[PDF] [PDF] Chapitre-3pdf - UMMTO a- Déterminer la classe

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fl Les paramètres de tendance centrale. Dans les chapitres précédents nous avons vu comment représenter les séries statistiques sous forme de tableaux et de graphiques. : Par

ce pao'nf,rnous allons associer à chaque distribution des paramètres de tendanCecentrale. Ces demiers §ont au nombre de trois :-

Le mode ;

La médiane ;-' La,moy€nne. l, I-le mode :

1-1-Dé{inition : Le mode d'une distribution statistique est la valeur de la variable à laquelle

correspond le plus grand effectif ou la plus grande fréquence relative. I1 est noté Mo.

Exemple:

Dans la série: {5,6,7,7,8,8,8,9,10}, le mode est égal à 8 parce que c,est la valeur laplus fréquente :,r

l-2-Le mode dans Ie cas d'une variable discrète :Exemple: Soit le tableau suivant représentant la nombre d'enfants :

Nombre

d'enfants (xi)Nombre de familles(ni) 0 I 2 aJ 4 550
60
40
20 05 05 180
eeii bâtons: Ir' a- Déterminer la classe modale : Ciest la classe qui a le plus grand effectif ou la plus granCe f iiffiJiliTi; rormure :Mo: ito * ai .(hiwo * ni,.,no ^.t .l ou Mo: xo + (., l4"r-^ lï.,^-4 { r-,t-,.o - vl*",n o -d)+ (nir,- - fla-wta+t) n',r .'t ^;5: limite inferieurè de la cla§se modàle. - ' dry t - -v- -')

Amplitude de la classs modale.

ni :Effectif de la classe modale. r{?@: Effectif de la classe avant la classe modale.ae_Lrépartition des famille, .r, foniion de

â /-/"../fr"ft-5 6ara€Q."J. Jry* ^ a

t*turl'oie variable continue : -4-

nL :.Effectif de la classe après la classe modale.rcffife : Soit le tableau süvant qui représenle !a répartition

:flr#*,(Y-'"r"JAf ia -üi A -à.rt-ql!{ f"qd- ao

ÿto-'

4o 7.4n ..1 1l * 2o) , ,(e*-%)+tt6'45)ê i,lo a 4o t .?- #t

Ylo,s tt+, é! 1". -uf b t' +rk or*l- ,,^^o-I** i. l d'e4ploitations àgricoles selon leur suoertrcie :

Suoerficie

(ha)mfi [00-20[ [20-40[ [40-60[ [60-80[a7 2A 28
150,4
o,e!efit o rt Tor4 L4{,7 -G ha )c clo lnlol4-2- Cas des classes inégales : Dans ce casron suit les étapes suivantes : aiCalculer les fréquences corrigées (ni ou fi) ou les densités. d-Trouver la classe modale qui correspond à celle qui a la plus grande fréquence corrigée ou la plus glande densité; c-Calculer le mode en appliquant la

Exemnle

: Soit lisérie suivante :

Les classesnlnic4;

[o-20[ [20-40[ [40-50[ [50-60[ [60-80[ t80-100t08 26
20 22
18 064

132t22I

aJ1o lp 4o

4o40tD

total

100ÿlo=

To +.laî.4 - 40)

ÿ10

- 5.1.,52.ff-aojr(++^q)Z To+.,lof-L Il4el

Z-La médiane:2a >,

2-l- Définition : La médiane Me d'une distribution est la valeur de la variable statistique telle que ie nombre d'observations qui présentent une valeur inférieure soit égal'au nombre d'observations qü présentent une valeur süpérieure. Autrement dit, c'est la valeur qui partage la distribution une-fois rangée par ordre croissant ou décroissant, en deux parties égales. C'est aussi la valeur de la variable pour laquelle la fréquence relative cumulée est égale à % ou 50%. 2-2-

Cts d'une variable discrète :

Z-Ll-Détermination

sur le tableau : On distingue deux cas: a-Le premier cas où l'effectif'totat§; esi.-gn nombre pair, la médiggg correspond à un intervàlle dont les valeurs sont la (Nqeryvaleur et la [§/2)+lJffvaleur, qui seront déterminées sur les valeurs des fréquences cumulées. '\ b-Le deuxième cas où I'effectif total N est impair, la médiane correspond à la (N+1/2)@ valeur, déterminée sur les valeurs des fréquences cumulées.ar$,* Cx^S formule. /t j4ür_ii. **r[,rlnoà "iL 64k. o'. (A.Wanalo 1ao'*t'r-tt "wf

