[PDF] TITRE 1 tranche de 500€ la classe

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SERIE STATISTIQUE A UNE VARIABLE

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I - RAPPELS

observés dans cette classe.

La fréquence

effectif de fréquence de effectif total ii iixnfxN où x i est une valeur donnée de la variable et n i

EXEMPLE 1:

Dans un service de maintenance, on a

sur un mois.

On a obtenu la distribution suivante:

REPRESENTATIONS GRAPHIQUES

CAS DE DISTRIBUTIONS QUANTITATIVES

Les graphiques correspondant à des distributions quantitatives sont normalement fréquence. : LAIRE DE CHAQUE

RECTANGLE EST PROPORTIONNELLE A LEFFECTIF .

Exemple 2:

Dans une succursale de banque, on a noté le montant des 2000 versements effectués au guichet pendant la

journée. ]0 ; 500[ [500 ; 750[ [750 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; 3000[ effectif 440 320 400 480 360 a i ; a i + 1 [ La hauteur h de chaque rectangle est telle que h base = effectif k où k re (aire du rectangle représentant un effectif égal à 1). Par exemple la hauteur h du rectangle représentant la classe ]0 ; 500[ est telle que h

2 = 440

1 60
soit en cm : h =

4400,8120

2,9 xi 3 5 6 7 8 9

Nombre de jours ni 2 4 9 6 3 1

Fréquences f i (%)

Aire unitaire

60

500 750 1000 1500 3000

1 1

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Dans le cas où la répartition est faite dans des classes de même amplitude, les

hauteurs des rectangles sont alors proportionnelles aux effectifs. 0 120
240
360
480
600
720

50010001500200025003000

un diagramme à bâtons : LA HAUTEUR EST PROPORTIONNELLE A LEFFECTIF 0 2 4 6 8 10

356789Nombre d'interventions

Nombre de jours

II - PARAMETRES DE TENDANCE CENTRALE

Trois paramètres de tendance centrale de la distribution sont utilisés : le mode, la médiane et la moyenne :

LE MODE

Le mode ou valeur modale est la valeur que la variable statistique prend le plus Attention : Si on fait des regroupements en classes la classe modale dépend du découpage retenu. ; 1500[ par contre si on avait effectué le regroupement par ; 1000[

LA MEDIANE

it autant valeur inférieure à la médiane. Montant ( ]0 ; 500[ [500 ; 1000[ [1000 ; 1500[ [1500 ; 2000[ [2000 ; 2500[ [2500 ; 3000[ effectif 440 720 480 120 180 60

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1. Lorsque les observations sont toutes données, pour calculer la médiane de la série

statistique on distingue deux cas suivant que impair :

Dans une série de données :

si l'effectif total est 2 n + 1 où n est un entier, la médiane est la valeur classée au rang n + 1. si l'effectif total est 2 n où n est entier, la médiane est la demi somme des valeurs de rang n et n + 1. inférieur o 2. médiane puis on calcule la médiane par interpolation linéaire. [x A ; x B y A et y B sont les effectifs cumulés (ou les fréquences cumulées) correspondants respectivement aux valeurs x A et x B. On note A et B les points de la courbe des effectifs cumulés (ou des fréquences cumuléesx A et x B . n de la droite (AB) est BA AABA yyy y x xxx x M y M est la ou 0,5 dans le cas des fréquences cumulées).

Médiane

BAMAMABA

xxx y y xyy Dans ; 1000[ . La médiane est calculée par interpolation linéaire.

Courbe des Effectifs cumulés

B A 0 1000
2000

050010001500200025003000

Montant

Effectifs

1160 7601160 7501000 750yx

soit

4001160 750250yx

La médiane est obtenue pour un effectif de 1000:

2501000 760 750400Mx

soit M e = 900 y B = 1160 y A = 760 x B = 1000 x A = 750 y M = 1000 x M M A B

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LA MOYENNE

La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par l'effectif total.

N = n1 p on le note

1 n i iNn

Les fréquences sont notées fi

La moyenne est donnée par la relation :

ppxnxnxnNx

322111

1"" p ii inxsomme des produits effectif valeurxN effectif total ou 1 p ii ix f x

6,22 3 4 5 9 6 6 7 3 8 1 9

25x
de la variable x i

1035440 250 320 625 400 875 480 1250 360 2250

2000x

PROPRIETES DE LA MOYENNE

1. Linéarité de la moyenne

Si on multiplie chaque valeur de la série par un réel a (a

0), alors la moyenne est

multipliée par a.

Preuve :

On note N = n1 p m est la moyenne de la série de valeurs axi

1 1 1 1

1 p p p p am n a x n a x n x n x axNN Si on ajoute à chaque valeur de la série le réel b, alors la moyenne augmente de b.

