MESURES ET INCERTITUDES
limité on multiplie l'incertitude-type par un facteur k appelé facteur d'élargissement. On définit ainsi une incertitude élargie
Lévaluation de lincertitude de mesure et la méthode GUM
Facteur d'élargissement k en fonction d'un intervalle de confiance désiré. des facteurs d'élargissement supérieurs au précédents.
Estimer une incertitude
L'incertitude-type élargie est ?X et elle s'exprime sous la forme. ?X=k×s où k est le facteur d'élargissement. Il dépend du.
TRAITEMENT STATISTIQUE DES MESURES
Facteurs d'élargissement dans l'hypothèse d'une distribution suivant une loi normale : Niveau de confiance. Facteur d'élargissement.
Guide pour lestimation de lincertitude de mesure
Méthode permettant de calculer une incertitude élargie . Pour obtenir la valeur du facteur d'élargissement k qui donne un intervalle correspondant à un ...
Untitled
l'incertitude élargie. NOTE : Un facteur d'élargissement k
éduSCOL
A. Notion d'incertitude élargie. Détermination du facteur d'élargissement k . ... relatif de chacun des facteurs intervenant dans l'estimation de ...
De la conférence « Les incertitudes de mesures » à lutilisation des
L'incertitude élargie ou incertitude de la mesure noté U
Diapositive 1
phénomène et de l'acte de mesure (facteurs liés à l'opérateur aux instruments
VALIDATION DUNE MÉTHODE DANALYSE
Facteur d'élargissement k : facteur numérique utilisé comme multiplicateur de l'incertitude type composée pour obtenir l'incertitude élargie (k étant
[PDF] MESURES ET INCERTITUDES
Pour prendre en compte ce nombre limité on multiplie l'incertitude-type par un facteur k appelé facteur d'élargissement On définit ainsi une incertitude
[PDF] Lévaluation de lincertitude de mesure et la méthode GUM
L'application de la loi statistique de Student permet de calculer le facteur d'élargissement k en fonction à la fois de n et du niveau de confiance (1-a) Les
[PDF] Estimer une incertitude
Toutefois le nombre de mesures mises en œuvre étant généralement faible le facteur d'élargissement k est assimilable au coefficient de Student t disponible
[PDF] Evaluation des incertitudes de mesure - Optique pour lingénieur
U s'obtient en multipliant l'incertitude-type composée uc(y) par un facteur d'élargissement k tel que U=k uc y est appelé incertitude élargie 1 Choix d'
[PDF] Incertitudes - Sites ENSFEA
Facteur d'élargissement : facteur numérique utilisé comme multiplicateur de l'incertitude type composée pour obtenir l'incertitude élargie il est noté k
[PDF] Mesure et incertitudes - AC Nancy Metz
Déterminer le facteur d'élargissement (associé à la loi supposée représenter la répartition des valeurs prises par le mesurande) • Donner l'incertitude élargie
[PDF] Mesure et incertitudespdf - AC Nancy Metz
Comme le nombre de mesures est limité on introduit le facteur d'élargissement k (ou coefficient de Student t(n;x )) qui dépend du nombre de
[PDF] 1 Mesures et incertitudes
On utilise la relation U(x) = k × u(x) où k est appelé facteur d'élargissement dont la valeur dépend de la méthode de mesure Si aucune information n'est
[PDF] Mesures-et-incertitudespdf - CPGE Brizeux
avec k le facteur d'élargissement associé à un certain niveau de confiance P Pour un niveau de confiance de 95 k=2 On travaillera avec un niveau de
[PDF] Guide pour lestimation de lincertitude de mesure - Portail Qualité
Le facteur d'élargissement est un facteur numérique utilisé comme multiplicateur de l'incertitude type composée pour obtenir l'incertitude élargie ou globale
Comment trouver le facteur d'élargissement ?
Dans la pratique, on ne peut réaliser qu'un nombre limité de mesurages. Pour prendre en compte ce nombre limité, on multiplie l'incertitude-type par un facteur k appelé facteur d'élargissement. Pour un intervalle de confiance de 95%, k vaut environ 2 lorsque n est de l'ordre de 20.Comment calculer l'incertitude élargie ?
