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Université A. Mira de Béjaia,Département d"HydrauliqueCours de Mécanique des Milieux Continus (MMC) 2014/2015

Rappels de Mathématiques

(suite du chapitre 1)

A. Seghir

Tabledes matières

1 Matrices2

1.1 Determinant . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Opérations matricielles . . . . . . . . 3

1.3 Matrice de rotation . . . . . . . . . . . 4

1.4 Somme de deux rotations . . . . . . . 4

1.5 Inverse d"une rotation . . . . . . . . . 5

1.6 Rotation 3D . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Transformationlinéaire 6

3 Valeurset vecteurspropres 7

3.1 Diagonalisation d"une matrice . . . . 8

4 Tenseurs9

4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2 Tenseur d"ordre1 . . . . . . . . . . . . 10

4.3 Tenseur d"ordre2 . . . . . . . . . . . . 11

4.4 Propriétés des tenseurs . . . . . . . . 125 Notation indicielle 12

5.1 Convention de somme . . . . . . . . . 13

5.2 Indice libre . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.3 Symbol de Kronecker . . . . . . . . . . 14

5.4 Symbole de Permutation . . . . . . . . 15

5.5 IdentitéE-δ. . . . . . . . . . . . . . . 16

6 Champ tensoriel et différentiation d"un

champ tensoriel 16

6.1 Différentiation d"un vecteur . . . . . . 17

6.2 Gradient d"un scalaire . . . . . . . . . 17

6.3 Divergence et rotationnel d"un vecteur 20

6.4 Laplacien d"un scalaire . . . . . . . . . 20

6.5 Gradient d"un vecteur et divergence

d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . 21

7 Théorèmes intégrales de Gauss et de

Stokes21

7.1 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . 21

7.2 Théorème de Stokes . . . . . . . . . . 22

1 MatricesUne matricem×nest une représentation de nombres sous forme d"un tableau demlignes etn

colonnes. A=??a

11a12···

a

21a22···

Chaque élément est désigné par deux indicesi,jqui correspondent à sa position dans le tableau.

Sim=n, la matrice est dite carrée et sim=n=1, elle se réduità un scalaire. Lesmatrices sont très

utiles pour résoudre simultanément les systèmes d"équations : ?a

11x1+a12x2+···+a1nxn=b1

a

21x1+a22x2+···+a2nxn=b2

a n1x1+an2x2+···+annxn=bn qui peuvent toujours se mettre sous forme matricielle commesuit : ?a

11a12···a1n

a

21a22···a2n

a n1an2···ann????? ?x 1 x 2 x 1 b 2 b ou sous forme compacte : A X=B A: est la matrice carrée d"ordrencontenant les coefficients du système linéaire

X: est le vecteur des variables inconnues

B: est le vecteur des variables connues

donc on transforme le vecteurX, en un vecteurBà l"aide deA, d"où la définition suivante : Une matriceMest une application linéairequi associe à tout vecteurVune imageV? V

M-----→V?=MV

Une matrice est dite matrice identité si elle associe à tout vecteurVle vecteur lui-même (elle ne

fait aucune transformation du vecteur), elle est notéeI: V ?=I V=V

1.1 Determinant

Le déterminant d"une matrice carrée est un nombre tel que : siA=a11est d"ordre 1 (1×1) : det(A)=a11 A. SeghirCours d"élasticité, 4èmeAnnée et Master I - Génie Civil 2 siA=?ai j?est d"ordre 2 (2×2) : det(A)=????a 11a12 a

21a22????

=a11a22-a21a12 siA=?ai j?est d"ordre 3 (3×3) : det(A)=??????a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a33??????

=a11????a 22a23
a

32a33????

-a12????a 21a23
a

31a33????

+a13????a 21a22
a

31a32????

siA=?ai j?est d"ordren(n×n) : det(A)=??????a

11···a1n

a n1···ann?????? =a11??????a

22···a2n

a n2···ann?????? -···+···±a1n??????a

21···a2n-1

a n1···ann-1?????? En élasticité, on se limite aux matrices d"ordre 3, (n=3).

1.2 Opérations matricielles

AetBsont deux matrices de composantesai jetbi jetmest un scalaire.

