18 Le théorème des accroissements ?nis

1.8 Le théorème des accroissements finis

On en déduit une première extension du théorème des accroissements finis pour les fonctions définies sur un ouvert d'un espace vectoriel normé E à valeurs dans

Fonctions de classe C - Inégalité des accroissements finis.

On a vu que le théorème de. Rolle et donc le théorème des accroissements finis ne sont plus valables pour une fonction de plusieurs variables. L'inégalité des

Chapitre9 : Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien

finie en a. FONCTIONS VECTORIELLES À VALEURS DANS UN ESPACE EUCLIDIEN ... Inégalité des accroissements finis Si F est continue sur [a b]

Espaces vectoriels normés et calcul différentiel Partie 1 (septembre

16 mar 2020 3.3 Fonctions à valeurs vectorielles : IAF Taylor Young et reste intégral . ... 4.1.6 Inégalité des accroissements finis et conséquences .

COURS DE L3 : CALCUL DIFFÉRENTIEL

Dans tout ce cours les espaces vectoriels considérés seront des R-espaces On rappelle le Théorème des accroissements finis pour les fonctions de R dans ...

Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors pro- 4 Théorème des accroissements finis. 55. 4.1 Fonction ...

L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

g (t) ? M b ? a ?t ? ]0

Fonctions vectorielles arcs paramétrés

Inégalité des accroissements finis . PROPOSITION 11.13 Dérivée du produit d'une fonction vectorielle par une fonction scalaire formule de Leibniz.

Cours de mathématiques P.S.I.*

4 mar 2011 Fonctions vectorielles - Accroissements finis et formules de Taylor ... Théorème : Inégalité des accroissements finis : Soit f ?C1 (IE).

6.3 Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Souvent pour étudier des fonctions et calculer des limites

18 Le théorème des accroissements ?nis - univ-rennes1fr

1 Applications différentiables: Le théorème des accroissements ?nis 35 Démonstration: On applique 1 8 4 à chaque composante f j de Une autre variante du théorème des accroissement ?nis où l’égalité est rempla-cée par une inégalité sur les normes 1 8 10 THÉORÈME(L’INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS) Soit f : U !

L`inégalité des accroissements finis Applications

2) Si les fonctions f n2C1() alors f2C1() Dans le cas sp ecial des fonctions de R dans R (ou C) on a l’ enonc e analogue mais ou l’on peut simplement utiliser les d eriv ees au lieu des di erentielles: Th eor eme 2 2 -bis Soit un ouvert de R et f n: !R (ou C) n2N une suite d’application d erivables sur On suppose que la suite f

leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit cpgedupuydelomefrFonctions à valeurs vectorielles - cpgedupuydelomefr

8 Formule des accroissements finis formule de Taylor développements limités Théorème 8 1 : inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C 1 à valeurs vectorielles Théorème 8 2 : dérivabilité obtenue par limite Théorème 8 3 : généralisation du théorème 8 2

Chapitre9 : Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace

CHAPITRE 9 FONCTIONS VECTORIELLES À VALEURS DANS UN ESPACE EUCLIDIENV DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS L’égalité des accroissements finis est fausse (voir encore avecE = C) Inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre n ´ 1 Si F est de classe Cn (n ? 1) sur [ab] et si Mn = suptP[ab]}F (n)(t)}(qui existe d’après le I) alors › ›

INEGALITES DES ACCROISSEMENT FINIS - APPLICATIONS - ACCESMAD

INEGALITES DES ACCROISSEMENT FINIS - APPLICATIONS Exercice 1 1: On considère la fonction f définie par f(x)= e2x 1- Etudier les variations de f et tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère (O;ij G G) Unité 2 cm 2- a) Etudier le sens de variation de g : x 6 g(x)= f(x)-x

Quelle est la conséquence de l’inégalité des accroissements finis en classe de première ?

Dans l’enseignement secondaire, on admet en classe de premie?re que toute fonction ayant une de?rive?e positive sur un intervalle est croissante sur cet intervalle et l’ine?galite? des accroissements finis est une conse?quence presque imme?diate de ce re?sultat.

Quel est l'analogue du théorème des accroissements finis ?

