptote.T angenteau point d"abscisse 0
L"équation de la tangente au graphe defau point d"abscissex0, et la position du graphe par rapport
à cette tangente, peuvent être obtenues simultanément à partir du développement limité defen
x0. Pour l"équation de la tangente, un développement limité à l"ordre 1 suffit, mais pour avoir la
position il faut pousser le développement limité à l"ordre 2 (ou à l"ordre 3 si le terme d"ordre 2 est
nul, ou plus encore...): f(x) =x+ln(1+ex) =x+ln1+1+x+12
x2+o(x2) =x+ln2+ln 1+12 x+14 x2+o(x2) =x+ln2+12 x+14 x2 12 12 x+14 x2 2 +o(x2) =ln2+32 x+18 x2+o(x2) L"équation de la tangente au point d"abscisse 0 (donnée par le DL à l"ordre 1) est donc y=ln2+32 xDe plus,f(x)ln2+32
x=18 x2+o(x2) =18 x2(1+o(1))oùo(1)est un terme qui tend vers 0 quandx!0. Ainsi(1+o(1))a le même signe que 1 pourxproche de 0, etf(x)ln2+32 xestpositif au voisinage de 0: la courbe reste localement au-dessus de sa tangente.xyy=x+ln(x+ex)y=xy=2xy=ln2+32
xln2 01 6Correction del"exer cice2 N1.Pour transformer une équation cartésienne y=f(x)en paramétrisation, il suffit de poserx=tety=f(t),
en faisant décrire au paramètretle domaine de définition def. Ici,f(x)=px23x+4 est bien définie
pour lesx2Rtels quex23x+4>0i.e.x2[4;1]. On obtient donc la paramétrisation suivante: x(t) =t y(t) =pt23t+4(t2[4;1]) ce qui signifie (x;y)2C()x2[4;1] y=px23x+4 () 9t2[4;1]jx(t) =t y(t) =pt23t+4 oùCest la courbe étudiée.xyy=px23x+441 2.S"il est toujours possible de représenter le graphe d"une fonction comme une courbe paramétrée, la
réciproque n"est pas vraie. Ici, la courbe considérée est le cercle de rayon 1 centré au point(3;0).
Ce n"est donc pas un graphe de fonction, puisque plusieurs points de la courbe ont la même abscisse:
connaîtrexne donne pasy! Par exemple, pourt=p2 , on obtient les deux points de la courbe(3;1)et (3;+1).xy (cost+3;sint)03(3;+1)(3;1)3.On constate, en utilisant la formule sin2t=1cos2t=1x(t), que
y(t) =sin4t+4sin2t+4= (1x(t))2+4(1x(t))+4 =x(t)22x(t)+1= (x(t)1)2 7Ainsi les points(x;y)de la courbe vérifient l"équationy= (x1)2. De plus, lorsque le paramètretdécrit
R,x(t) =cos2t2 décrit l"intervalle[2;1]. Finalement, (x;y)2C() 9t2Rjx(t) =cos2t2 y(t) =sin4t+4sin2t+4 ()x2[2;1] y= (x1)2 et la courbe est donc le graphe de la fonction f:[2;1]!R x7!(x1)2xyy= (x1)2211Correction de
l"exer cice3 N1.Les e xpressionsx(t) =cos3tety(t) =sin3tsont bien définies pour toutt2R.
Réduction de l"interv alled"étude
Les fonctionsxetyétant 2p-périodiques, il suffit de restreindre l"étude à un intervalle de longueur
2ppour obtenir l"intégralité du support de la courbe.