1. Egalité

Deux matrices du même ordre sont égales si et seulement si toutes leurs composantes sont

égales une à une :

A=B:ai j=bi j

2. Transposée

B=AT:bi j=aji

3. Multiplication par un scalaire

B=mA:bi j=maji

4. Multiplication matricielle

C=AB:ci j=?

ka ikbkj

5. Inversion matricielle

A -1inverse deA:A A-1=I

Remarques

1.AB?=B A

2. det(AB)=det(A)det(B)

3. (AB)T=BTAT

4. det(mA)?=mdet(A)

A. SeghirCours d"élasticité, 4èmeAnnée et Master I - Génie Civil 3

1.3 Matrice de rotationUn pointPde coordonnées (x,y) exprimées dans un repèreXYs"exprime par les coordonnées

(x?,y?) lorsque le repère subi une rotation d"angleθet devientX?Y?. Les nouvelles coordonnées s"expriment en fonctions des anciennes coordonnées comme suit : x ?=xcosθ+ysinθ y ?=ycosθ-xsinθ soit sous forme matricielle : ?x? y =?cos(θ) sin(θ) -sin(θ) cos(θ)?? x y? ou encore, en plus compacte :V?=AV Aest la matrice de rotation de repère, elle contient les cosinus directeurs des nouveaux axes par rapport aux anciens axes. Si on note les vecteurs unitaires des axes originauxe1ete2, ceux des nouveaux axese?1ete?2alors : a i j=e? i·ej Y X" Y" X

θx"y

x y"P e1e" 1e 2e"2

1.4 Somme de deuxrotations

Lorsque le repèreX?Y?subit lui aussi une rotation d"angleφ, les coordonnées (x?,y?) deviennent

(x??,y??) tel que :?x?? y =?cos(φ) sin(φ) -sin(φ) cos(φ)?? x? y V ??=BV?

Best la matrice de la seconde rotation.

En fonction des coordonnées origines (x,y) :

?x?? y =?cos(φ) sin(φ) -sin(φ) cos(φ)?? cos(θ) sin(θ) -sin(θ) cos(θ)?? x y? A. SeghirCours d"élasticité, 4èmeAnnée et Master I - Génie Civil 4 soit : V ??=BAV

Le produit matricielle donne :

?x?? y =?cos(θ+φ) sin(θ+φ) -sin(θ+φ) cos(θ+φ)?? x y?

1.5 Inverse d"une rotation

Si le repère (X?Y?) subit une rotation d"angle-θ, on retrouve le repère initial (XY), d"où :

?x y? =?cos(-θ) sin(-θ) -sin(-θ) cos(-θ)?? x? y =?cos(θ)-sin(θ) sin(θ) cos(θ)?? x? y

V=CV?;C=AT

L"inverse d"une matrice de rotation est égale à sa transposée.

1.6 Rotation3D

La rotation 2D fait changer les coordonnéesxety, la coordonnéeszreste telle qu"elle (z?=z). On

dit que la rotation 2D se fait par rapport à l"axeZet on écrit le changement de coordonnées en

incluantzcomme suit :???x y z =??cos(θ) sin(θ) 0 -sin(θ) cos(θ) 0

0 0 1??

?x y z??? V ?=AzV De même on écrit les matrices de rotations d"anglesθxetθypar rapport aux axesXetYcomme suit : A x=??1 0 00 cos(θx) sin(θx)

0-sin(θx) cos(θx)??

A y=??cos(θy) 0 sin(θy) 0 1 0 -sin(θy) 0 cos(θy)??

Remarque

Une rotationAxpar rapport àXsuivie d"une rotationAypar rapport àYest différente de la rota- tion

Aysuivie de la rotationAx:

AyAx?=AxAy

A. SeghirCours d"élasticité, 4èmeAnnée et Master I - Génie Civil 5

2 Transformation linéaireUnetransformationlinéaireestunetransformationdanslaquelle chaquenouvellevariableestune

combinaison linéaire d"anciennes variable. En 2D : x ?=ax+by;y?=cx+dy aveca,b,cetdsont des constantes.

Du point de vue vectorielle :

?x? y =?a b c d?? x y? où V ?=MV

Mest la matrice de la transformation

Six?est perpendiculaire ày?etx?2+y?2=x2+y2alors la matriceMest une matrice orthogonale. La longueur d"un vecteur ne change pas avec la rotation d"axes et on dit que la rotation est une transformationorthogonale

Définition

Une transformation orthogonale est une transformation linéaire qui préserve les longueurs. La matriceMd"une transformation orthogonale est une matrice orthogonale et on a : M -1=MT

Lorsque les longueurs ne changent pas, on a :

x

2+y2=x?2+y?2

=(ax+by)2+(cx+dy)2 =(a2+c2)x2+(b2+d2)y2+2(ab+cd)xy d"où : a

2+c2=1

b

2+d2=1

ab+cd=0 ou bien, en utilisant la matrice de transformationM: ?a b c d?? a c b d? =?a2+c2ab+cd ab+cd b2+d2? =?1 00 1? soit : MM T=I ou M T=M-1 A. SeghirCours d"élasticité, 4èmeAnnée et Master I - Génie Civil 6

3 Valeurs et vecteurs propresDans une transformation linéaire, un vecteruVd"origine (0,0) et d"extrémité (x,y) se transforme

en vecteurV?d"origine (0,0) et d"extrémité(x?,y?), il subit alors unerotation et unallongement (ou

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