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end 5-2° Triangulation des matrices par la méthode de Gauss L'algorithme de triangulation pour une matrice de N lignes et
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(AB )?=B?1 A?1 si A ?0 et B ?0 2 19 Déterminant de l’inverse d’une matrice A?1 =A?1 si A ?0 2 20 Propriété du rang d’une matrice r(AB )=r(A) si B ?0 2 21 Inverse d’une somme de matrice Si H =A+BDC avec A et D des matrices carrées inversibles alors :
Rappels de calcul matriciel
T. Moreau et M. Chavance
Octobre 2006
2Chapitre 1
LES MATRICES.
PREMIERES DEFINITIONS
UnematriceA(n;p) est un tableau rectangulaire de nombres comprenant n sont lesdimensionsdeA. On note A=0 BBBBBBBBBB@a
11a12::: a1p
a21a22::: a2p.........
a i1ai2::: aij::: aip......... a n1an2::: anp1 CCCCCCCCCCA
a1j;:::;anjconstituent la colonne j.
1.2 Exemples
1.2.1 Les matrices les plus simples
Un nombre est une matrice (1, 1). La matriceV= (x1;x2;x3) µa 1 ligne et B @x 1 x 2 x 31C
Aµa 3 lignes et
34CHAPITRE 1. LES MATRICES. PREMIERES DEFINITIONS
1.2.2 Exercice
sujet1 : (180;112)sujet2 : (152;82)sujet3 : (167;80) sujet4 : (154;106)sujet5 : (148;80)sujet6 : (164;98) sujet7 : (156;98)sujet8 : (171;96)sujet9 : (150;106) sujet10 : 160;111) est la iµeme colonne de A (i= 1, ..., p) et dont la jµeme colonne est la jµeme1.3.2 Exercices
BBBBBB@1 4 5
¡1 8 0
3 1¡3
2 0 17 2 11
CCCCCCA, puis la matrice trans-
(A0)0=A1.4. MATRICES CARR
a la distinguer de laseconde diagonale. colonnes. Soit la matrice magique : A=0 B @1 2 3 4 1 11 3 21
C AQue peut on dire deA0?
8j,i6=j)aij= 0.
a ii=¡aii= 0.6CHAPITRE 1. LES MATRICES. PREMIERES DEFINITIONS
0 BBBB@¾
21¾12::: ¾1p
21¾22::: ¾2p.........
p1¾p2::: ¾2p1 C CCCA 0 BBBB@1½12::: ½1p
211::: ½2p.........
p1½p2:::11 C CCCA0. Il s'en suit que § est diagonale, ce qui peut se noter § =Diag(¾21;¾22;:::;¾2p),
sont gaussiennes.1.4.4 ATTENTION
Exemple0
B @1 1 0 1 1 10 1 11
C A Il faut bien entendu que les dimensions des blocs soient compatibles. Ex- 11A12 A21A22!
1.5. MATRICES D
0 BBBBBBBBBB@a
11::: a1la1(l+1)::: a1p............
a k1::: aklak(l+1)::: akp a (k+1)1::: a(k+1)la(k+1)(l+1)::: a(k+1)p............ a n1::: anlan(l+1)::: anp1 CCCCCCCCCCA
oµuA11etA12ont k lignes,A21etA22n-k lignes,A11etA21l colonnes, A12etA22p-l colonnes.
1.5.1 Transposition
vaut :A0=ÃA011A021A012A022!1.5.2 Exercices
1) Montrer queA= (P Q))A0=ÃP0
Q 0!2) SoitA=ÃP Q R
S T U!
. CalculerA0.8CHAPITRE 1. LES MATRICES. PREMIERES DEFINITIONS
Chapitre 2
2.1 Multiplication d'une matrice par un nom-
bre Le produit d'une matriceAet d'un nombre ouscalaire¸est une matrice b ij=¸£aijBa donc les m^emes dimensions queA.
2.2 Somme de deux matrices de m^emes di-
mensions La sommeC=A+Bde deux matrices dem^emes dimensionss'obtient en c ij=aij+bijA¡B=A+ (¡1)£B
matrices de m^emes dimensions. 92.3 Exercices
2.3.1Soit la matrice magiqueA=0
B @1 2 3 4 1 11 3 21
CA. CalculerB=A+A0
2 etC=A¡A0 2 2.3.2 des observations avant et aprµes traitement sont respectivement A=0 BBBBBBBBBBBBBBBBBB@180 112
152 82
167 80
154 106
148 80
164 98
156 98
171 96
150 106
160 1041
CCCCCCCCCCCCCCCCCCAetB=0
BBBBBBBBBBBBBBBBBB@175 100
160 90
150 60
140 83
141 72
149 80
154 96
150 84
137 76
145 771
CCCCCCCCCCCCCCCCCCA
calculer la matrice des diminutions. 2.3.3Soient les matrices:A=0
B @¡1 2¡1 0 0 01¡2 11
CA;B=A0;C=0
B @1 1 1 1 1 11 1 11
CA. Cal-
2.4. PRODUIT DE DEUX MATRICES11
2.4 Produit de deux matrices
Soient les deux matricesAde dimensions (n, p) etBde dimensions (p, q), le produitA£Best une matriceCde dimensions (n, q) dont le termecij vaut c ij=ai1b1j+ai2b2j+:::+aipbpjC=A£B
(n, q) (n, p) (p, q) Le termecijest obtenu en faisant la somme des produits deux µa deux des colonne j b 1j %b2j b pj ligne i a i1ai2::: aip2.4.3 Exemples
1) E®ectuer le produitA£BavecA=Ã1 2 0
0¡1 1!
etB=Ã1 1 2 0! puis e®ectuerA0£B.2) Exprimer sous forme de produit matriciel la somme puis la moyenne
BBBBBB@1
0 4 6 41C
CCCCCA.
