[PDF] Fonctions vectorielles arcs paramétrés

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Chapitre11

Fonctions vectorielles, arcs paramétrés

Table des matières

11 Fonctions vectorielles, arcs paramétrés1

11.1 Fonctions deIdansRm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

11.1.1 Limite, continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

11.1.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

11.1.3 Fonctions de classeCk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 6

11.1.4 Développements limités et formule de Taylor-Young

Hors programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

11.1.5 Cas des fonctions à valeurs dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7

11.1.6 Extremum d"une fonction dérivable . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Égalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Application : Variations d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Application aux suites définies par récurrence : majorationde l"erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Condition suffisante de dérivabilité en un point . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

11.1.7 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Inégalité de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Utilisation des trois formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

11.1.8 Méthode des rectangles, Sommes de Riemann . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

11.2 Arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

11.3 Étude d"une courbe paramétrée plane . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

11.3.1 Étude locale en un point stationnaire

Hors programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

11.3.2 Branches infinies des courbes paramétrées

Hors programme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

11.3.3 Étude d"une courbe paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

11.1 Fonctions deIdansRm

Dans toute la suiteIest un intervalle non trivial deRetE=Rmest muni de la norme euclidienne??=??2. On considère

des fonctionsf:I→E. Un telle application est définie par ses applications composantesf=?f1,...,fm?.

On noteF(I,E)l"ensemble formé par de telles applications. On muni facilementF(I,E)d"une addition (addition des

fonctions) et d"une multiplication par un scalaire (multiplication d"une fonction par un scalaire). Ces deux opérations en

font unR-espace vectoriel.

11.1.1 Limite, continuité

On commence par quelques rappels du chapitre??auquel on renvoie aussi pour les preuves. 1 DÉFINITION11.1♥Limite d"une fonction en un point On dit qu"une fonctionf:I→Eadmet une limitel=(l1,...,lm)?Equandx→a?

Isi et seulement si :

On écrit dans ce caslimx→af=louf(x)---→x→al. Remarque 11.1Cela revient à dire que??f(x)-l??---→x→a0. DÉFINITION11.2♥Limite d"une fonction en un point On dit qu"une fonctionf: I→Eadmet une limitel=(l1,...,lm)?Equandx→a?

Isi et seulement si chacune de ses

applications composantesfiadmetlipour limite quandx→a. On écrit dans ce caslimx→af=louf(x)---→x→al.

DÉFINITION11.3♥Continuité d"une fonction en un point

On dit qu"une fonctionf: I→Eest continue ena?Isi et seulementfadmet une limite quandxtend versaet que de

plus cette limite estf(a). DÉFINITION11.4♥Continuité d"une fonction sur un intervalle

On dit qu"une fonctionf:I→Eest continue surIsi et seulement si elle est continue en chaque point deI.

On noteC0(I,E)l"ensemble des fonctions continues définies surIet à valeurs dansE.

PROPOSITION11.1

Soitf:I→E. On a équivalence entre :

1la fonctionfest continue surI.

2chaque application coordonnéefidefest continue surI.

PROPOSITION11.2Opérations sur les fonctions continues

Une combinaison linéaire de deux fonctions continues définies surIet à valeurs dansEest encore continue.

Autrement dit,C0(I,E)est un sous-espace vectoriel deF(I,R).

11.1.2 Dérivabilité

DÉFINITION11.5Dérivabilité

Une fonctionf?F(I,E)avecE=Rmest dite dérivable ena?Isi et seulement si (x)=f(x)-f(a) x-a admet une limitel?Equandx→a. Si cette limite existe, on la notef?(a)et on l"appelle (vecteur) dérivée defau pointa.

Remarque 11.2Tout comme dans le cas des fonctions réelles à valeurs réelles, on pourrait définir la dérivée à droite et

la dérivée à gauche d"une fonctionf?F(I,E).

DÉFINITION11.6Fonction dérivée

On dit quef?F(I,Rm)est dérivable surIsi et seulement si elle est dérivable en chaque point deI.

Dans ce cas, on notef?la fonction qui à toutadeIassocief?(a). Cette fonction est la fonction dérivée de la fonction

fsurI. 2 PROPOSITION11.3Dérivabilité des applications coordonnées

Soientf?F(I,Rm)eta?I. On a équivalence entre :

1fest dérivable ena.

2chacune des applications composantes defest dérivable ena.

De plus, dans ce cas,f?(a)=?f?1(a),...,f?m(a)?

