[PDF] L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

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L3 { COURS DE CALCUL DIFF

ERENTIEL

Universite de Bourgogne - Annee 2017{2018

Table des matieres

I Espaces vectoriels normes de dimension nie

2

1 Normes et distances3

1.1 Normes et exemples de normes

3

1.2 Distance associee a une norme et notions de topologie

3

2 Applications continues5

2.1 Denitions et premieres proprietes

5

2.2 Applications continues et topologie

5

3 Normes d'applications lineaires

6

3.1 Normes subordonnees et normes matricielles

6

3.2 Exemples de normes matricielles

7

II Applications dierentiables

8

4 Denitions et exemples8

4.1 Applications dierentiables, notion de dierentielle d'une application

8

4.2 Derivees directionnelles et derivees partielles

10

4.3 Exemples

11

5 Premieres proprietes des applications dierentiables

12

5.1 Proprietes algebriques et composition

12

5.2 Caracterisation des applications de classeC1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

III Les quatre grands theoremes

14

6 Le Theoreme du Point Fixe14

6.1 Denitions et resultats preliminaires

14

6.2 Le Theoreme du point xe

16

6.3 Le Theoreme de point xe a parametres.

16

7 L'inegalite des accroissements nis

17

7.1 Le theoreme des accroissements nis : fonction a valeurs dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

7.2 Fonction vectorielle denie sur un segment deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

7.3 Le cas general : fonction deRndansRm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

8 Theoreme d'inversion locale18

8.1 Dieomorphismes, et dieomorphismes locaux

18

8.2 De l'inversion locale aux dieomorphismes

20 1

9 Le Theoreme des fonctions implicites20

9.1 La resolution d'un systeme d'equations

20

9.2 De l'inversion locale aux fonctions implicites

21

IV Sous-varietes deRn23

10 Deux types d'exemples23

10.1 Le cas lineaire

23

10.2 La courbe de Viviani

23

11 Sous-varietes denies par des equations

24

11.1 Sous-varietes, coordonnees rectiantes et parametrages

24

11.2 Espace tangent a une sous-variete

26

V Dierentielles d'ordre superieur

26

12 Dierentielles et derivees d'ordre superieur - Formules de Taylor

27

12.1 Dierentielles d'ordre superieur

27

12.2 Derivees d'ordre superieur et fonctions de classeCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

13 Formule de Taylor-Young29

13.1 Notations prealables

29

13.2 Developpements de Taylor

30

14 Points critiques d'une fonction

31

14.1 Denitions et premieres proprietes

31

14.2 Classication des points critiques d'une fonction

31

15 Extrema lies33

15.1 Probleme et exemples

33

15.2 Methode de Lagrange

34

15.3 Exercice

34

Le propos principal du cours de Calcul Dierentiel de L3 est l'etude des deux notions fondamentales suivantes :

1.

Celle d' application dierentiable. Cette notion, qui precise celle d'application continue, est cruciale en analyse

comme en geometrie. Il s'agit d'etendre en dimension quelconque la notion defonction derivable, etudiee en L1.

Elle est d'ailleurs deja introduite et brievement etudiee en L2, dans le cours deFonctions de Plusieurs Variables.

Elle est etudiee de facon beaucoup plus systematique en L3. 2.

Celle de sous-variete dierentiable. C'est l'objet geometrique naturellement associe aux applications dierentiables.

Alors que lessous-espaces anessont des ensembles \rectilignes" denis comme etant l'ensemble des zeros d'ap-

plications lineaires ou anes, les sous-varietes dierentiables sont des ensembles \courbes" localement denis

comme l'ensemble des zeros d'applications dierentiables. Il s'agit d'une collection extr^emement riche d'en-

sembles, d'une grande utilite. D'ailleurs, au travers de notions comme celle d'espace tangent, la connection entre

la geometrie dierentielle et la geometrie lineaire se fait naturellement.