Incertitude élargie
Si rien n'est précisé, le résultat d'une mesure est a donner avec un niveau de confiance de 95%, ce qui correspond à un bon niveau de confiance. On définit aussi l'incertitude relative par ?xxexprimé en % ? x x exprimé en % Plus elle est petite, plus la mesure est précise.Comment évaluer l'incertitude ?
Pour calculer l'incertitude lors d'une multiplication ou d'une division, il faut diviser par deux la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale pouvant être obtenue par les incertitudes.- L'incertitude-type donne un regard critique sur une série de mesures. On définit avec elle des conventions d'écriture, elle permet d'établir un intervalle de confiance. L'écart relatif permet de comparer le résultat de la mesure obtenu à une valeur attendue.
Emmanuelle BOUDINET
Emmanuelle.boudinet@list.lu
LIST5, AVENUE DES Hauts-Fourneaux
L-4362 ESCH-SUR-ALZETTE
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Table des matières
1 INTRODUCTION. ....................................................................................................................................... 5
2 DÉFINITIONS ............................................................................................................................................. 5
2.1 MESURANDE ......................................................................................................................................... 5
2.2 MESURAGE ........................................................................................................................................... 5
2.3 JUSTESSE ............................................................................................................................................. 6
2.4 FIDÉLITÉ ............................................................................................................................................... 6
2.5 ERREUR ................................................................................................................................................ 6
3 CONCEPTS FONDAMENTAUX ................................................................................................................ 7
3.1 ESTIMATION DE LA VARIANCE 2 DE LERREUR ALEATOIRE ........................................................................ 7
3.1.1 ............................................................................. 7
3.1.2 Estimation de s par mesurage de plusieurs grandeurs ................................................................ 7
3.2 RECHERCHE ET CORRECTION DES ERREURS SYSTEMATIQUES .................................................................. 8
3.2.1 Comparaison des résultats à une valeur de référence ................................................................. 8
3.2.2 ............................................................................................ 12
3.3 INCERTITUDE-TYPE .............................................................................................................................. 13
3.4 RÉPÉTABILITÉ...................................................................................................................................... 13
3.5 REPRODUCTIBILITÉ .............................................................................................................................. 13
3.6 EVALUATION DE TYPE A ( DE LINCERTITUDE ) ....................................................................................... 14
3.6.1 Répétabilité et reproductibilité..................................................................................................... 14
3.6.2 ...................................................................................................... 14
3.7 EVALUATION DE TYPE B ( DE LINCERTITUDE ) ....................................................................................... 15
3.7.1 Caractéristiques .......................................................................................................................... 15
3.7.2 ........................................................ 15
3.7.2.1 ................................................................................................ 15
3.7.2.2 .................................................................................................. 16
3.7.2.3 ........................................................................................................................................... 16
3.7.2.4 Un appareil vérifié ................................................................................................................................. 16
3.7.2.5 Un appareil étalonné ............................................................................................................................. 16
3.7.2.6 ...................................................................................................................... 17
3.7.2.7 ................................................................................................ 17
3.7.2.8 ....................................................................................................................... 18
3.8 INCERTITUDE-TYPE COMPOSÉE............................................................................................................. 19
3.8.1 .............................................................................................................. 19
3.8.2 Incertitude élargie ....................................................................................................................... 20
3.8.3 Méthode permettant de calculer une incertitude élargie ............................................................. 21
3.8.4 ................................................................. 23
3.8.5 Valeurs aberrantes ...................................................................................................................... 23
3.8.5.1 Cas où la variance 2 est connue .......................................................................................................... 23
3.8.5.2 Cas où la variance 2 est inconnue : test de Dixon ............................................................................... 25
3.9 RAPPELS DE PROBABILITES ET DE STATISTIQUES ................................................................................... 27
3.9.1 Propriété 1................................................................................................................................... 27
3.9.2 Propriété 2................................................................................................................................... 28
