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Les courbes param´etr´ees

On travaille dans le planE=R2, que l"on voit `a la fois comme un plan affine ou vectoriel selon les besoins du moment. Le plan est muni de sa forme euclidienne canoniquex2+y2.

1 D´efinitions

1.1 Qu"est-ce qu"une courbe?

C¸a commence mal! Je ne sais pas vraiment r´epondre `a cette question. Il y a plusieurs aspects possibles, on peut voir une courbe comme l"ensembleV(F) des points (x,y) qui v´erifient une ´equation impliciteF(x,y) = 0, comme l"image d"un param´etraget?→(x(t),y(t)) ou comme le graphe d"une fonction y=f(x). Les deux premi`eres versions sont ´evidemment plus g´en´erales que la troisi`eme (prendreF(x,y) =y-f(x) oux(t) =t,y(t) =f(t)), mais seule la version graphe offre la garantie que le r´esultat ressemble `a une courbe. En ef- fet, mˆeme en supposantFcontinue et non constante,V(F) peut ˆetre assez bi- zarre (pour une courbe), par exemple n"importe quel ferm´e deR2, un disque, un carr´e, etc. (SiCest un ferm´e deR2, regarderF(x,y) =d((x,y),C).) On verra que c"est aussi le cas pour les courbes param´etr´ees. En faisant des hypoth`eses convenables on a toutefois l"´equivalence des trois notions :

1.1 Th´eor`eme.SoitCune partie deR2. Les conditions suivantes sont

´equivalentes.

1) Pour chaque pointm0= (x0,y0)deCil existe un voisinageVdem0et

une fonctionF:V→R, de classeC1, dont la diff´erentielle est partout non nulle, telle que l"on aitC∩V=V(F).

2) Pour chaque pointm0= (x0,y0)deCil existe un voisinageVdem0, un

intervalle ouvertIdeRet une application de classeC1,f= (x,y) :I→R2, dont la d´eriv´ee ne s"annule pas surI, tels queC∩V= Imf.

3) Pour chaque pointm0= (x0,y0)deCil existe un voisinageVdem0, un

intervalle ouvertIdeRet une application de classeC1,f:I→Rtels que C∩Vsoit ´egal au graphe dey=f(x)ou dex=f(y). D´emonstration.L"implication 1) =?3) vient essentiellement du th´eor`eme des fonctions implicites, 3) =?2) est ´evident et pour 2) =?1), si par exemplex?(t0) est non nulle,xest bijective au voisinage det0, on peut donc tirerten fonction dexet il n"y a plus qu"`a reporter dansy. 1

1.2 Param´etrages et courbes param´etr´ees

1.2.1 D´efinition

1.2 D´efinition.On appelleparam´etrageune applicationf:I→R2, o`u

Id´esigne un intervalle (voire une r´eunion d"intervalles) deRet o`ufest continue. Lacourbe (param´etr´ee)associ´ee `afest son imageC=f(I).

1.3Remarques.

1) Il faut dire tout de suite que cette d´efinition n"est pas raisonnable. En effet,

il existe par exemple un param´etragefd´efini sur [0,1] et dont l"image est le carr´e [0,1]2(courbe de Peano ou de Hilbert). Plus g´en´eralement, on peut montrer que siXest un espace m´etrique compact, connexe et localement connexe par arcs, il existef: [0,1]→Xcontinue surjective. Pour ´eviter ce canular,on supposera, dans tout ce qui suit, quef est de classeC1par morceaux. Cela signifie quex(t) ety(t) sont de classe C

1par morceaux.

2) Les appellations ne sont pas contrˆol´ees. D"autres parleront de courbe pa-

ram´etr´ee au lieu de param´etrage et de support au lieu de courbe. Le tout est de dire quelque chose de pr´ecis.

1.2.2 Branches

Il s"agit de comprendre qu"une courbe param´etr´ee peut avoir plusieurs branches en un point (voir ci-dessous la cubique nodale).