Preuve :

On note N = n1 p , m est la moyenne de la série de valeurs xi + b

11 1 1

111

1 1 1 2

1 11 11 11 p p p p p p p p p n x b n x bppm n x n x n b n bNN m n x n x n b n bNN m n x n x b n n n x bNN

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Si une série de valeurs x i a pour moyenne

x , la série de valeurs ax i + b a pour moyenne a x + b. On parle de linéarité de la moyenne.

2. Ecarts à la moyenne

" La moyenne des écarts à la moyenne » est nulle.

Preuve b =

x

3. Moyennes partielles

N et P, et de moyennes

x et y alors la moyenne de la série totale est

N x P yzNP

Preuve :

Série X Série Y

Série Z x1 xk y1 yj

effectifs n1 nk p1 pj On note N et P X et Y, la série Z a pour effectif total N + P. Les moyennes des séries X et Y sont: 11 1 kkxn x n xN et 11 1 jjyp y p yP

1111p p j jx Pyn x n x p y p yN

N P N Pz

IV - PARAMETRES DE DISPERSION

Les caractéristiques de position (Mode, Médiane, Moyenne) sont insuffisants comme

Vérifier que la moyenne, la médiane et le mode de ces deux séries de données sont identiques.

Série X 35 75 85,5 99,9 100 104,5 124 138,5 185 effectifs 12 29 48 65 44 50 27 17 8 Série Y 28,25 42,5 62,5 99,9 100 114 139,5 195,5 288,45 effectifs 18 48 52 55 40 32 35 24 10 Plusieurs paramètres de dispersion peuvent être utilisés interdéciles, écarts interquartiles et écart-type.

1. ETENDUE

est la différence entre les deux valeurs extrêmes observées. X est : 185 35 = 150 , celle de la série Y est : 288,45 28,25 = 260,2.

2. LES QUANTILES

1) Les quartiles au nombre de trois (Q1, Q2 et Q3n

éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en 4 sous ensembles.

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2) Les déciles au nombre de neuf (D1, D2 9nsemble étudié de n

éléments préalablement classés par valeurs croissantes, en 10 sous ensembles. n sont rangées par ordre croissant : x 1 x 2 x n Le premier quartile Q1 de la série est la valeur x i ice i est le plus petit entier supérieur ou égal à 4 n Le deuxième quartile Q2 de la série est la valeur x i i est le plus petit entier supérieur ou égal à 2 42
nn Le troisième quartile Q3 de la série est la valeur x i i est le plus petit entier supérieur ou égal à 3 4 n Le premier décile D1 de la série est la valeur x i i est le plus petit entier supérieur ou égal à 10 n Le neuvième décile D9 de la série est la valeur x i i est le plus petit entier supérieur ou égal à 9 10 n est égal à la différence entre le troisième et le premier quartile. Il contient au moins 50% des observations. est égal à la différence entre le neuvième et le premier décile.

Il contient au moins 80% des observations.

éliminant les valeurs extrêmes.

Exemples

Dans la série X 300, le rang du premier quartile est 30075
4 soit Q1 = 85,5 .On calcule de même Q2 = 99,9 et Q3 = 104,5. : Q3 Q1 = 104,5 85,5 = 19. Les déciles sont : D1 9 = 124 . : D9 D1 = 124 75 = 49.

Dans la série Y 314, 79 car

31478,5

4 et 79 est le plus petit entier supérieur ou égal à 78,5 ainsi Q1 = 62,5.

3 314235,5

4

236 du troisième quartile et Q3 = 114.

: Q3 Q1 = 114 62,5 = 51,5.

Les indices des premier et neuvième déciles sont respectivement 32 et 283 ainsi : D1 = 42,5 et D9 = 195,5

: D9 D1 = 195,5 42,5 = 153.

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3. BOITES A MOUSTACHES

appelés " boîte à moustaches » ou " box-plot ».

Pour une catégo

représentée par un trait. Deux traits repèrent le premier et neuvième décile. Les observations

On se contente

parfois des valeurs extrêmes) Graphiques boîtes à moustaches des séries X et Y

Intervalle interdécile

0 100
200

Série Xsérie Y

Intervalle interquartile

4. VARIANCE ET ECART TYPE

de dispersion.

1. Théorème

La moyenne

x est le nombre qui minimise la somme 2 1() p ii iS x n x x

Preuve :

222222

1 1 1 1 1( ) 2 2p p p p pS x n x x n x x n x x x x n x x x x

222

1 1 1 1 1( ) 2p p p p pS x n x n x x n x n x x n n

On note N = n1 p

22
11 ()2 pp i i i i ii x N xx n x n xS

Ainsi la somme S x dont le coefficient N de x 2

est positif

La somme S est donc minimale pour

12 2 p ii inx xN soit x = x Pour obtenir un indicateur de dispersion on utilise la somme des carrés des écarts à la moyenne.

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