3.9.3 Propriété 3................................................................................................................................... 29
3.9.4 Propriété 4................................................................................................................................... 29
3.10 EVALUATION DE LINCERTITUDE TYPE ................................................................................................ 31
3.11 DÉTERMINATION DE LINCERTITUDE TYPE COMPOSÉE ......................................................................... 32
3.12 CALCUL DES COVARIANCES .............................................................................................................. 34
3.13 DANS LE CAS DE FONCTIONS PLUS COMPLIQUEES .............................................................................. 35
3.13.1 Méthode 1 ................................................................................................................................... 35
3.13.2 Méthode 2 ................................................................................................................................... 38
3.13.3 Cas de fo ......................................................... 39
3.14 EVALUATION DES COMPOSANTES DE LINCERTITUDE .......................................................................... 39
3.15 MESURANDE DE PLUSIEURS COMPOSANTES ...................................................................................... 40
3.16 EXPRESSION DE LINCERTITUDE ........................................................................................................ 41
3.16.1 Conseils généraux ...................................................................................................................... 41
3.16.2 Conseils spécifiques ................................................................................................................... 41
4 RECAPITULATIF DE LA 43
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4.1 ETAPE 1 .............................................................................................................................................. 43
4.2 ETAPE 2 .............................................................................................................................................. 43
4.3 ETAPE 3 .............................................................................................................................................. 43
4.4 ETAPE 4 .............................................................................................................................................. 43
4.5 ETAPE 5 .............................................................................................................................................. 43
4.6 ETAPE 6 .............................................................................................................................................. 43
4.7 ETAPE 7 .............................................................................................................................................. 43
4.8 ETAPE 8 .............................................................................................................................................. 43
5 LOIS USUELLES POUR LITUDE ................................................................. 44
5.1 LOI RECTANGULAIRE OU UNIFORME ....................................................................................................... 44
5.2 LOI TRIANGULAIRE ............................................................................................................................... 46
5.3 LOI NORMALE N (, ) ......................................................................................................................... 49
5.4 LOI DE LRCSINUS .............................................................................................................................. 50
6 BIBLIOGRAPHIE ..................................................................................................................................... 53
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1 Lorsque le résultat est donné, il faut obligatoirement donner une indication quantitative sur la qualité du résultat pour que les fiabilité. par rapport à des valeurs de référence données dans une spécification ou une norme.La méttel
une fraction élevée de la distribution des valeurs qui peuvent raisonnablement être attribuées au mesurande.
En effet, lorsque la totalité des compo a été évaluée et que lesun doute sur la manière dont le résultat de mesure représente correctement la valeur de la grandeur mesurée.
qui caractérise la dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées au mesurande. Ce paramètre peut être par exemple un écart-type, ou un multiple de celui-ci, ou la demi- de niveau de confiance déterminé. Certaines peuvent être caractérisées par des écarts-types expérimentaux.Les autres composantes, qui peuvent être aussi caractérisées par des écarts-types, sont évaluées en
Ldes valeurs dans laquelle se situe la valeur
meilleure valeur, en accord avec les connaissances disponibles.du résultat, qui sont compatibles avec toutes les observations et les données, avec la connaissance du monde
physique et qui peuvent être attribuées au mesurande avec des degrés de crédibilité divers.
2 2.1 Le mesurande est une grandeur particulière soumise à un mesurage. o une valeur numérique o une incertitude o une unité. 2.2 y la grandeur particulière à mesurer.Par conséquent, un mesurage débute par une définition complète et appropriée du mesurande, de la méthode
complète de mesure et de la procédure de mesure. ion ou estimation de la valeur du de cette estimation.et son incertitude doivent être données sans oublier de préciser les unités utilisées.
qui peuvent affecter le résultat de mesure ne sont pas maintenues parfaitement constantes.Page 6 / 53
2.3 acceptée. 2.4 oisins les uns des autres, 2.5Un mesurage présente, en général, des imperfections qui occasionnent une erreur pour le résultat de mesure.
Traditionnellement une erreur possède deux composantes à savoir une composante aléatoire et une
composante systématique.éduite.
du mesurage ou un fUne supposition importante est
effet systématique, est nulle. r un effet systématique, elle peut être ignorée si saSi la valeur de la correction elle-
elle aussi, être ignorée.Page 7 / 53
3 3.1 2 3.1.1 La variance 2 s conditions bien définies, par exemple, des conditions de i dans ces conditions. Soient xi1, xi2, ..., xim les résultats obtenus.Soit xmoy leur moyenne arithmétique.