1.4 D´efinition.Soitf:I→R2un param´etrage,C=f(I)et soitJun

intervalle ouvert non vide contenu dansI. Si la restrictionf|J:J→R2est injective, son image est appel´ee unebranchedeC.

1.5Remarque.Une courbe param´etr´ee, mˆeme de classeC1, peut ne pas

avoir de branche (injective) au voisinage d"un point, t´emoin l"exemple de x(t) =y(t) =t3sin1t

1.2.3 Interpr´etation cin´ematique

1.6 D´efinition.Avec les notations de 1.2, on interpr`ete la variabletcomme

letemps. On parle alors defcomme unmouvement(ou la loi horaire d"un mouvement), on note souventf(t) =M(t)et on en parle comme d"unpoint mobileet la courbeCest satrajectoire. Le vecteurvitesse 2 moyenneentre les tempst1ett2(distincts) est le vecteur--------→M(t1)M(t2)t 2-t1= f(t2)-f(t1)t

2-t1,levecteur vitesse instantan´eeent0est la limite (si elle

existe) de f(t)-f(t0)t-t0quandttend verst0. Il est ´egal `af?(t0). Sifest deux fois d´erivable ent0, levecteur acc´el´erationen ce point estf??(t0).

1.3 Discussion sur les param´etrages : existence? uni-

cit´e?

1.3.1 Trouver un param´etrage

La question de trouver un param´etrage a ´et´e abord´ee au th´eor`eme 1.1. Il y a n´eanmoins beaucoup de questions difficiles autour de cette question, notamment celle de l"existence de param´etrage rationnel pour les courbes alg´ebriques (les courbes de la formeV(F) o`uFest un polynˆome). On peut donner deux exemples.

1.7Exemple.Si on a une conique dont on connaˆıt un point, on obtient un

param´etrage rationnel en la coupant par une droite variable passant par le point. Par exemple, siCa pour ´equationx2+ 2y2-3x+ 4y= 0, elle passe par l"origine et on coupeCpar la droitey=tx. On trouve l"´equation enx: x

2+ 2t2x2-3x+ 4tx= 0 qui donne la solution ´evidentex= 0, mais aussi

un autre pointx=3-4t1 + 2t2,y=3t-4t21 + 2t2.

1.8Exercice.Param´etrer rationnellement la conique d"´equation 3x2-xy+

y

2-x+ 2y-2 = 0 en partant du point (1,0). (R´esultat :x=t2-2t-2t

2-t+ 3,

y=-t(t+ 5)t

2-t+ 3.)

1.9Exemple.La cubiquey2-x3= 0 admet un point de rebroussement `a

l"origine. Si on coupe par la droitey=txon trouve la solutionx= 0, double, mais aussix=t2qui donney=t3et un param´etrage.

1.10Exercice.Param´etrer ainsi la cubique nodalex3+x2-y2= 0 ou le

folium de Descartes :x3+y3-xy= 0, voir plus bas. 3

1.3.2 Op´eration inverse

Il s"agit, `a partir d"un param´etrage rationnel de trouver une ´equation cart´esienneF(x,y) = 0 de la courbe.

1.11Exemple.On consid`ere la courbe param´etr´ee parx=t1 +t3ety=

t

21 +t3.On at=yx

et, en rempla¸canttdansxon obtient la relationx3+ y

3-xy= 0 (le folium).

1.12Exercice.Trouver une ´equation cart´esienne de la courbe d´efinie par

x=t2+ 12t,y=2t-1t

2.(R´eponse : en exprimantten fonction dex-1 et

y-1, on trouve l"´equation 4x2y-4xy+y2-4x-2y+ 5 = 0.)

1.3.3 Unicit´e

Il n"y a pas du tout unicit´e du param´etrage d"une courbe. Par exemple, l"axe desxpeut ˆetre param´etr´e parx=t,y= 0, mais aussi parx=t3,y= 0, voire parx=t(t-1)(t+ 1),y= 0. Les deux premiers param´etrages sont bijectifs, mais pas le troisi`eme. Dans tous les cas, la trajectoire est identique, mais pas le mouvement. Ici, le premier mouvement est uniforme (`a vitesse constante), mais pas le second (la vitesse s"annule en 0), quand au troisi`eme, le lecteur v´erifiera qu"il comporte des allers et retours. 2

´Etude locale des courbes param´etr´ees

Pour d"autres d´etails, voir le fichierTangentes.