Premiere partie

Espaces vectoriels normes de dimension nie

Le Calcul Dierentiel admet des developpements dans les espaces de dimension innie, comme par exemple

les espaces de fonctions. Cela depasse les limites du cours de L3. En revanche, une bonne ma^trise des proprietes

des espaces vectoriels normes est requise. Cela releve du programme de L2; au besoin, une revision s'impose. La

premiere partie de ce cours en rappelle l'essentiel, sans redonner toutes les preuves ni rentrer dans tous les details.

2

1 Normes et distances

1.1 Normes et exemples de normesDenition 1.1.1.UnenormesurRnest une fonctionkk:Rn!R+telle que, pour tousx;y2Rnet tout

2R: 1. ( homogeneite)kxk=jjkxk. 2. ( inegalite triangulaire)kx+yk kxk+kyk.

3.kxk= 0 si et seulement six= 0.

Le couple (Rn;kk) est alors appeleespace (vectoriel) norme.Denition 1.1.2.Deux normeskketjjjjjjsurRnsont ditesequivalentess'il existe deux reelsetstrictement

positifs tels que, pour toutx2Rn, on ait : kxk jjjxjjj kxk:Exemple 1.1.3.(Exercice) 1.

P ourtout nom brep >1 la fonction :

kk p:Rn!R;(x1;:::;xn)7! nX i=1jxijp! 1p

est une norme surRn, appelee lanormep. La seule propriete delicate a verier est l'inegalite triangulaire. On

introduit pour cela leconjuguedep, c'est a dire le reelq=p(p1)1sip >1, On a donc1p +1q = 1. L'inegalite

triangulaire est une consequence de l'inegalite de Holder:pour tout couple(p;q)de reels conjugues, et tout

couple den-upletsx= (x1;:::;xn)ety= (y1;:::;yn)de nombres reels, on a : n X i=1x iyi nX i=1jxijp! 1p nX i=1jyijq! 1q =kxkpkykq

On note que l'inegalite classique de Cauchy-Schwartz est le cas particulier de l'inegalite de Holder lorsque

p=q= 2. 2.

Le cas p= 1 est un peu dierent. On convient que le conjugue de 1 est1, et on peut formuler l'inegalite de

Holder en introduisant lanorme innie :

kk

1:Rn!R;(x1;:::;xn)7!maxi=1;:::;njxij:

On a alors :

nX i=1x iyinX i=1jxijmaxi=1;:::;njyij(=kxk1kyk1):

Exercice 1.1.4.(Exercice) Montrer que les normeskkp,p2[1;+1[[ f1g, sont equivalentes. Plus precisement,

montrer que, pour toutx2Rn:

1pq=) kxk1 kxkp kxkqn1p

kxk1:

1.2 Distance associee a une norme et notions de topologieDenition 1.2.1.UnedistancesurRnest une application d:RnRn!R+telle que, pour tousx;y;z2Rn,

on ait : 1. ( symetrie) d(x;y) = d(y;x). 2. ( inegalite triangulaire) d(x;z)d(x;y) + d(y;z). 3. ( separation) d(x;y) = 0,x=y.

Le couple (Rn;d) est appele unespace metrique.

On deduit aisement de la denition de norme l'enonce suivant :3 Proposition 1.2.2.Soitkk:Rn!R+une norme. Alors l'applicationdkk:RnRn!R+denie par d kk(x;y) =kxykest une distance surRn. On appelledkkladistance induite par la normekk.

Remarque1.2.3.Il est important de noter ici que les espaces normes sont des espaces metriques tres particuliers :de

nombreuses distances ne sont pas induites par des normes. Par exemple, une distance tres simple, ladistance

discrete, denie surRnpar d(x;y) = 1 six6=yet d(x;x) = 0, n'est pas induite par une norme (pourquoi?).

De plus, un espace norme estnecessairementun espacevectoriel. Ca n'est pas le cas des espaces metriques.