1 É^ Jâ,64. u*oJ^l,z eÂl Lro,6Df

Nlg-

Io t ar' ! n'L**'tt"'"*"r<)

f h,Z mo* nr-LW - l) + {n rL r,*- rt^ "* *^Loo*) G' -Exemple : Soitle tableau suivant représentant la réparlition des familles en fonction de ri €Àt ['4,4] J*. frs = 4 - x,n,q

I&,ûf{.,

an soY; ='Tfr' 'o/w y" ; 'ff ^ so J,*,- L ,lrrn

7're..ù2r,,-,g/*-'

E ++'S o L

t4e=4o

+ lo bQ --s 4l2-2-2-Détermination graphique : La médiane est déterminée Sur la courbe des valzuis

cumulées. 'n".j71l ^lo ,lÿ .,tlo

2-3-Cas d'une{a'

2-3-l-Détermination

par le calcul :-i",è'ér:',u lr4r lv uclLqr Pour

déterminer la médiane dans le cas d'une variable continue, on suit les étapes Ëuivantes :

-D'abord

trouver la classe médiane : C'est la classe dont l'effectif cumulé est égale à N /2 ounqmbre

d'enfdrts,:

Nombre

d'enfantsNombre de famillesl(ni)mll 00 1z50

6050lt0

1s0 170
17s 1802
J 4 540
20 05 05 N:l80 la fréquence cumulée est égale à 50%. xemple : Sqlt la sérte sutvante : lra@wvqÀ '.Les classeslU.ni/î 'froÂfir, [0-20[ [20-40[ [4û-50[ [50-60[ [60-80[ [80-100[08 26
20 1,) 18 0608
34.
54.
76
94
10008
26
20 11 18 0608
34
54
76
94
100

100100ÿ=

90 .
,for,n ,L/k î*r; , ,/*,,*n.l>;"u ,r"lL" /-l'./" go * rà Ji"g{"# voÂ*. s clcuc 1'; /rr**/û ,r,ur/à. E=9o -rî, 66fe
Jo -Ensuite appliquer une des formules suivantes :Me: ou Me= xu r a. o'r, *î"1 04 w" Exemple : Soit la sé'rie suivante : i*owvQ tir. '<,4.,l.c.,-Q-7il"le x: La limite inferieure de la classe médiane ;a! amplitude de la classe médiane ; ni.ft^tr'_egectif cumulé ou fréquence cumulée de la classe avant la classe médiane ; .lw to 1o' ;t- It ,fo l.,r' 3e 4) /lr)2-3-2--D é,termination graphique : xà"

2{-Généralisation

de la médiane:Les quantites: Les quantiles sont des points essentiels prù à des intervalles réguliers verticaux d'une fonction de répartition dl*9 variabfe stafistique. Leur but est de diviser des données ordonnées en sous-ensembles de données de dimension essentiellement égale.Certains quantiles ont des noms spéciaux : Les quartiles, les déciles, et les centiles. La

méthode générale pour calculer la médiane est aussi appliquée pour calculer les quantiles.

a-Les quartiles: Ils divisent la distribution en quarte parties égales. Ils sont au nombre de hois : te premier quartile Q4Cui correspond à25% de la distribution, le deuxième quartile Q;, qui

eorrespond à la médiane?iqui se trouve à 50yo, et ie troisième quartile Q3 qui se trouve à

7 So/ode la distribution.

b-Les déciles: Ils divisent la distribution en dix parties égales.Ils soat au nombre de neuf. C-Les centiles:Ils divisent ta distribution en 100 parties égales. Ils sont au nombre de 99. pxemples:Reprenons I'exemple précëdent et calculons Ql, I ,D5 etClsL .f*rc.L fis*^'c, f*"ü:.é ul.Léü -tlof -L'qr /,, = &tâo l'f#S=, Qe Jrrael L -Lru .h'î T

r'"r,4>é elh f;a éaf &,e ÿ, . ea+./o #TZH ù /3 =-ÿt5+/^ "ü.ae" .l^ +'rt.W-f,oL .1,n, ô5.-- ïtb{-^o ae ; bs=4rry-{e

t .ér/" ,/" Çr uh: []o'w C J'"o ce,= 4e gxe6ffle : Soittes notes suivtntes : 4, 5,12,7,6,8.3-La moyenne arithmétique : 3-f- Définition : La moyJnne arithmétique d'une série statistique est égale à la somme des valeurs observées divisée par le nombre d'observations. On désigne par "f» que l'on énonce " x barre » la moyenne arithmétique. La moyËnnË aritn*etique est dite " simple >> lorsqu'à chaque valeur xi ne correspond qu'une seule observationl

Tfr^Ë.,

1=

4+s+&+V+6rt J*c- Tfq

-r,- Xl) .ilIxi.nifro/oxi.fi 0 I 2 âJ 4 520
6s 70
30
10 0500
65
140
90
40
25l0
32,5
35
15 05