DémonstrationLe taux d"accroissementΔest une fonction deI\{a}dansRm. La fonction est dérivable enasi et seulement siΔ

admet une limite quandx→a. C"est équivalent à dire que les fonctions coordonnées du taux d"accroissement ont toutes une limite

en a, ou encore que chacune des fonctions coordonnées defest dérivable ena.

On dit que la fonctionf?F(I,Rm)est négligeable devant la fonction scalaire?au voisinage du pointa, et l"on note

f(x)=ox→a(?(x))si : ?ε>0,?V?Va,?x?V∩A,?f(x)? ?ε???(x)??

Lorsque la fonction?ne s"annule pas sur un voisinage deaprivé dea, c"est équivalent à dire que1

?(x)f(x)---→x→a0F. PROPOSITION11.4Développement limité à l"ordre1

Soientf?F(I,Rm)eta?I. On a équivalence entre :

—fest dérivable ena;

—fadmet un DL(a,1) :

?x?I,f(x)=f(a)+(x-a)v+ox→a(x-a) oùv?Rm.

Dans ce cas,v=f?(a).

Démonstration

?Sifest dérivable ena, on pose

Θ:?I-→E

x?-→f(x)-f(a)-f?(a)(x-a).

Alors pour toutx?I\{a},

Θ(x)

d"où le résultat. ?Réciproquement, sif(x)=f(a)+(x-a)v+ox→a(x-a)alorsf(x)-f(a) x-a----→x→aαetfest dérivable ena. De plus, f?(a)=v.

Remarque 11.3Interprétation cinématiqueSim=2ou3, l"ensemble des pointsf(t)décrit la trajectoire (ou le

support) du mouvement d"un mobile dans le plan ou dans l"espace. Le vecteurf?(t)correspond alors au vecteur vitesse

et il est tangent à la trajectoire en le pointf(t). COROLLAIRE11.5♥♥♥Dérivabilité en un point implique continuité en ce point Soientf?F(I,Rm)eta?I. Sifest dérivable enaalorsfest continue ena. DémonstrationSifest dérivable enaalors elle admet un DL(a,1) : pour toutx?I, f(x)=f(a)+(x-a)f?(a)+ox→a(x-a) et donclimaf=f(a). Alorsfest continue ena.

On a donc :

COROLLAIRE11.6♥♥♥Dérivabilité implique continuité Soitf?F(I,Rm). Sifest dérivable surIalorsfest continue surI. 3 THÉORÈME11.7♥Une combinaison linéaire de fonctions dérivables est dérivable

Soientf,g?F(I,Rm). Sifetgsont dérivables surIalors pour toutα,β?R,αf+βgest dérivable surI. De plus,

(αf+βg)?(a)=αf?(a)+βg?(a) . DémonstrationSoita?I. Commefetgsont dérivables enaalors pour toutx?I, alorsαf+βgest dérivable enaet(αf+βg)?(a)=αf?(a)+βg?(a).

THÉORÈME11.8♥Quelques opérations

Soientf,g?F(I,E)avecE=Rm,L?L(E,F)oùF=RmetB:E×F→Gbilinéaire et enfin?:J→Idérivable surJSif

etgsont dérivables surIalors

1.L◦fest dérivable surIet pour toutx?I,

(L◦f)?(x)=L(f?(x)) .

2.B(f,g)est dérivable surIet pour toutx?I,

(B(f,g))?(x)=B(f?(x),g(x))+B(f(x),g?(x)) .

3.f◦?est dérivable surJet pour toutt?J,

(f◦?)?(t)=??(t)f?(?(t)) .

Démonstration

1. On a

oùε: I→Rest telle quelimaε=0. CommeLest une application linéaire définie sur unR-espace vectoriel de dimension

finie, Lest continue et˜ε(x)=L(ε(x-a))----→x→a0. Alors etL◦fest dérivable enade dérivéeL(f?(a)).