2.1 Tangente en un point

2.1.1 D´efinition

Il s"agit de donner une d´efinition de la tangente qui vaille aussi dans le cas d"un point singulier. Il y a de nombreuses mani`eres d"aborder le probl`eme. On a choisi ici la voie g´eom´etrique. On notedla distance (par exemple euclidienne) dans le plan. Le principe est le suivant. On consid`ere les droites passant parM0=M(t0). Parmi ces droites, ce qu"on demande `a la tangente c"est d"ˆetre, au voisinage deM0, plus proche de la courbe1que les autres droites. Pr´ecis´ement :1 Ou plutˆot de la branche de la courbe qui correspond au param`etret0. 4

2.1 D´efinition.Soitf:I→R2un param´etrage,Cson image et soit

M

0=M(t0)un point deC. SoitDune droite passant parM0. On dit queD

esttangente`a la branche deCpassant parM0(au tempst0) si, pour toute droiteΔpassant parM0, distincte deD, la distanced(f(t),D)est n´egligeable devantd(f(t),Δ)quandttend verst0.

2.2Exemple.Un exemple permet de comprendre. On consid`ere la parabole

d"´equationy=x2. On peut la param´etrer de la mani`ere ´evidente :x=t, y=t2. On regarde ce qui se passe au voisinage de l"origine. La distance de M(t) `a l"axe desxesty=t2, celle `a l"axe desyestx=t. On voit que, quand ttend vers 0, la distance `a l"axe desxest beaucoup plus petite que l"autre (infiniment petite, en fait). Il n"est pas difficile de v´erifier que la distance de M(t) `a une droite passant parO, autre que l"axe desx, est ´equivalente `aa|t| aveca?= 0, donc infiniment grande par rapport `at2.

2.3Remarques.

1) On montre facilement que sid(f(t),D) est n´egligeable devantd(f(t),Δ0)

pour une droite Δ

0distincte deDla mˆeme propri´et´e vaut pour toutes les

autres droites, de sorte queDest tangente `aCenM0.

2) Si la courbe admet une tangente (pour une branche donn´ee) elle est unique.

En effet, siDetD?sont deux tangentes etdetd?les distances def(t) `a ces droites, on aurait `a la foisd=o(d?) etd?=o(d) ce qui est absurde.

3) Attention, il peut y avoir plusieurs branches passant par un mˆeme point

(donc plusieurs tangentes) comme l"indique l"exemple suivant.

2.4Exemple.Consid´erons le param´etragex(t) = 1-t2,y(t) =t(1-t2). La

courbeCest une cubique nodale, d"´equation cart´esiennex3+y2-x2= 0, qui admet un point double `a l"origine, atteint pour les valeurst=±1 du param`etre. Si l"on regardeC, elle a deux tangentes `a l"origine, tangentes `a chacune des "branches", lesquelles s"obtiennent en restreignant le domaine de d´efinition (par exemple `aR+etR-). Ces droites sont les bissectrices des axesy=±x.

2.1.2 Propri´et´e caract´eristique

Le th´eor`eme suivant fait le lien entre tangente et s´ecantes :