Par exemple, tout sous-ensemble d'un espace metrique, muni de la distance induite, est encore un espace metrique,

m^eme si ce n'est pas un espace vectoriel.

La totalite du cours de Calcul Dierentiel de L3 a pour cadre les espaces vectorielsRnmunis d'une norme.

L'etude des espaces metriques generaux fait l'objet d'un autre cours.

Rappelons quelques notions classiques :Denition 1.2.4.On considere l'espace vectoriel norme (Rn;kk). Soienta2Rnetr >0.

1. La boule ouvertede centreaet de rayonr >0 est l'ensembleB(a;r) =fx2Rn:kxak< rg. 2. La boule fermeede centreaet de rayonr >0 est l'ensembleBa(r) =fx2Rn:kxak rg. 3. La spherede centreaet de rayonrest l'ensembleS(a;r) =fx2Rn:kxak=rg. Traditionnellement, on

noteS1=fx2Rn:kxk= 1g, qu'on appelle lasphere unite de centre02Rn.Remarque1.2.5.La forme desboulesdepend de la norme consideree.Exercice classique :etudier la forme des boules

du plan pour les normeskkp,p2[1;+1[[ f1g.Denition 1.2.6.SoitAun sous-ensemble de l'espace norme (Rn;kk).

1. L'ensem bleAestbornes'il existea2Rnetr >0 tel queAB(a;r). 2. L'ensem bleAestouvertsi, pour touta2A, il exister >0 tel que la boule ouverteB(a;r) soit contenue dansA. 3.

L'ensem bleAestfermesi le complementaireRnnAdeAdansRnest un ensemble ouvert.Exemple 1.2.7.Les ensembles ouverts sont exactement les unions quelconques de boules ouvertes.

Remarque1.2.8.Les ensembles ouverts et fermes satisfont les proprietes suivantes : 1. La r euniond'u nefamille quelconque d'ensem bleouv ertsest un ensem bleouv ert. 2. L'in tersectiond'u nefamille quelconque d'ensem blesferm esest un ensem bleferm e. 3.

A ttention,les b oulesouv ertesson tdes exemples evidentsd'ensem blesouv erts,les b oulesferm eesson td es

exemples evidents d'ensembles fermes, mais les ensembles ouverts et fermes peuvent ^etre (et sont en general)

bien plus compliques que des boules. Par exemple, lesensembles de Cantor, qui ne sont pas etudies dans le

cours de Calcul Dierentiel de L3, sont introduits dans d'autres cours.

La notion suivante est egalement d'un usage frequent :Denition 1.2.9.Soit (E;d) un espace metrique. Un sous-ensembleAEestcompactsi, de toute suite

d'elements deA, on peut extraire une sous-suite convergeant dansA.Dans le cadre des espaces normes de dimension nie qui est celui de ce cours, cette notion s'exprime plus

simplement : Proposition 1.2.10.Un sous ensembleAd'un espace normededimensionnieest compact si et seulement si il est ferme et borne.

Remarque1.2.11.Cette propriete est fausse dans les espaces vectoriels normes de dimension innie, et,a fortiori,

dans les espaces metriques generaux.

Exemple 1.2.12.Les boules fermees, ou les unions nies de boules fermees, sont des ensembles compacts. Les

ensembles de Cantor, mentionnes plus haut, sont egalement des ensembles compacts.

La proposition suivante donne son inter^et a la notion de couple de normes equivalentes. Sa preuve, facile, est

laissee en exercice : Proposition 1.2.13.Soientkketjjjjjjdeux normes equivalentes surRn. Alors un ensembleARnest ouvert

(resp.ferme, compact) pour la normekksi et seulement siAest ouvert (resp.ferme, compact) pour la norme

jjjjjj. 4

2 Applications continues

Quelques rappels sur les fonctions continues sont necessaires avant d'entamer l'etude des applications dierentiables.

De facon generale, dans les denitions et les enonces, nous designons parUun ensemble ouvert d'un espaceRn,

n2N.

