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QUELQUES RAPPELS

DE CALCUL MATRICIEL

Benoît MULKAY

Faculté de Sciences Economiques

UNIVERSITE DE MONTPELLIER 1

Septembre 2008

- 2 -

1. Définitions et Axiomes

1.1. Définition d"une matrice

Une matrice est un tableau rectangulaire de p lignes et de q colonnes avec des nombre réels ÂÎija à la ième ligne et la jème colonne tels que pi,,1K= et qj,,1K=. Cette matrice d"ordre ou de genre qp´. Elle est notée : pqppij qq ij qp aaaa aaaaaa aAA

LLMOMMMOMMLLLL212222111211

1.2. Transposée d"une matrice

[]jiaA=¢ est la transposée de la matrice A. Elle est d"ordre pq´.

1.3. Multiplication par un scalaire

Si l est un scalaire, []ijaAl=l.

1.4. Addition de deux matrices

Si []ijbB= est aussi une matrice d"ordre qp´ : []ijijbaBA+=+

1.5. Produit de deux matrices

Le produit matriciel est défini si

B est aussi une matrice avec q lignes et r colonnes : []ijcCAB== est d"ordre rp´ avec : q k kiikij bac 1.

1.6. Associativité du produit matriciel

()().ABCBCACAB== - 3 -

1.7. Non-commutativité du produit matriciel

L"existence du produit matriciel AB n"implique pas nécessairement l"existence du produit matriciel BA. En général , le produit matriciel n"est pas commutatif : BAAB¹.

1.8. Distributivité

ACABCBABCACCBA

1.9. Quelques règles de transposition

ABABBABAAA¢¢=¢¢

1.10. Produit (scalaire) d"un vecteur

Si x est un vecteur-colonne

1´n, alors x¢ est un vecteur-ligne n´1 , et le produit scalaire de

ce vecteur est la somme des carrés de ses composantes : n i i xxx 12

1.11. Produit de Hadamard

Si les matrices

A et B sont de même ordre qp´, le produit de Hadamard est un produit élément-par-élément des deux matrices :

BACo=, tel que :

.ijijijbac=

1.12. Matrice nulle

Si tous les éléments de la matrice A sont nuls : 0= ija, pour tout i et j, on écrira : .0=A

1.13. Orthogonalité

2 vecteurs ()1´n x et y seront dits orthogonaux si et seulement si :

- 4 - .0=

¢=¢xyyx

2 matrices compatibles A et B seront dits orthogonales si et seulement si :

0=AB

1.14. Norme d"un vecteur

La norme d"un vecteur x ()1´n est définie par : 21
1 2 =n i ixxxx

On peut prouver que :

.yxyx+£+

1.15. Rang d"une matrice

Le rang d"une matrice A, noté r(A), est le nombre minimum de lignes ou de colonnes linéairement indépendantes.

1.16. Propriétés du rang d"une matrice

Si ()pAr= (le nombre de lignes de A), on dira que A est de plein-rang (lignes). Si ()qAr= (le nombre de colonnes de A), on dira que A est de plein-rang (colonnes).

1.17. Rang d"un produit matriciel

()()(){}.,minBrArABr£ - 5 -

2. Matrices Carrées

2.1. Définition d"une matrice carrée

Une matrice A est dite carrée si le nombre de ligne est égal au nombre de colonnes : .qp=

2.2. Trace d"une matrice carrée

La trace d"une matrice carrée A, notée ()Atr, est la somme des éléments sur sa diagonale principale : ( ).tr

1∑

p i ii aAB

2.3. Propriété de la trace d"une matrice

()()()( ) ( )( )( ).trtr,trtr,trtrtr

AAAABABA

¢l=l+=+

2.4. Propriété de circularité de la trace

Si AB et BA sont des matrices carrées (pas nécessairement du même ordre), alors : ()().trtrBAAB= Si les produits matriciels ABC, CAB et BCA existent, alors : ()()().trtrtrBCACABABC==

2.5. Propriété de la trace d"une matrice (suite)

()().trtr

1 12∑∑

p ip j ij aAAAA

2.6. Matrice diagonale

Si

0=ija, pour tout ji¹, la matrice est dite diagonale et on écrira :

- 6 - ppppaa a aaaALMOMMLL

K000000

,,,diag 2211
2211

2.7. Matrice identité

La matrice

identité est une matrice carrée d"ordre p, notée pI, et est telle que :

100010001

1,,1,1diag

LMOMMLL

K pI

2.8. Neutre pour la multiplication

La matrice identité est le neutre pour la multiplication : .AAIAIpp==

2.9. Autres matrices spéciales

On considère aussi le vecteur unitaire de dimension

1´p comportant uniquement des 1 :

11 1 M pj De même, la matrice unitaire carrée d"ordre p : pppjjJ¢= est composée entièrement de 1. Notez que ()1=pJr. Attention à ne pas confondre pppjjJ¢= avec le produit scalaire : .pjjpp=¢ On peut aussi définir le vecteur indicatrice 1 ´p entièrement composé de 0, sauf un 1 à la position n : - 7 - 010 MM ne

2.10. Déterminant d"une matrice

Si A est une matrice carrée d"ordre p, on définira le déterminant de la matrice A comme : p i ijijji AaAA 11det où

ijA est le (i,j)ème mineur de la matrice A : c"est-à-dire le déterminant de la matrice

()()11-´-pp formée en éliminant la ième ligne et la jème colonne de A.

