[PDF] Antilles Guyane 2013. Enseignement spécifique

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AntillesGuyane2013.Ense ignementspécifique

EXERCICE4(5points)(c and idatsa yantsuivil'enseign ementdespécialité)

Ondé finitlessuite(u

n )et(v n )surl'en sembleNdesent iersnaturelspar: u 0 =0,v 0 =1et u n+1 u n +v n 2 v n+1 u n +2v n 3 Lebu tdecetexercicees td'étud ierl aconvergencedess uites(u n )et(v n

1)Calculeru

1 etv 1

2)Onco nsidèrel'algorithmesuivant :

Variables:u,vetwdesnombr esréels

Netkdesnombr esentiers

Initialisation:uprendlavale ur0

vprendlaval eur1

Débutdel'alg orithm e:Entrerlavaleurde N

Pourkvariantde1àN

wprendlavale uru uprendlaval eur w+v 2 vprendlavale ur w+2v 3

FinduP our

A ffi cheru A ffi cherv

Findel'a lg orithme

a)Onex écutecetalgorithmeens aisissan tN=2.Recopieretcompléterletableauci-dessouscontenantl'état

desvari ablesaucoursdel'exécutiondel 'algor ithme. kwuv 1 2

b)Pourunnomb reNdonné,àquoico rre spondentles valeursaffichéesparl'algo rithmeparrapp ortàla

situationétudiéedanscetex ercice?

3)Pourtoute ntiernaturel n,ondéfinitlevecteurcolonneX

n parX n u n v n etla matrice A parA= 1 2 1 2 1 3 2 3 a)Vérifierque,pourtoute ntiernatureln,X n+1 =AX n b)Démontrerparrécurrenceque X n =A n X 0 pourtoute ntiernaturel n.

4)Ondé finitlesmatricesP,P

etBparP= 4 5 6 5 6 5 6 5 ⎠,P 1 2 1 2 1 2 1 3 ⎠etB= 10 0 1 6 a)CalculerleproduitPP

Ona dmetqueP

BP=A. Démontrerparrécurrenceque pourtout entiernatureln,A n =P B n P. b)Onad metquepourtoute ntiernatu reln,B n 10 0 1 6 n http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

Endé duirel'expressiondela matriceA

n enfo nctionden.

5)a) MontrerqueX

n 3 5 3 5 1 6 n 3 5 2 5 1 6 n b)Détermineralorsleslimitesde ssuites(u n )et(v n http://ww w.maths-france.fr2c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousdr oitsréservés.

AntillesGuyane2013.Ense ignementspécifique

EXERCICE4

1)u 1 u 0 +v 0 2 1 2 etv 1 u 0 +2v 0 3 2 3

2)a) Exécutiondel'algorithmequ andN=2.

kwuv 10 1 2 2 3 2 1 2 7 12 11 18 b)Pourunenti ernatu relnonnulNdonné,l'algo rithmeaffichelesv aleursdeu 1 ,...,u N etv 1 ,...,v N

3)a) Soitnunen tiernaturel.

X n+1 u n+1 v n+1 u n +v n 2 u n +2v n 3 1 2 1 2 1 3 2 3 u n v n =AX n

Donc,pourtout entiernatur eln,X

n+1 =AX n b)Montronsparrécurrenceque pourtout entiernatureln,X n =A n X 0 •A 0 X 0 =IX 0 =X 0 etdo ncl'égalitéàd émontrerestvraiequandn=0. •Soitn!0.SupposonsqueX n =A n X 0 etm ontronsqueX n+1 =A n+1 X 0 X n+1 =AX n (d'aprèslaquestion3 )a)) =A×A n X 0 (parhypo thèsederécurrence) =A n+1 X 0 Onam ont réparrécurrencequ epourtout entiernatureln,X n =A n X 0 4)a) PP 4 5quotesdbs_dbs23.pdfusesText_29

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