2.5 Th´eor`eme.Avec les notations pr´ec´edentes,Cadmet une tangente si

et seulement si la pente de la s´ecante :p(t) =y(t)-y(t0)x(t)-x(t0),ou son inverse 5 x(t)-x(t0)y(t)-y(t0),admet une limite finie2. Si la limite depest ´egale `aλ, la tangente est la droite de penteλpassant parM0et un vecteur directeur de cette droite est(1,λ). Si l"inverse depa la limite0, la tangente est la droite verticale passant parM0. D´emonstration.On se ram`ene au cast0= 0,M0= (0,0). Supposons que p(t) =y(t)/x(t) admette la limiteλquandxtend vers 0, l"autre cas est analogue. Nous allons montrer que la droiteDd"´equationy-λx= 0 est tangente. Cela signifie que, si Δ est une droite d"´equationax+by= 0, distincte deD(i.e. aveca+bλ?= 0), la distanced(M(t),D) est n´egligeable devantd(M(t),Δ). Rappelons la formule donnant cette distance : d(M(t),Δ) =|ax(t) +by(t)|⎷a 2+b2. Il s"agit donc de voir quey(t)-λx(t) est n´egligeable devantax(t) +by(t) quanda+bλest non nul. On ´ecrity-λxax+by=yx -λa+byx

Le num´erateur tend

vers 0 et le d´enominateur versa+bλ, de sorte que cette quantit´e tend bien vers 0. R´eciproquement, siCadmet pour tangente la droitey-λx, cela signifie, entre autres, quey(t)-λx(t) est un petitodex(t). La quantit´e y(t)-λx(t)x(t)=y(t)x(t)-λa donc pour limite 0, ce qui signifie bien quey/x tend versλ.

2.1.3 Le cas des points r´eguliers

2.6 D´efinition.Soitf:I→Run param´etrage de classeC1. Une valeur

t

0?Iest diter´eguli`erepourfsif?(t0)est non nul. Une valeur non r´eguli`ere

est ditesinguli`ere.

2.7Remarque.On dit parfois, par abus de langage, que le pointM(t0) de la

courbeCest r´egulier (ou singulier). C"est incorrect car le mˆeme point, sur la mˆeme courbe, peut ˆetre r´egulier pour un param´etrage et singulier pour un autre

3. C"est le cas, par exemple, du pointO= (0,0) sur l"axe desxavec les

deux param´etrages (t,0) et (t3,0).2 On suppose ici que ces expressions ont un sens. Pourp(t) par exemple on suppose

x(t)-x(t0)?= 0 pourtvoisin det0et distinct det03En v´erit´e, comme le mot r´egulier a un sens pour les courbesF(x,y) = 0, il serait sans

doute pr´ef´erable de dire stationnaire ou non-stationnaire pour le param´etrage. 6

2.8 Proposition.Soitf:I→Run param´etrage de classeC1et soitt0

une valeur r´eguli`ere def. Alors, la courbeCadmet une tangente enM(t0), dont le vecteur directeur estf?(t0). D´emonstration.Cela r´esulte de 2.5. En effet, supposons par exemplex?(t0) non nul. Comme cette d´eriv´ee est la limite du rapport x(t)-x(t0)t-t0,ce rap- port lui-mˆeme est non nul pourtvoisin det0. On peut donc ´ecrire : et cette quantit´e tend versλ=y?(t0)x ?(t0)quandttend verst0. La pente de la tangente est donc ´egale `aλet un vecteur directeur en est (1,λ) ou encore (x?(t0),λx?(t0)) =f?(t0).

2.9Exemples.

1) La courbe peut avoir une tangente enM0mˆeme sif?(t0) est nulle. C"est le

cas, par exemple, def(t) = (e-at

2,e-bt

2) aveca?=b. En effet, si on a, disons,

a < b, on ay/x=e-(b-a)t

2et cette quantit´e a pour limite 0, de sorte que la

tangente est l"axe desx.

2) Une courbe param´etr´ee peut avoir une tangente sans que les fonctionsx

etysoient d´erivables. C"est le cas par exemple dex(t) =?|t|,y(t) =|t|.