La variance 2 peut être estimée par la quantité : Équation 1 : estimation de la variance par une grandeur ı2 correspond à m 1 degrés de liberté.3.1.2 Estimation de s par mesurage de plusieurs grandeurs
Si plusieurs grandeurs sont mesurées dans les mêmes conditions, par exemple des conditions de répétabilité,
les écarts-types correspondants, et non leurs estimations, peuvent être supposés égaux.Les résultats obtenus sur les différentes grandeurs appartiennent à des populations de moyennes différentes
mais de variances s2 égales ; s2 est appelée variance intra classe.De façon générale, la variance intra classe correspond à la variance commune à plusieurs populations dont
les moyennes peuvent être différentes.Soit q le nombre de grandeurs mesurées.
A partir des mj résultats obtenus sur la jème grandeur, la moyenne xj,moy 2 js de la variance de cette population peuvent être calculées. 2 js sont attachés mj 1 degrés de liberté. Équation 2 : estimation de la variance de plusieurs grandeursLa variance intra classe est estimée par :
Équation 3 : variance intra classe
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Si M désigne le nombre total de résultats, alors qmmM 21 s2Équation 4 : variance intra classe
degrés de liberté est M q.Remarque :
Attention, cette estimation ne doit pas être mise en relation avec la remarque du paragraphe 3.6.2 concernant
iLa méthode de calcul est identique, mais les estimations portent sur des grandeurs différentes.
3.23.2.1 Comparaison des résultats à une valeur de référence
grandeur de référence dont la valeur vraie x0 est supposée connue. Sur la grandeur de référence, m mesurages sont effectués. Soient xi1, ..., xim les résultats obtenus et xi,moy leur moyenne arithmétique.En général, xi,moy est différent de x0
A cette fin, un test statistique appelé test de Student est employé.De façon générale, soit une population de moyenne inconnue estimée par la moyenne arithmétique xi,moy de
m observations. Cette moyenne doit être comparée à une valeur théorique x0. Les différentes étapes du test sont les suivantes : 0xP µ peut être inférieure ou supérieure à x0. Le test est dit bilatéral,il serait unilatéral si la seule possibilité était, par exemple, µ inférieure à x0.
0xP est- expérimentaux.Pour vérifier cette hypothèse, il faut choisir une fonction des résultats dont la valeur numérique dépend
s2 de la variance des erreurs aléatoires.Celle-ci peut être calculée à partir des m résultats dont xi,moy est la moyenne arithmétique.
Mais une estimation de variance intra classe peut être utilisée de façon à augmenter le nombre de
degré de liberté.La fonction discriminante est définie par :
Équation 5
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de la population, 0. La loi de distribution de t peut être calculée lorsque X est une variable de loi normale.0, la loi de distribution de t ne dépend que du
nombre de degrés de liberté correspondant à s.Le degré de liberté est :
= m-1 si s est calculée à partir des m résultats dont xi,moy est la moyenne. = N-q si s 3.1.2. loi de Student à degrés de liberté. Figure 1 : loi de Student à degrés de liberté -5-4-3-2-10123450 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 PP t f(t)Loi de Student à degrés de liberté
ttPt1-P0Page 10 / 53
Lorsque est grand, s tend vers et la variable de Student t tend vers la variable normale réduite
(Voir Figure 2).Figure 2 : loi normale / loi de Student
Une table de la loi de Student est donnée par la Table 2 .L | t | est supérieur à ce seuil.