2.1 Denitions et premieres proprietesDenition 2.1.1.On considere les espaces normes (Rp;kk) et (Rq;jjjjjj). SoitURpun ensemble ouvert. Alors :

1. Une application f:URp!Rqestcontinueau pointa2Usi :

8" >0;9 >0;8x2U;kxak< =) jjjf(x)f(a)jjj< ":

2. L'application f:URp!RqestcontinuesurUsi elle est continue en chaque point deU.Remarque2.1.2. 1. Une fa con equivalentede f ormulerla con tinuitede fau pointaest d'ecrire : f(a+h) =f(a) +"(h); oua+h2Uest"est une fonction denie au voisinage de 02Rpet de limite nulle en 02Rp. 2.

( Exercice) On n'altere pas la continuite d'une application en remplacant dans l'espace de depart et dans l'es-

pace d'arrivee les normes par des normes equivalentes. Cela permet de travailler, dans une famille de normes

equivalentes, avec celle qui para^t le plus appropriee aux calculs. C'est en particulier le cas de la famille des

normeskkp, p2[1;1[[ f1g.

Exemple 2.1.3.1.La famille des applications con tinuessur un ouv ertURpa valeurs dansRqest stable par

somme (et dierence). Siq= 1, elle est egalement stable par produit et quotient (la ou ce quotient est deni).

En particulier, les applications polynomiales (eta fortioriles applications lineaires) sont continues. Les fractions

rationnelles sont continues sur leur domaine de denition. 2.

L'application kk: (Rp;kk)!(R;jj) est continue. En eet, il resulte de l'inegalite triangulaire que, pour

x;y2Rp,jkxk kykj kxyk.

2.2 Applications continues et topologie

Exemple 2.2.1.Les fonctions continues jouent un r^ole essentiel dans l'etude des proprietes topologiques :

Proposition 2.2.2.Soitf: (Rp;kk)!(Rq;jjjjjj)une application continue. Alors :

1.L'image reciproque parfd'un sous-ensemble ouvert deRqest un ouvert deRp.

2.L'image reciproque parfd'un sous-ensemble ferme deRqest un ferme deRp.

Remarque2.2.3.Cette proposition est tres utile (peut-^etre d'avantage que la denition initiale) pour determiner si

un sous-ensemble deRpest ouvert (ou ferme). Exemple 2.2.4.Soitf: (Rp;kk)!Rune application continue. Puisque [0;+1[Rest un ensemble ferme, l'ensemble fx2Rn:f(x)0g=f1([0;+1[) est un sous-ensemble ferme deRp.Theoreme 2.2.5(ensembles compacts et applications continues).

1.L'image (directe) d'un ensemble compact par une application continue est egalement un ensemble compact.

2.SoientARnun ensemble compact etf:A!Rune application continue. Alorsfest bornee, et \atteint

ses bornes" : il existea2Aetb2Atels que :

f(a) = maxx2Af(x)etf(b) = minx2Af(x):Nous avons vu plus haut que toutes les normeskkpsont equivalentes. En faittoutes les normessurRnsont

equivalentes, comme l'arme l'enonce suivant : 5 Proposition 2.2.6(equivalence des normes dansRn).Soitn1. Toutes les normes surRnsont equivalentes. Demonstration.On considere une normekksurRnet on montre qu'elle est equivalente a la normekk1= max i=1;:::;njxij. Pour cela, on designe par (e1;:::;en) la base canonique deRn. Pour toutx=Pn i=1xiei2Rn, on a : kxk= n X i=1x iei nX i=1jxijkeik kxk1; ou=Pn i=1keik. Il reste a trouver un nombrem >0 tel quemkxk1 kxkpour toutx2Rn. Or, on deduit de l'inegalite precedente que, pour tousx;y2Rn: jkxk kykj kxyk kxyk1; et donc quekk: (Rn;kk1)!(R;jj) est une fonction continue. Or la sphere uniteS=fx2Rn:kxk1= 1g, qui est un ensemble ferme de (Rn;kk1) en tant qu'image reciproque du singletonf1g Rparkk1et evidemment

borne est un compact de (Rn;kk1). Donc l'applicationkk, continue sur (Rn;kk1) est bornee surSet atteint son

minimummen un pointb2 S: kbk= minx2Skxk=m: Or, pour toutx2Rnn f0g, le vecteur1kxk1xappartient aS. Doncm1kxk1kxkou encoremkxk1 kxk.