3) CalculerM=Ã2 1
¡1 2!
£Ã2¡1
1 2! puisN=Ã2 1 1 2!£Ã2¡1
¡1 2!
¡b a!
etÃa b b a!4) CalculerC=Ã2 0 1
¡1 1 1!
£0 B @1 0 2 1¡1 01
C AA£B=B£A. On dit alors queAetBcommutent.
Le produit de plusieurs matrices est associatif :
A1£(A2£A3) = (A1£A2)£A3=A1£A2£A3
Remarque 1: Bien entendu, le produit des n matricesA1;A2;:::;Ann'est nombre de lignes deAi+1. idempotente. Le produit est distributif par rapport µa la somme :A£(B+C) =A£B+A£C
2.5.4 Multiplication par un nombre¸
2.6. EXERCICES13
Soient deux matricesAetBde dimensions respectives (n, p) et (p, q). Leur C0=B0£A0
I I n£A=A£Ip=A2.6 Exercices
2.6.1 Reprenons l'exemple des tensions systolique (TS) et diastolique (TD) avant et aprµes traitement. Calculer la matrice ligneM= (m1;m2) oµum1est la moyenne des diminutions des TS etm2la moyenne des diminutions des TD en utilisant la matrice ligne (1,p)C= (1 1:::1). Comment e®ectuer le calcul pour obtenir les deux moyennes sous forme d'une matrice colonne ? 2.6.2Soit la matriceA=Ã
p2=2¡p
2=2p 2=2p 2=2! . Calculer le plus simplement possible C=A8. 2.6.3Soient les matrices
J=0 BBB@0 1 0 0
¡1 0 0 0
0 0 0¡1
0 0 1 01
CCCAK=0
BBB@0 0 1 0
0 0 0 1
¡1 0 0 0
0¡1 0 01
CCCAL=0
BBB@0 0 0 1
0 0¡1 0
0 1 0 0
¡1 0 0 01
C CCACalculerJ2,K2,L2etJ£K£L
2.6.4Soient les matricesA=Ã1 1 2
2 1 1!
B=0 B @1 2 11 C AC=0 B @0 5 01 CA. CalculerA£B
etA£C. Conclusion ?SoientA=ÃA
11A12 A21A22!
etB=ÃB 11B12 B21B22!
. Si les blocsAijetBijontA+B=ÃA
11+B11A12+B12
A21+B21A22+B22!
dimensions coincident, c'est-µa-dire que les colonnes de la premiµere matrice et D E! etN=ÃP Q! oµuB=Ã1 2 0 3! ,C=D=Ã0 0 0 0! ,E=Ã4 1 2 1! ,P=Ã1 0 0 2!Q=Ã0 1
1 0!2.8. TRACE D'UNE MATRICE15
2.8 Trace d'une matrice
tr(A) =X ia ii8AetBde m^emes dimensionstr(A+B) =tr(A) +tr(B) ettr(A¡B) =
tr(A)¡tr(B);SiCest une matrice (n, p) etDune matrice (p, n)
tr(CD) =tr(DC) =X ijc ijdji ijc2ij2.8.2 Exercice
Calculertr(AB) avecA=0
B @1 2 3 4 5 67 8 91
CAetB=0
B @1 0 2 0 1 34 0 21
C A2.9 Problµeme 1 : calcul de la matrice de co-
variance B BBB@x 11x12 x21x22......
x n1xn21 CCCCA1)
P ix2i1P ixi1xi2P ixi1xi2P ix2i2!2) Soit la matrice (2;n)B=Ã
P ixi1P ixi1:::P ixi1P ixi2P ixi2:::P ixi2! matricielle qui permet d'obtenirBen utilisant la matrice (n;n)E=0 BB@1 1:::1............
1 1:::11
C CA3) E®ectuer le produitB£X
4) Conclure en donnant une formule simple permettant de calculer l'estimation
86 94 98 106 90 86 94 74 86 86!
Chapitre 3
DETERMINANT D'UNE
MATRICE CARREE
a)fse change en¡fquand on transposeCietCj(i.e. quand on echange leurs places). b) S'il existe des indicesi,i1,i2tels queCi=Ci1+Ci2, alors f(C1;C2;:::;Ci;:::;Cn) =f(C1;C2;:::;Ci1+Ci2;:::;Cn) =f(C1;C2;:::;Ci1;:::;Cn) +f(C1;C2;:::;Ci2;:::;Cn) c) SiCi=¸Vi, on a f(C1;C2;:::;Ci;:::;Cn) =f(C1;C2;:::;¸Vi;:::;Cn) =¸f(C1;C2;:::;Vi;:::;Cn) des traits parallµeles au lieu de parenthµeses :¯¯¯¯¯2 1
0 1¯
1718CHAPITRE 3. DETERMINANT D'UNE MATRICE CARREE
C'est facile :jaj=a
¯¯¯¯a b
c d¯¯¯¯¯=ad¡bc
¯¯¯¯¯¯a
11a12a13
a21a22a23
a31a32a33¯
3 en recopiant ses deux premiµeres lignes sous la derniµere et en reliant les
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
a11a12a13
a21a22a23ainsi quea
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