[PDF] Antilles Guyane 2011. Enseignement spécifique

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AntillesGuyane2011.Ense ignementspécifique

EXERCICE2(6points)(c ommu nàtousl escandidats)

1)Soitflafo nctiondéfiniesur[0;+∞[par

f(x)=xe x -1. a)Déterminerlalimitedelafonct ionfen+∞etét udierlesensdevari ationd ef. b)Démontrerquel'équationf(x)=0admetuneuniqu esolutionαsurl'in tervalle[0,+∞[.

Déterminerunevaleurapproché edeαà10

-2 près. c)Déterminerlesignedef(x)suivantlesvaleursde x.

2)Onno teClaco urbereprésentatived elafonctionexponentielleetΓcelledelafo nction

logarithmenépériendansleplanm unid'unrepèreorthonor mé O, i, j

Lescou rbesCetΓsontdonnée senannexe.

Soitxunnom breréelstrict ementpositi f.OnnoteMlepo intdeCd'abscissexetNlepo int deΓd'abscissex. Onra ppellequepourtoutréelxstrictementpositif,e x >ln(x). a)MontrerquelalongueurMNestmini malelorsquex=α.Donnerunevaleurapprochée dece ttelongueurminimale à10 -2 près. b)Enut ilisantlaquestion1,montrer quee 1 .EndéduirequelatangenteàCaup oint d'abscisseαetla tangen teàΓaupoi ntd'abscisse αsontparal lèles.

3)a )Soithlafo nctiondéfiniesur]0,+∞[parh(x)=xln(x)-x.Montrerquelafonctionh

estune primitive delafonctionlogarithmenépérien sur]0,+∞[. b)Calculerlavaleurexact e,puis unevaleurapproché eà10 -2 près,del'aire (ex priméeenunités d'aire)delasurfacehach urée surlafig urejointeenannexe1. http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

FEUILLEANNEXE

Annexe1,exercice 2

N M C -1123456 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 http://www .maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

AntillesGuyane2011.Ense ignementspécifique

EXERCICE2:corrigé

1)a) lim

x→+∞ x=+∞etli m x→+∞ e x =+∞.Enmultipliant,onobtientlim x→+∞ xe x =+∞puis lim x→+∞ f(x)=lim x→+∞ (xe x -1)=+∞. lim x→+∞ f(x)=+∞. Lafo nctionfestdériv ablesur[0,+∞[etpo urtoutréelx!0, f (x)=1×e x +x×e x =(x+1)e x

Pourtoutr éelx!0,onae

x >0etx+1>0.Donc,pourtoutréelx!0,onaf (x)>0.

One ndédui tletableaudevariat ionsde f:

x0+∞ f (x)+ f -1 b)Lafo nctionfestcont inueetstrictementcroissant esu r[0,+∞[.

Doncpourto utréelkde

f(0),lim x→+∞ f(x) -1,+∞[,l'équationf(x)=kadmetunesolut ionetunese uledans

[0,+∞[.Enparticulier,puisque0appartientà[-1,+∞[,l'équationf(x)=0admetunesoluti onetuneseu ledans

[0,+∞[.Onnoteαcettesoluti on. Lacal culatricefournitf(0,56)=-0,01...<0etf(0,57)=0,007...>0.Doncf(0,56)α=0,56à10 -2 prèspardéfa ut.

c)Soitx!0.Puisquelafonctionfeststri ctementcroissantesur[0,+∞[,si0"x<α,alorsf(x)

f(x)<0ets ix>α,alorsf(x)>f(α)ouen coref(x)>0.Ainsi,lafonctionfeststri ctementnégativesur[0,α[,

strictementpositivesur]α,+∞[eten fin,lafonction fs'annuleenα. 2) N M C -1123456 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 a)Pourx>0,posonsg(x)=MN=e x -lnx.Lafonctiongestdériv ablesur]0,+∞[etpo urtoutréelx>0, http://ww w.maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés. g (x)=e x 1 x xe x -1 x f(x) x

Sur]0,+∞[,g

(x)estdusi gnedef(x).D'aprèslaquestion1)c),lafonctiong eststri ctementnégativesur[0,α[puis

strictementpositivesur]α,+∞[.Onendéduitquelafonctiongeststri ctementdécroissantesur[0,α]etst rictement

croissantesur[α,+∞[puisquela foncti ongadmetunminim umenα.OnamontréqueladistanceMNestmini male

lorsquex=α. Lacal culatricefournitencoref(0,567)<0etf(0,568)>0.Donc,0,567<α<0,568 puis e 0,567 -ln(0,568)Ladér ivéedelafonctionx"→e x estlafo nction x"→e x .Donc,lecoe ffi cientdirecteurdelatangenteàCaupoi nt d'abscisseαeste Ladér ivéedelafonctionx"→lnxestlaf onction x"→ 1 x .Donc,lecoe ffi cientdirecteurdelatangenteàΓaupoi nt d'abscisseαest 1

Puisquee

1 ,cescoe ffi cientsdirecteurssontégauxouencore lestang entesàCetΓenleu rpointd'a bscisseαsontparall èles.

3)a) Laf onctionhestdériv ablesur]0,+∞[etpo urtoutréelx>0,h

(x)=1×lnx+x× 1 x -1=lnx+1-1=lnx. Donc, lafo nctionhestune primitive delafonctionlnsur]0,+∞[. b)Onno teAl'aireàcalcu ler. Surlesegment[1,2],lesfonctionsx"→e x etx"→lnxsontcontin uesetdeplus,pour xréelde[1,2],onae x >lnx.Donc A= 2 1 (e x -lnx)dx=[e x (xlnx-x)] 2 1 =[e x -xlnx+x] 2 1 e 2 -2ln2+2 e 1 -ln1+1 =e 2 -e+1-2ln2. A=e 2 -e+1-2ln2=4,28unitésd'aireà10 -2 près. N M C -1123456 1 2 3 4 5 6 7 8 -1 http://ww w.maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés.quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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