42,500

32,5
70
45
20 t2"5 2A0

360100180_,

ù4 f =

Exemple:

soit la distribution suivante représentant lp répartition de 100 étudiartte selon lçurpoids x= .â x." u = î {95

3:4-Calcul

de la moyenne par un changement de variable :

Lorsque

les valeurs de la variable sont très grandes, on peut simplifier les operations en faisant un changement de variable. j , Le changement de variable consiste en le choix d'une nouvelle origine 4opt diune nouvelle unité de mè§ure " a » qui va permettre de réduire la'valeur de la variabl-e statistiqrle et de {aeiliter

les calculs. La nouvellÀ variable r}Oit" variable auxiliaire est obtenue par la Sr*tu t,:'f: xo' -rTo iTT

Pour calculer[it suffrt'de calculerî.) ensuite appliquer la formuleî a- * t* X,

Exemple

; Reprenons l'exemple pré&dént, "ut.,rià.ï urr" ,r 67,5 et a:3. Xi= € )r)'. ?r. ='Classes ntx1xl.nt [60-63[ [63-66t [66-6el [6e-721

172-7st05

18 42
27

0861,5

64,5
67,5
70,5

73.5347,5

1161
2835

1903,5

588
100

1006795

Classesnlxtxlr'ix.{l

[60-63[

163-66[

166:691

[6e-721 [72-7s[05 18 42
27

0861,5

64,5
67,5
70,5

73,5.)

-1 0 I 2-10 -1800!27 I t6

10015N

4oa N

éX. X'ct- + Xo4-L

= br 4r.rloo '- o,,l5x3 +6f,f

3-5-Les

propriétés de,Ic moyenae arithmétique : ,: ' -La

moyênne arithrnétique est influencée par les valews extrêmes, alors gue la médianç nç

l'est pas.î=A,r/

çrt -g z '1""1]

t:

-1,3-3-Cas d'ùne variable continue j Dans ce cas les xi seront représentés par les ceritres de

classes.

î.6tq'y

:Lasorlme

des écarts à la moyenne arithmétique est nul. .turo**;il carrés des écarts àî;;;;il;;,^il:ii, "WflAE|Ar*-grf minimale pour a{ 1a étant urre lraleur'cu.i.àrr0" . -^-'

-si

$nombres ont une moy"nnel, , ry ,orobr", ont ,r* moyenne{ Nk nombresont rine moyenne-Xr alors la moyenire deïous les nombres : +'

-Si

on multiplie, on divise,iable statistiqueune valeur 4 Ia moyennearithmétlqtie de cette variable sera influencée de la même manièie.3-6-Géfiéralisation

de Ia moyenne :

La moyenne arithmétique n'est qu'un cas particulier de la notion de lâ'moyenne. En utilisantla même logique de construcfion, on pêut définir d'autres moyennes à iavoir la moyenriegéométique et Ia moyenne harmonique.3{-1-La

moyenne géométrique: On l'emploie dans le calcul de taux d'accroissement moyerl ou de moyenne de caefficients multiplicatews. a-La moyenne géomérrique simple , +JWU

F,'xemnle:

Une banque a appliqué,' un taux d'intérêt de3%o la première annég, yo.la deuxième

arutée, et2Yo la troisième année. Quel est le taux d'intérêt annuel moven? 'h =W àt? =(4tô?,1" 6z)?t à tt ='4to4!g

Ce qui signifie un taux d'intérêt moyen a", 1,19 i6, b-La moyenne géométrique pondérée: G -'{l %. Xq

Exenple:

Le chiffre d'affaires augmente deÿl,les deux premières années, dsgolo les guatrg

années suivantes et de l2Yo la dernière année. Quel est le taux annuel moyeR d'augrncn1aJignduchiffred'affaires? *aet,''"Ëtrî'*";;;r""

géométriq-ue pondéiéet:{ Wn iù,rgyÀU$ r 4,0 î5 '

L'augmentation

moyenne annuelle du chifke d'affairei est de ty, pa, anÀ'-

Le calcüI peut également se faire par te logarithm " ,.*loâ q = ln ËVly*,3&Z-LtmoyenneharmoniqueH: tLa moyennê harmonique est la valeur de la variable pour laquelle son inverse est la moyenne

arithmétique de f inverse des valeurs de la vadable.-Ia moyenne harmonique simple : H =- /,/â I +.1 -[-a moyenne harmonique pondérée : .- /l'+=ffi1 ûÿt*=fu

Exempl3:

Sur un trajet, on fait 60km/h à l'aller et 30km/tr au retour. Quelle est-la vitesse

Ilemarque:

Les valeurs oÇ Ia fioyenne aflülmetlque, li

harmonique sont toujours daos I'ordre suivant:H§§ -6.quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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