Pour une telle fonction, il n'existe pas d'analogue du théorème (avec égalité) des accroissements finis, ni même de son cas particulier qu'est le théorème de Rolle (cf. § Remarques de l'article sur ce théorème).

Quels sont les conséquences directes du théorème des accroissements finis ?

Deux conséquences directes du théorème des accroissements finis sont : le théorème « limite de la dérivée » (si une fonction f, continue en a, est dérivable sauf peut-être en a, mais si sa dérivée a une limite finie au point a, alors f est en fait de classe C 1 en a ).

Quels sont les responsables de l’accroissement des inégalités ?

Cette étude montre que, contrairement aux idées reçues, les PDG et des superstars du sport ou du divertissement ne sont pas les premiers responsables de l’accroissement des inégalités. C’est l’évolution des rémunérations des cadres de la finance qui a en fait le plus contribué à ce phénomène.

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis33

1.8Lethéorème desaccroissementsfinis

Rappelonslerésultat classiquepourles fonctionsd'unevariable réelleàvaleurs dansR.

1.8.1THÉORÈME(THÉORÈMEDESACCROISSEME NTSFINISS URR)

Soitfunefonction continuesurunintervalle[a,b],àvaleurs dansR,dérivable sur ]a,b[.

Alors,ilexiste c2]a,b[telque

f(b)f(a)=f 0 (c)(ba). (oùilexiste q2]0,1[telque f(b)f(a)=f 0 (a+q(ba))(ba). Uneautre version(plusfaible)dece résultatestl'i négalitédesaccr oissementsfinis:

1.8.2THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS)

Soitfunefonction continuesurunintervalle[a,b],àvaleurs dansR,dérivable sur ]a,b[.SoitM0telleque |f 0 (x)|M,pourtout x2[a,b],alors|f(y)f(x)|

M|yx|pourtoutx,y2[a,b].

Onendéduit unepremièr eextensiondu théorèmedesaccr oissementsfinispour lesfonctionsdéfinies surunouvert d'unespacevectoriel norméEàvaleurs dansR.

1.8.3DÉFINITION

1)SoitEunespace vectoriel,a,b2E.Lesegment [a,b]estlesous-ensemble deE

définipar [a,b]={x2E;ilexiste t2[0,1]telquex=a+t(ba)}

2)Unsous-ensemble U⇢Eestditconvexesipourtout a,b2Ulesegment

[a,b]⇢U.

1.8.4THÉORÈME(THÉORÈMEDESACCROISSEME NTSFINISÀ VALEURSDANSR)

Soitf:U!Runefonctiondif férentiabledans l'ouvertU⇢E.Soita,b2U,sile segment[a,b]estcontenudans U,ilexiste q2]0,1[telleque f(b)f(a)=Df(a+q(ba)).(ba) cequiest équivalentàdir equ'il existec2]a,b[telquef(b)f(a)=Df(c).(ba).

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis34

FIGURE1.1-convexe

FIGURE1.2-non convexe

Démonstration:Onappliquele théorèmedesaccr oissementsfinisà lafonctiong: n est l'applicationdéfiniepar A(t)=a+t(ba). gestdiffér entiablesur[0,1],commecomposée defonctionsdif férentiableset g 0 (t)=Df(A(t))(DA(t))=Df(a+t(ba)).(ba)

Ilexistedonc q2]0,1[telqueg(1)g(0)=g

0 (q), quisetraduit par:il existeq2]0,1[telque f(b)f(a)=Df(a+q(ba)).(ba).

1.8.6REMARQUE.L'exemplesuivantmontreque cerésultatest fauxsifestàvaleurs

dansunespace vectorieldedimension 2.