Le risque de première espèce
Ce risque est cĮ à = 0.05 (5%) ou = 0.10 (10%). La valeur limite de | t | est égale à ݐଵିഀ మǡλቃ est le domaine de refus. Le test est significatif si la valeur de t est dans le domaine de refus. si t est supérieur à ݐଵିഀ మ, une erreur systématique positive existe et il y a un risque ఈ conclusion lorsque la méthode est juste. Si t est inférieur à െݐଵିഀ మ, une erreur systématique négative existe et le risque de faire cette conclusion lorsque la méthode est juste est encore égale à ఈ -5-4-3-2-10123450 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 loi Normale N(0, 1)loi de Student à =3 degrés de liberté tPage 11 / 53
valeurs de t t se déplace vers la droite en se déformant (Voir Figure 3). Si les deux courbes se coupent, comme le montre la Figure 3, il y a une probabilité pour que laêtre conclue.
est appelé risque de deuxième espèce ou risque de non-détection. risque diminue. -4 0 /2 /2 : risque de première espèce : risque de deuxième espèce = x 0 = x 0 t 1- /2 t /2Risques de première et deuxième espèces
pour une loi de Student t f(t) Figure 3 : risques de première et deuxième espèces Pour chaque valeur de quand le risque est fixé (VoirFigure 4).
Ces courbes peuvent être utilisées pour déterminer le nombre de mesures à faire sur la grandeur de
référence. correspondant à une erreur systématique particulière cste)*. Lsont utilisées et elles correspondent chacune à une valeur de fixée et donnent en fonction du rapport ߣPage 12 / 53
Pour déterminer le nombre de mesures, il faut donc reche et de choisies. Une fois le nombre de mesures m déterminé, ces m mesures sont effectuées. En utilisant la moyenne arithmétique ݔҧ des m mesures et -type s , la valeur tÉquation 5 est calculée.
00.250.50.7511.251.51.7522.252.50
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 -Courbes d'efficacité pour= 5% et = m - 1
= 1 = 2 = 3 = 4 = 6 = 9 14192939
4974
100
Figure 4
Remarque :
Si la loi de distriseuls les risques et
sont faiblement modifiés. 3.2.2Si le tes
݁ൌ ݔҧ െ ݔ où ݔҧ est la moyenne arithmétique et x0 la valeur dite vraie
et les résultats ultérieurs obtenus sur des grandeurs inconnues seront corrigés en soustrayant la valeur e du
résultat. Il demeure donc une erreur systématique résiduelle inconnue.Il est admis égale à
celle de ݔҧ ߪPage 13 / 53
3.3 -type. 3.4La répétabilit
mesurande, mesurages effectués dans la totalité des mêmes conditions de mesure. Ces conditions sont appelées conditions de répétabilité. Les conditions de répétabilité comprennent :Le même mode opératoire,
Le même observateur,
Le même instrument de mesure utilisé dans les mêmes conditions,Le même lieu,
La répétition durant une courte période de temps. caractéristiques de dispersion des résultats. 3.5 mesurande, mesurages effectués en faisant varier les conditions de mesure. Ces conditions sont appelées conditions de reproductibilité.Le principe de mesure,
La méthode de mesure,
observateur, instrument de mesure,Le lieu,
LaLe temps.
La reproductibili
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3.6La méthode de Type A est utilisée pour :
quantifier les incertitudes de répétabilité des résultats des mesurages. quantifier les incertitudes de reproductibilité des résultats des mesurages. mesurages.3.6.1 Répétabilité et reproductibilité
xi se -type expérimental noté s(xi) est défini par : ݊െͳ avec ݔൌ σ௫ೖೖసభ où xik correspondent aux n résultats des mesurages du même mesurande xi. ik autour de leur moyenne.Le nombre de degrés de liberté est = n-1.
3.6.2 i consiste à réaliser une série de n mesurages xi1, in de la grandeur Xi.La moyenne arithmétique obtenue par ݔൌ σ௫ೖೖసభ
est utilisée comme estimation xi de la grandeur Xi. -type u(xi) de son estimation est définie par : Le nombre de degrés de liberté de u2(xi) est = n-1.Remarques :
Une estimation de la variance s2(xi
indépendantes de la même grandeur xi est obtenue à partir de : où si2(xi) est la variance expérimentale de la ième série de ni observations répétées indépendantes avec un nombre de degrés de liberté i = ni 1. Le nombre de degrés de liberté de s2(xi) est ߥൌ σߥ݅ܭ Posons ݉ൌ σ݊ୀଵ de la moyenne arithmétique de m observations s2 données a aussi degrés de liberté.Le nombre de degrés de liberté doit toujours être donné lorsque les évaluations de Type A des
-type composée sont fournies.Par commodité, u2(xi) et u(xi) évaluées de cette façon sont appelées variance de Type A et incertitude-
type de Type A.Page 15 / 53
3.73.7.1 Caractéristiques
nt caractérisées par des termes ui2 qui peuvent être considérés comme des approximations des variances correspondantes dont est admise.Pour une estimation xi i
répétées, la variance estimée associée u2(xii) est évaluée par un jugementscientifique fondé sur toutes les informations disponibles au sujet de la variabilité possible de Xi.