La fonctionxest paire, la fonctionyest impaire: on fait donc l"étude sur[0;p], puis la courbe complète sera obtenue par symétrie par rapport à l"axe(Ox). On constate quex(pt) =x(t)et quey(pt) =y(t), par conséquent les pointsM(p2 t)et M(p2 +t)sont symétriques par rapport à l"axe(Oy): on restreint donc l"étude à[0;p2 ], puis on complète par symétrie par rapport à(Oy).Finalement, on fait l"étude sur[0;p2
]puis on complète en utilisant successivement les symétries par rapport à(Oy)et(Ox).T ableaude v ariationsconjointes
Les fonctionsxetysont de classeC1. Soitt2[0;p2
x(t) =cos3t y(t) =sin3t x0(t) =3sintcos2t y0(t) =3costsin2t
x0(t)<0()t2]0;p2
[y0(t)>0()t2]0;p2 x0(t) =0()t2 f0;p2
gy0(t) =0()t2 f0;p2 g 8 t0 p2x0(t)001
x& 0 1 y% 0 y0(t)0+0
Cela signifie que lorsquetvarie de 0 àp2
la courbe va vers la gauche (carx(t)décroît) en montant (cary(t)croît) du point(1;0)à(0;1).Points particuliers
-M(p6 )=3p3 8 ;18 =(0:64:::;0:125); la tangente est dirigée parx0(p6 );y0(p6 )=98 ;3p3 8 (1:125;0:64:::). -M(p4 )=p2 4 ;p2 4 =(0:35:::;0:35:::); latangenteestdirigéeparx0(p4 );y0(p4 )=3p2 4 ;3p2 4 (1:06:::;1:06:::). -M(p3 )=18 ;3p3 8 =(0:125;0:64:::); la tangente est dirigée parx0(p3 );y0(p3 )=3p3 8 ;98 (0:64:::;1:125).Étude des points singuliers
Le pointM(t)est singulier six0(t) =y0(t) =0, ce qui est le cas dans le domaine d"étude[0;p2 uniquement pourt=0 ett=p2 . Pour déterminer la tangente au pointM(0)(de coordonnées cartésiennes(1;0)), on étudie la limite en 0 de y(t)y(0)x(t)x(0)=sin3tcos 3t1Or sin
3t0t3et cos3t1= (1t22
+o(t2))3103t22 , donc le quotient est équivalent à23 tettend vers 0 en 0. Ainsi,Cadmet au pointM(0)une tangente, de pente nulle c"est-à-dire horizontale.xy
0M(0)M(p2
)M(p6 )M(p4 )M(p3 )92.Les e xpressionsx(t) =tthtety(t) =1chtsont bien définies pour toutt2R.
Réduction du domaine d"étude
Commexest impaire etypaire, on restreint l"étude àR+puis on complète par symétrie par rapport à l"axe(Oy).T ableaude v ariationsconjointes
Les fonctionsxetysont de classeC1. Pourt2R+:
x(t) =ttht y(t) =1chtx0(t) =th2t y0(t) =shtch2tx0(t)>0()t>0y0(t)<0()t>0
x0(t) =0()t=0y0(t) =0()t=0
t0+¥x0(t)0++¥
x% 0 1 y& 0 y 0(t)0 Cela signifie que le courbe va vers la droite et vers le bas lorsquetva de 0 à+¥.Étude des points singuliers
Le seul point singulier estM(0), ory(t)y(0)x(t)x(0)=1chttchtshtet 3=3 et par conséquent y(t)y(0)x(t)x(0)!t!0+¥. AinsiCpossède une tangente verticale au pointM(0)de coordonnées cartésiennes(0;1).Étude des branches infinies
Commex(t)!t!+¥+¥ety(t)!t!+¥0, l"axe des abscisses est asymptote àC.xy01M(0)3.Les e xpressionsx(t) =tsintety(t) =1costsont bien définies pourt2R.
Réduction du domaine d"étude
On remarque quex(t+2p) =2p+x(t)ety(t+2p) =y(t): le pointM(t+2p)se déduit deM(t) par translation de vecteur 2p~i. Il suffit donc d"étudier la courbe sur l"intervalle[p;p].La fonctionxétant impaire etypaire, on restreint l"étude à[0;p]puis on complète par symétrie par
rapport à l"axe(Oy).Finalement, on fait l"étude sur[0;p]puis on complète en utilisant successivement la symétrie par
rapport à(Oy), puis des translations successives de vecteur 2p~i. 10 •T ableaude v ariationsconjointesLes fonctionsxetysont de classeC1. Soitt2[0;p]:
x(t) =tsint y(t) =1cost x0(t) =1cost y0(t) =sint
x0(t)>0()t>0y0(t)>0()0 x 0(t) =0()t=0y0(t) =0()t2 f0;pg
t0px 0(t)0+2p
x% 0 2 y% 0 y 0(t)0+0
La courbe va vers la droite en montant lorsquetvarie de 0 àp2 Étude des points singuliers
Le pointM(0), qui est l"origine, est singulier. Pour étudier l"existence d"une tangente en ce point,
on considèrey(t)y(0)x(t)x(0)=1costtsint0t 2=2t 3=6 et donc y(t)y(0)x(t)x(0)!t!0++¥. Par conséquent, la courbe possède une tangente de pente verticale au
pointM(0).xy M(0)M(p)M(2p)M(p)Correction del"exer cice4 N1.Soit t>0:8< :x(1t ) =1t ln(1t ) =y(t) y(1t ) =tln(1t ) =x(t) et par conséquent, le pointM(1t )est le symétrique deM(t)par rapport à la droite d"équationy=x. On restreint l"étude à l"intervalle]0;1], puis on obtiendra l"intégralité de la courbe par symétrie par
rapport à la seconde bissectrice. 2. Les fonctions xetysont de classeC1sur]0;1].