1.8.7EXEMPLE.Soitf:R!R

2 ,x7!f(x)=(x 2 ,x 3 ).Sadif férentielleau pointxest

Df(x)=(2x,3x

2 ).D'autre part,f(1)f(0)=(1,1)etpourtout c2R,Df(c)= (2c,3c 2 )6=(1,1)onmontre ainsi,lethéorèmeprécédentnes'applique pasàf. Onanéanmoins, lecorollair esuivant: sionn'impose pasauxdifférentiellesdes composantesde fsoientévaluéesen unmêmepoint c:

1.8.8COROLLAIRE

Soitf:U!R

m ,x7!(f 1 (x),...,f m (x))unefonctiondif férentiable.Soit a,b2U, silesegment [a,b]estcontenudans U,ilexiste mpointsc 1 ,...,c m

2]a,b[telleque

pourtoutj2{1,...,m}ona f j (b)f j (a)=Df(c j ).(ba)

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis35

Démonstration:Onapplique 1.8.4àchaquecomposante f j def. Uneautre varianteduthéorèmedesaccr oissementfinisoù l'égalitéestr empla- céeparune inégalitésurles normes.

1.8.10THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS)

Soitf:U!R

m uneapplicationdif férentiable.UouvertdeR n

Pourtouta,b2R

n telsquele segment[a,b]⇢U,ona : kf(b)f(a)k sup x2]a,b[ kDf(x)k .kbak Démonstration:Onsupposef(b)f(a)6=0,sinonl'inégalité estévidente.On pose v= f(b)f(a) kf(b)f(a)k .Onconsidér elaforme linéairecontinuey,définiepar :pourtout y2F,y(y)=où<.,.>estlepr oduitscalaire standardsurR m D'après1.8.4,ilexiste q2]0,1[tellequey(f(b)f(a))=y(f(b))y(f(a))=

Dyf(a+q(ba)).(ba)=y

Df(a+q

y (ba))(ba) s'écritaussi =ouencore kf(b)f(a)k= etuneapplication del'inégalitéde Cauchy-Schwarznousdonne : |1.8.12LEMME Soitg:[0,1]!Funeapplicationdif férentiabletelle queilexisteM0telque,

Démonstration:Soite>0fixé.

onposeS e e est unepartien onvideet bornéedeR,elleadmet unebornesupérieur e,qu'onnotera t 0

Onveutmontr erque t

0 =1. Sit 0 <1,alorspar définitiondela bornesupérieure, ilexiste unesuiteh n >0 tellequelim n!+• h n =0etkg(t 0 +h n )g(0)k>(M+e).(t 0 +h n ).D'oùpar conti- nuitédegetpassageà lalimite,on aurakg(t 0 )g(0)k(M+e).t 0 .Alors kg(t 0 +h n )g(t 0 )kkg(t 0 +h n )g(0)kkg(t 0 )g(0)k>(M+e).(t 0 +h n )(M+e).t 0 (M+e).h n ainsik g(t 0 +h n )g(t 0 h n k>M+eetparpassage àlalimite onobtient kDg(t 0 )kM+e>M,cecicontr editl'hypothèsekDg(t)kMpourtoutt2 [0,1].Donct 0 =1.Par suite,pourtoute>0,kg(1)g(0)k(M+e)cequi signifiekg(1)g(0)kM.

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis36

1.8.14THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS(CASGÉNÉRAL ))

SoientEetFdeuxevnet f:U!Funeapplicationdif férentiable. UouvertdeE. Soientx,y2Utelsquele segment[x,y]⇢U.Onsuppose qu'ilexisteM0 kf(y)f(x)kMkxyk(1.3) etparsuite kDg(t)kkDf(x+t(yx))k.kyxkM.kyxk. Onappliquele lemmeprécédentà gpourobtenirle résultat kf(y)f(x)k=kg(1)g(0)kMkyxk

1.8.1Quelquesapplications duthéorèmedes accroissementsfinis

1.8.16COROLLAIRE

SoientEetFdeuxevn.f:U!Funeapplicationdif férentiable.UouvertdeE. SoitT2L(E,F).Pourtout a,b2Etelsquele segment[a,b]⇢U,ona : kf(b)f(a)T(ba)kkbak sup x2]a,b[ kDf(x)Tk .(1.4)

Enparticulier, siT=Df(a)onaura

kf(b)f(a)Df(a)(ba)kkbak sup x2]a,b[ kDf(x)Df(a)k .(1.5) Démonstration:Résultedel'inégalité desaccroissement finisappliquéeà fTetde lalinéaritéde TquientraîneDT(x)=T.