sont parfois difficiles à quantifier. Ces incertitudes peuvent notamment être déterminées à partir : o des documentations constructeur, o des résultats de mesures antérieurs, o et instruments utilisés, o o , oévaluation de Type A; notamment dans une situation de mesure où une évaluation de Type A est
Par commodité, u2(xi) et u(xi) évaluées de cette façon sont appelées variance de Type B et incertitude-
type de Type B.3.7.2 associées à des lois de probabilité
3.7.2.1
Si la résolution du dispositif indicateur est
- x/2 à X + x/2. x et de 5.1.Page 16 / 53
3.7.2.2
En ce qui concerne un indicateur numérique à aiguille, il est possible de lire entre deux graduations qui
délimitent un échelon.Raisonnablement, il faut se limiter -graduation.
En considérant que a représente la demi-
(X a) à (X + a). Une loi de probabilité rectangulaire ou uniforme de largeur 2a et de variance est associé : ସ଼ entraînant de ce fait une incertitude-type de ݑ ൌ ܽ 5.1.3.7.2.3
font par valeurs croissantes ou décroissantes.Il faut alors être prudent et prendre note du sens des lectures successives et faire les corrections appropriées.
Ainsi, si la différence maximale entre les valeurs croissantes et décroissantes est x alors, la loi de probabilité
x et de variance 5.1.3.7.2.4 Un appareil vérifié
Si un appareil a été vérifié et est conforme à une classe, cette classe est définie par une limite +/- a et est
ଷ entraînant une incertitude-type de ൌ ୟ 5.1.3.7.2.5 Un appareil étalonné
Cette incertitude est une incertitude éla
Page 17 / 53
3.7.2.6
Parfois la seule information à disposition est
Cette étendue est limitée par une valeur minimale x- et une valeur maximale x+ Une correction dont la valeur est estimée par : Si la loi de probabilité estimée sera définie par : 5.3. Si la loi de probabilité estimée est une loi 5.1.3.7.2.7
évaluation indépendante.
Celle---type, par la demi-
n niveau de confiance donné, ou par des limites maximales, ou des limites supérieure et
inférieure.Cas particuliers :
de limites supérieure et inférieure qui définissent un intervalle ayant un niveau de confiance minimal.
Ceci est associé e a été élargie
pour des raisons de sécurité.Par conséquent, si la méthode de détermination de cette incertitude est inconnue, celle-ci ne peut être
transformée en incertitude-type; il faut utiliser une évaluation indépendante pour parvenir à la
déterminer.Certaines incertitudes sont simplement données comme des limites extrêmes entre lesquelles toutes
les valeurs de la grandeur sont soi-disant situées.La pratique courante est de supposer que toutes les valeurs entre ces limites sont également
ଷ entraînant une incertitude-type de ݑ ൌ 5.1. limites, une loi normale est alors associée. Une loi normale pour laquelle a est la demi-tervalle ayant un niveau de confiance de ଽ entraînant une incertitude-type de ݑൌ 5.3.Page 18 / 53
dans le cas où des limites extrêmes sont à disposition, une loi entraînant une incertitude-type de ݑൌ Le 5.2.
3.7.2.8
est principalement une incertitude de répétabilité. La variance de mesurages répétés avec le même instrumoccasion antérieure, non nécessairement à la même valeur précise de lecture mais à une valeur
uestion.Si une telle information est indisponible, une estimation doit être faite, en prenant pour base la nature
analogue,..Tous les instruments de me
conformité à cette norme.La norme contient les exigences
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