2.11. Matrice adjointe

La matrice adjointe de A, notée ()Aadj, est la transposée de la matrice dont le (i,j)ème élément

est ()ji+-1 fois le mineur ijA.

2.12. Propriétés du déterminant

scalaire.un est si , ordred" carrée matrice une aussiest si .,ll=l==

¢AApBBAABAAp

2.13. Singularité d"une matrice

Si le déterminant de A est nul :

0=A, la matrice A sera dite singulière. Dès lors : ()pAr<.

2.14. Non-singularité d"une matrice

En revanche, si le déterminant de A est non-nul :

0¹A, la matrice A sera dite non-singulière

ou régulière. Dès lors : ()pAr=. - 8 -

2.15. Inverse d"une matrice carrée

Si A est une matrice carrée non-singulière, la matrice inverse de A, noté

1-A, existe et est telle

que : .11 pIAAAA==--

On dira alors que A est inversible.

2.16. Inverse et matrice adjointe

AAAadj

1=-.

2.17. Propriétés de l"inverse d"une matrice

( )( ).,111

1¢=¢=---

-AAAA.

Les éléments de

1-A sont continus en A, sauf au point où 0=A.

2.18. Inverse d"un produit matriciel

().0Bet 0A si 111¹¹=---ABAB

2.19. Déterminant de l"inverse d"une matrice

0A si

11¹=

--AA.

2.20. Propriété du rang d"une matrice

()().0B si ¹=ArABr

2.21. Inverse d"une somme de matrice

Si BDCAH+= avec A et D des matrices carrées inversibles, alors : - 9 -

111111

11111
11111

ACBCADBAICABCADBIACABCADBAAH

2.22. Valeurs propres (eigenvalues)

Les p valeurs propres (eigenvalues ou racines caractéristiques) d"une matrice carrée A d"ordre p sont les racines du polynôme, notées plll,,,21K : .0

1=la=l-∑

=p i i ipIA Les valeurs propres d"une matrice carrée quelconque peuvent être complexes.

2.23. Propriétés des valeurs propres

==l=l= p i ip i i AA

11dettr

Le nombre de valeurs propres

il non nulles de A est égal au rang de A : )r(A. Les racines de

0=l-BA sont les valeurs propres de la matrice AB1- (et aussi de la matrice 1-AB quand

0¹B).

2.24. Vecteurs propres (eigenvectors)

Du fait que la matrice ()piIAl- est singulière pour les valeurs propres il, il existe un

vecteur xi de dimension ()1´p, appelé vecteur propre (ou eigenvector) de A, tel que : ()0=l-ipixIA, ou encore : iiixAxl=.

2.25. Matrice symétrique

Une matrice

A est symétrique si et seulement si : AA¢=.

- 10 -

2.26. Valeurs propres d"une matrice symétrique

Toutes les valeurs propres d"une matrice symétrique sont réelles.

2.27. Matrice orthogonale

Une matrice A est orthogonale si et seulement si : pIAAAA=¢=¢. Dès lors, on aura : .1AA¢=-

2.28. Valeurs propres d"une matrice orthogonales

Toutes les valeurs propres d"une matrice orthogonale sont égales à 1 ou -1.

2.29. Matrice idempotente

Une matrice A est idempotente si et seulement si : AAA=.

2.30. Valeurs propres d"une matrice idempotente

Toutes les valeurs propres d"une matrice idempotente sont égales à 0 ou 1.

2.31. Propriétés d"une matrice particulière

Si X est une matrice d"ordre KT´, alors la matrice XX¢ est symétrique.

2.32. Matrices de projection

Si X est une matrice d"ordre KT´, alors les matrices d"ordre KK´ : ()XXXXB¢¢= -1et ()BIXXXXIWKK-=¢¢-= -1 sont symétriques et idempotentes. La matrice B est de rang K et la matrice W est de rang : KT-.

Ces matrices sont des

matrices de projection orthogonale ; la première B sur le sous-espace vectoriel engendré par les colonnes de X, et la seconde sur le sous-espace vectoriel orthogonal

à celui engendré par les colonnes de

X. - 11 -

2.33. Forme linéaire

Si a et x sont des vecteurs colonnes

1´n, l"expression xa¢ est appelée une forme linéaire en

x : n i ii xaxa 1.