SoientE=E

1 ⇥...⇥E n etFdesespacesvectoriels normés,U⇢Eunouvertet f:U!Funeapplication. Onavu précédemmentquesi festdiffér entiableentoutpointa2U,alors

Df(a)=(D

1 f(a),...,D n f(a))etchaquecomposante D i f(a)2L(E,F),maisque la réciproqueestengénérale fausse. Lerésultatsuivant donnele lienentre continuitédesdérivées partiellesetconti- nuitédela différentielle.

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis37

1.8.18THÉORÈME

SoientE=E

1 ⇥...⇥E n etFdesespacesvectoriels normés,U⇢Eunouvertet f:U!Funeapplication.

Alorsfestdeclasse C

1 sietseulement sipourtout j2{1,...,n},D j fexisteet estcontinue. Démonstration:"=)"SiDfestcontinueil enestde mêmedeses composantesD i f, donclesdérivées partiellessont continues. "(="Supposonsque pourtoutj2{1,...,n},D j fexisteetest continue. Pourallégerles notatiosnonpr endran=2,lamême techniquemar chepour n3.

Soita=(a

1 ,a 2 )2Uet(h 1 ,h 2 )2E=E 1 ⇥E 2 ,onécrit f(a+h)f(a)=f(a 1 +h 1 ,a 2 +h 2 )f(a 1 ,a 2 =f(a 1 +h 1 ,a 2 +h 2 )f(a 1 +h 1 ,a 2 )+f(a 1 +h 1 ,a 2 )f(a 1 ,a 2

Soit#>0.Parhypothèse, ilexisted>0telque pourkh

1 kD'aprèslecor ollaire1.8.16,ona kf(a 1 +h 1 ,a 2 +h 2 )f(a 1 +h 1 ,a 2 )D 2 f(a 1 ,a 2 )h 2 k kh 2 ksup s2]a 2 ,a 2 +h 2 kD 2 f(a 1 +h 1 ,s)D 2 f(a 1 ,a 2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] 18 Le théorème des accroissements ?nis - univ-rennes1fr

Quelle est la conséquence de l’inégalité des accroissements finis en classe de première ?

Quel est l'analogue du théorème des accroissements finis ?

Quels sont les conséquences directes du théorème des accroissements finis ?

Quels sont les responsables de l’accroissement des inégalités ?

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis33

1.8Lethéorème desaccroissementsfinis

1.8.1THÉORÈME(THÉORÈMEDESACCROISSEME NTSFINISS URR)

Alors,ilexiste c2]a,b[telque

1.8.2THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS)

M|yx|pourtoutx,y2[a,b].

1.8.3DÉFINITION

1)SoitEunespace vectoriel,a,b2E.Lesegment [a,b]estlesous-ensemble deE

2)Unsous-ensemble U⇢Eestditconvexesipourtout a,b2Ulesegment

1.8.4THÉORÈME(THÉORÈMEDESACCROISSEME NTSFINISÀ VALEURSDANSR)

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis34

FIGURE1.1-convexe

FIGURE1.2-non convexe

Ilexistedonc q2]0,1[telqueg(1)g(0)=g

1.8.6REMARQUE.L'exemplesuivantmontreque cerésultatest fauxsifestàvaleurs

1.8.7EXEMPLE.Soitf:R!R

Df(x)=(2x,3x

1.8.8COROLLAIRE

Soitf:U!R

2]a,b[telleque

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis35

1.8.10THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS)

Soitf:U!R

Pourtouta,b2R

Dyf(a+q(ba)).(ba)=y

Df(a+q

Démonstration:Soite>0fixé.

Onveutmontr erque t

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis36

1.8.14THÉORÈME(L'INÉGALITÉDESACCROISSEMENTS FINIS(CASGÉNÉRAL ))

1.8.1Quelquesapplications duthéorèmedes accroissementsfinis

1.8.16COROLLAIRE

Enparticulier, siT=Df(a)onaura

SoientE=E

Df(a)=(D

1.Applicationsdif férentiables:Le théorèmedesaccroissementsfinis37

1.8.18THÉORÈME

SoientE=E

Alorsfestdeclasse C

Soita=(a

Soit#>0.Parhypothèse, ilexisted>0telque pourkh