Nous avons montre que, pour toutx2Rn,mkxk1 kxk kxk1, c'est a dire que les normeskketkk1sont equivalentes.Remarque2.2.7.Dorenavant, gr^ace a la proposition precedente, nous ne mentionnons plus de norme dans nos

enonces ulterieurs. En revanche, cette proposition nous permet, au detour des preuves, d'utiliser la norme de notre

choix en fontion de sa commodite. En particulier, nous pouvons nous \liberer" de la classique norme euclidienne,

qui n'est pas necessairement la plus appropriee pour les calculs ou les estimations.

3 Normes d'applications lineaires

Nous avons deja mentionne que les applications lineaires entre les espacesRn,n2N, sont continues. Il s'avere

que ces applications jouent un r^ole particulier en Calcul Dierentiel, il importe de bien les comprendre.

3.1 Normes subordonnees et normes matricielles

L'ensembleL(Rp;Rq) des applications lineaires deRpdansRqest un espace vectoriel surRisomorphe a R

pq. Cette armation est facile a voir. En eet, une fois xees une base (e) = (e1;:::;ep) deRnet une base

(") = ("1;:::;"q) deRq, on peut representer une application lineaireL2 L(Rp;Rq) a l'aide d'unematrice: il

s'agit du tableau de nombres apcolonnes etqlignes obtenu en ecrivant en colonnes consecutives les coordonnees

dans la base (") des images parLdespvecteurs de la base (e). Ce tableau depqnombres est un element deRpq.

Naturellement, pour des raisons pratiques liees aux manipulations sur les matrices en lien avec les operations sur les

applications lineaires (par exemple la composition des applications lineaires est correspond au produit des matrices)

on ne represente pas cespqnombres par une colonne, mais par un tableau.

Notation3.1.1.On designe parL(Rp;Rq) l'espace des applications lineaires deRpdansRq, et parMq;p(R) l'espace

des matrices aqlignes etpcolonnes. Sip=q, on note ces espaces respectivementL(Rp) etMp(R).

Remarque3.1.2.On retient la regle simple mais importante : lorsqu'une matrice deMq;p(R) represente une appli-

cation lineaire deL(Rp;Rq) dans des bases,le nombre de colonnes est la dimension de l'espace de depart.

On peut ainsi munir l'espaceL(Rp;Rq) des m^emes normes que l'espaceRpq. Ces normes sont toutes equivalentes.

Neanmoins, certaines de ces normes sont plus appropriees que d'autres pour l'analyse : Proposition 3.1.3.On munit l'espaceRpd'une normekket l'espaceRqd'une normejjjjjj. Alors:

1.l'application :

N:L(Rp;Rq)!R+; L7!maxkxk1jjjL(x)jjj

est une norme surL(Rp;Rq), ditesubordonnee aux normeskketjjjjjj.

2.Sip=q, et qu'on munitRpa la source et au but de la m^eme normekk, on dit que la normeNdenie

comme ci-dessus estsubordonneea la normekk. 6

Remarque3.1.4.La preuve de cette proposition est laissee en exercice. On note que le maximum de la denition

est bien realise, carfx2Rn:kxk 1gest un ensemble ferme borne, donc compact, deRn, etLest une application

continue.

Exercice 3.1.5.Montrer que la denition ci-dessus est equivalente aN(x) = maxkxk=1jjjL(x)jjj(au lieu de prendre

le maximum sur la boule unite fermee, on peut prendre le maximum sur la sphere unite).quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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