2.34. Forme quadratique

Si x est un vecteur colonne 1´n et A une matrice nn´, l"expression Axx¢ est appelée une forme quadratique en x : n in j jiij xxaAxx 1 1.

2.35. Matrice définie-positive

Si toutes les valeurs propres de la matrice

A sont strictement positives : 0>li

pi ,,1pour tout K=, on dira que A est définie positive et on notera : 0>A (Remarque : cela n"implique pas que tous les éléments de

A sont strictement positif).

2.36. Matrice semi-définie positive

Si toutes les valeurs propres de la matrice

A sont positives ou nulles : 0³li

pi ,,1pour tout K=, on dira que A est semi-définie positive et on notera : 0³A.

2.37. Matrice définie négative

Si toutes les valeurs propres de la matrice

A sont strictement négatives : 0 pi ,,1pour tout K=, on dira que A est définie négative et on notera : 02.38. Matrice semi-définie négative

Si toutes les valeurs propres de la matrice

A sont négatives ou nulles : 0£li

pi ,,1pour tout K=, on dira que A est semi-définie négative et on notera : 0£A. - 12 -

2.39. Décomposition de Cholesky

Si A est une matrice symétrique d"ordre n, définie positive, alors :

LLA¢=

où L est une matrice (unique) triangulaire inférieure avec des éléments positifs sur la

diagonale principale : .000

21221211)))))

nnnnllllll

LLMOMMLL

2.40. Décomposition en valeur singulière

On décompose une matrice A d"ordre

qp´ avec qp³ et ()0>=rAr en :

VUWA¢=

où : ¢´. avecestnégatifs,non éléments des avec diagonale,est, avecestrrIVVrnVrrWIUUrmU - 13 -

3. Matrices Symétriques

3.1. Forme quadratique d"une matrice symétrique

Soit A une matrice symétrique, alors toutes les valeurs propres l i de A sont réelles, et tous les vecteurs propres x i sont réels. De plus on dira que A est :

· définie positive si

0>¢Axx, pour tout 0¹x,

semi-définie positive si 0³¢Axx, pour tout x, définie négative si 0<¢Axx, pour tout 0¹x, semi-définie négative si 0£¢Axx, pour tout x, indéfinie si 0³¢Axx, pour quelques x, et 0<

¢Axx, pour d"autres x.

3.2. Matrice des vecteurs propres

Il existe une matrice orthogonale ()pxxxX,,,21K= dont les colonnes sont les vecteurs propres de A, telle que L=¢AXX, où ()pdiaglll=L,,,21K est la matrice diagonale des valeurs propres.

3.3. Propriété de la matrice des vecteurs propres

.0 si ,11¹L¢=

¢L=

--AXXAXXA

3.4. Valeur propre maximale

Soit ()Al la plus grande valeur propre de A, on a :

¢¢=l=lxxAxxA

iiisupmax

3.5. Valeur propre minimale

Soit ()Al la plus petite valeur propre de A, on a :

¢¢=l=lxxAxxA

iiiinfmin - 14 -

3.6. Rang et valeurs propres d"une matrice symétrique

Si la matrice symétrique A possède r valeurs propres non-nulles, alors ()rA=r. Si la matrice idempotente A possède r valeurs propres unitaires, alors ()()rAA==trr.

3.7. Propriétés d"une matrice définie positive

Si A est une matrice symétrique définie-positive d"ordre p, alors : 111
positive)-(définie 0r0 ---l=l>=>

AAApAA

De plus, si B est de plein rang colonne, alors

0>¢ABB.

3.8. Racine carrée d"une matrice

Soit ()2121

221

121,,,diagplll=L, en écrivant XXAL¢= avec X la matrice orthogonale des

vecteurs propres de A, on aura :

ABBBXXB==¢L=221 satisfait .

On appellera

21AB= la racine carrée (unique et définie-positive) de la matrice A.

3.9. Propriétés d"une matrice définie positive (suite)

Si A et B sont deux matrices définies-positive d"ordre p, alors A - B est définie positive si et

seulement si

11---AB est définie-positive.

- 15 -

4. Matrices Partitionnées

4.1. Définition d"une matrice partitionnée

Une matrice A d"ordre

qp´ peut être partitionnée en nm blocs (ou sous-matrices) tels que :

´´mnnnm

mqpnm qpn qpnqpm qpqpqpmqpqpAAAAAAAAA A

LMOMMLL

212
22121
2111

212222111211

avec pp n i i=∑=1 et qq m j j=∑=1.

4.2. Matrice partitionnée en 2 x 2 blocs

Le cas le plus simple est celui d"une matrice

A partitionnée en 4 blocs :

´´´´22122111

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