3) Il y a des courbes sans tangentes, par exemple,x=t,y=tsin1t

n"a pas de tangente `a l"origine. 2.2

´Etude des points singuliers

2.2.1 Le r´esultat th´eorique

2.10 Proposition.Soitf:I→R2un param´etrage et soientp,qdes entiers

t

0?Ret posonsM0=M(t0). On suppose que les d´eriv´eesf(k)(t0)sont

nulles pourk= 1,...,p-1(de sorte quet0est une valeur singuli`ere def), quef(p)(t0)est non nulle et queqest le plus petit entier tel que les vecteurs f (p)(t0)etf(q)(t0)soient ind´ependants. Alors la branche de la courbeCent0 admet une tangente enM0dont un vecteur directeur estf(p)(t0). D´emonstration.En d´eveloppantf(t) par la formule de Taylor-Young on ob- tient un d´eveloppement limit´e def(t) au voisinage det0: f(t) =f(p)(t0)(p)!?(t-t0)p+o((t-t0)p)?+f(q)(t0)(q)!?(t-t0)q+o((t-t0)q)?. 7 En effectuant le changement d"originet0= 0 et le changement de rep`ere consistant `a prendre comme vecteurs de base les d´eriv´ees d"ordrepetq, on est ramen´e `a un param´etrage dont les fonctionsXetYadmettent des d´eveloppements limit´es :X(t) =atp+o(tp) etY(t) =btq+o(tq) aveca,b?= 0. Il est clair alors que la tangente existe et que c"est l"axe desXdonc la droite dirig´ee parf(p)(t0).

2.2.2 M´ethode pratique

Par changement de l"origine des temps on se ram`ene au cast0= 0. Par changement de l"origine du plan on peut supposerM0= (0,0). On suppose alors qu"on a des d´eveloppements limit´es dex(t) ety(t) :x(t) =atp+o(tp) ety(t) =btq+o(tq) aveca,b?= 0 etp,q?N?. Alors, la tangente existe; c"est l"axe desx(resp. desy) si on ap < q(resp.q < p) et c"est la droite y=bx-aysi on ap=q.

2.2.3 Nature des points singuliers

On suppose qu"on a un point singulier enM(t0). Comme ci-dessus, on se ram`ene au cast0= 0,M0= (0,0). Quitte `a faire un changement de rep`ere affine, on peut supposer que la tangente est port´ee par l"axe desxet qu"on a des d´eveloppements limit´es comme ci-dessus, mais avec

41< p < q. On

peut, enfin, supposer qu"on aa,b >0 quitte `a changer l"orientation des axes.

Il y a quatre cas possibles.

•Premier cas :pimpair,qpair. Quandtcroˆıt,xest n´egatif, puis positif, tandis queyest toujours positif. On dit qu"on a un pointparabolique. •Deuxi`eme cas :petqimpairs. Quandtcroˆıt,xetysont n´egatifs puis positifs, on a unpoint d"inflexion. •Troisi`eme cas :ppair,qimpair. Cette foisxreste≥0, tandis quey change de signe : on a unpoint de rebroussement de premi`ere esp`ece. •Quatri`eme cas :petqpairs. Les deux coordonn´ees restent positives et on a unpoint de rebroussement de seconde esp`ece. On notera que ce cas est le seul o`u le trac´e de la courbe n"est pas ´evident (on ne sait pasa priorilaquelle des branches est au-dessus de l"autre).

2.3 Branches infinies4

Si on ap=qetx=atp+···,y=btp+···, on peut se ramener au casp < qpar le changement de rep`erex?=x,y?=y-(b/a)x, sauf ... si la courbe est la droitebx-ay= 0! 8 L"´etude des branches infinies est analogue `a celle que l"on pratique dans le cas des graphes de fonctions. On commence par ´etudier pour quelles valeurs detles coordonn´eesxouydeviennent infinies. Si une seule des deux devient infinie on a une asymptote horizontale ou verticale. Si les deux deviennent infinies, on ´etudie la limite dey/xet dex/y. Si par exempley/xadmet une limiteafinie, on ´etudie ensuite la limite dey-ax.

3 Quelques mouvements

Dans tout ce qui suit on suppose les mouvements d´efinis sur un intervalle de tempsIet suffisamment r´eguliers (de classeC2).

3.1 Les mouvements rectilignes

3.1 Proposition.SoitM(t)un point mobile,?v(t)son vecteur vitesse et

?a(t)son vecteur acc´el´eration. On suppose que le mouvement n"a pas de point singulier (i.e. que?v(t)ne s"annule pas). Alors?vet?asont colin´eaires en toutquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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