T ableaude v ariationsconjointes
Pourt2]0;1]:
x(t) =tlnt y(t) =lntt x0(t) =1+lnt y0(t) =1lntt 2 x0(t)>0()t>1=e y0(t)>0 x 0(t) =0()t=1=e y0(t)6=0
11 puisque 1e <10(t)¥0+10 0
x& % 1=e0 e y% ¥y 0(t) =0()t=0y0(t) =0()t2 f0;pg
t0px0(t)0+2p
x% 0 2 y% 0 y0(t)0+0
La courbe va vers la droite en montant lorsquetvarie de 0 àp2Étude des points singuliers
Le pointM(0), qui est l"origine, est singulier. Pour étudier l"existence d"une tangente en ce point,
on considèrey(t)y(0)x(t)x(0)=1costtsint0t 2=2t 3=6 et doncy(t)y(0)x(t)x(0)!t!0++¥. Par conséquent, la courbe possède une tangente de pente verticale au
pointM(0).xy M(0)M(p)M(2p)M(p)Correction del"exer cice4 N1.Soit t>0:8< :x(1t ) =1t ln(1t ) =y(t) y(1t ) =tln(1t ) =x(t) et par conséquent, le pointM(1t )est le symétrique deM(t)par rapport à la droite d"équationy=x.On restreint l"étude à l"intervalle]0;1], puis on obtiendra l"intégralité de la courbe par symétrie par
rapport à la seconde bissectrice. 2.Les fonctions xetysont de classeC1sur]0;1].
T ableaude v ariationsconjointes
Pourt2]0;1]:
x(t) =tlnt y(t) =lntt x0(t) =1+lnt y0(t) =1lntt 2 x0(t)>0()t>1=e y0(t)>0 x0(t) =0()t=1=e y0(t)6=0
11 puisque 1e <10(t)+¥+2e2+1
Il n"y a pas de point singulier.
Étude des branches infinies
Commex(t)!t!0+0 ety(t)!t!0+¥, l"axe des ordonnées est asymptote àC.xy 0 1 M(1=e)Correction del"exer cice5 NLes expressionsx(t) =1t2tety(t) =tt
21sont bien définies, et de classeC1en dehors det=0 ett=1. Le
domaine de définition est doncD=]¥;1[[]1;0[[]0;1[[]1;+¥[
La courbe possède un point double si elle se recoupe: on cherche donc deux paramètrest1;t22Dtels que
t16=t2etM=M(t1) =M(t2),i.e.
8>< :1t21t1=1t
22t2t 1t
211=t2t
221()t21t1=t22t2
t1(t221)t2(t211) =0
(t1t2)(t1+t21) =0 (t2t1)(t1t2+1) =0 Comme on cherchet16=t2, le système obtenu est équivalent àt1+t2=1 t1t2=1, autrement dit à un système du
typesomme-produit: celasignifiequet1ett2doiventêtrelesdeuxracines(distinctes)deX2X1, c"est-à-dire
12 1p5 2 (qui sont bien dansD). On a donc un seul point double, c"est M 1+p5 2 =M 1p5 2de coordonnées cartésiennes(1;1). Pour déterminer les tangentes en ce point, on calcule le vecteur dérivé:
V(t) =8
:x0(t) =12t(t2t)2
y0(t) =1t2(t21)2
En remplaçant, on obtient
V(t1) =x0(t1)
y 0(t1) p5 5p5 2 et ~V(t2) =x0(t2) y 0(t2) p5 5+p5 2Les deux tangentes à la courbe au point de coordonnées(1;1)sont donc dirigées respectivement par les vecteurs
~V(t1)et~V(t2), dont on vérifie en faisant le produit scalaire~V1~V2=x0(t1)x0(t2)+y0(t1)y0(t2) =0 qu"ils sont
orthogonaux.xy 011MCorrection de
l"exer cice6 NLes fonctionsxetysont de classeC1surR. Un pointM(t)de la courbe est singulier six0(t) =y0(t) =0, or
8>< :x0(t) =4(t2+1)2t(4t3)(t2+1)2=2(2t23t2)(t2+1)2
y0(t) =2(t2+2)2t(2t1)(t2+2)2=2(t2t2)(t2+2)2
AinsiM(t)est singulier si et seulement si2t23t2=0
t2t2=0. Ce système admet une unique solutiont=2,
correspondant au pointM(2)de coordonnées(1;12Le vecteur dérivé est nul au pointM(2); pour obtenir l"allure de la courbe au voisinage de ce point, il faut donc
effectuer un développement limité à un ordre assez grand pour trouver deux termes non constants non nuls. Ici
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