2. De même,

B(f(x),g(x))

=B? Mais B?

avecε: I→Rtelle quelimaε=0. CommeBest bilinéaire sur unR-espace vectoriel de dimension finie, elle est continue et

limx→aB?f(a)+(x-a)f?(a)+g(a)+g?(a)(x-a),ε(x-a)?=0. Alors etx?→B(f,g)est dérivable enaavec(B(f,g))?(a)=B(f?(a),g(a))+B(f(a),g?(a)). 4

3. Enfin, en utilisant quef(x+h)=f(x)+hf?(x)+oh→0(h), c"est-à-dire quef(x+h)=f(x)+hf?(x)+hε(h)aveclim0ε=0,

on calcule que : f◦?(x)=f((((( ?(t0)+(t-t0)??(t0)+ot→t0(t-t0) =h))))) =f(?(t0))+? (t-t0)??(t0)+ot→t0(t-t0)? f ???(t0)?+hε(h) avec hε(h)=? (t-t0)??(t0)+ot→t0(t-t0)? (t-t0)??(t0)+ot→t0(t-t0)? (t-t0)? ?(t0)+ot→t0(1)? (t-t0)??(t0)+ot→t0(t-t0)? Comme ?(t0)+ot→t0(1)? (t-t0)??(t0)+ot→t0(t-t0)? ----→t→t00 , on peut écrirehε(h)=ot→t0(t-t0). Il vient finalement que : ce qui prouve quef◦?est dérivable ent0et que(f◦?)?=??f?◦?.

Remarque 11.4Le point 2. du théorème précédent se généralise à une application multilinéaireB : E1×...×Ep→G

où pour touti??1,p?,Ei=Rmiet oùG=Rn. On introduit des applicationsfi: I→Eipour touti??1,p?. Si chacune

de ces applications est dérivable surIalorsB(f1,...,fp):I→Gest dérivable surIet pour toutt?I:

GBpf1,...,fp?(t)=p?

i=1B?f1(t),...,f? i(t),...,fp(t)?.

En particulier, l"application déterminant

det: ?Rn×...×Rn-→R

C1,...,Cn)?-→det(C1,...,Cn)

est multilinéaire et si pour touti??1,n?,Ci: I→Rnest dérivable surIalors il en est de même det?→

det (C1(t),...,Cn(t)). De plus, pour toutt?I: det(C1,...,Cn)?(t)=n? i=1det?C1(t),...,C? i(t),...,Cn(t)?. COROLLAIRE11.9♥Dérivation du produit scalaire et du déterminant en dimension2

Soientf,g?F(I,R2)et soiteune bon deR2. On note(f1,f2)les fonctions composantes defdans la baseeet(g1,g2)

celles deg. On suppose quefetgsont dérivables surI. Alors?f|g?etdet(f,g)sont aussi dérivables surI. De plus,

pour toutx?I, ?f|g??(x)=?f?(x)|g(x)?+?f(x)|g?(x)?=f?1(x)g1(x)+f?2(x)g2(x)+f1(x)g?1(x)+f2(x)g?2(x) ; ?det?f,g???(x)=det?f?(x),g(x)?+det?f(x),g?(x)?=f?1(x)g2(x)-f?2(x)g1(x)+f1(x)g?2(x)-f2(x)g?1(x) .

DémonstrationComme le produit scalaire et le déterminant deR2sont des formes bilinéaires, ces résultats sont une conséquence

directe du théorème précédent.

PROPOSITION11.10♥Dérivation d"un produit vectoriel, d"un produit scalaire en dimension2ou3Hors pro-

gramme en PC

Soientfetgdeux applications définies surI, dérivables ent0?Iet à valeurs dans uR3. Alors les applications

f|g?:?I-→R t?-→?f(t)|g(t)?etf?g:?I-→R t?-→f(t)?g(t) 5 sont dérivables ent0et??f|g???(t0)=?f?(t0)|g(t0)?+?f(t0)|g?(t0)? ??f?g???(t0)=f?(t0)?g(t0)+f(t0)?g?(t0)

DémonstrationNotonsf=?f1,f2?etg=?g1,g2?. Commefetgsont dérivables ent0, d"après le théorème??, il en est de

même des fonctions f1,f2,g1,g2. Soitt?I. Remarquons que ?f|g?(t)=f1(t)g1(t)+f2(t)g2(t)

et la fonction?f|g?est donc dérivable ent0par opérations sur les fonctions dérivables ent0et à valeurs dansR. De plus :

??f|g???(t0)=?f1.g1+f2.g2??(t0)

La deuxième formule se prouve de même.

PROPOSITION11.11♥Dérivation de la norme

Soitf: I→Rnune application dérivable surIqui ne s"annule par surIet soit?.?la norme euclidienne surRn. Alors

l"application h:?I-→R t?-→??f(t)?? est dérivable surIet pour toutt?I, on a : h?(t)=?f?(t)|f(t)???f(t)??.

DémonstrationPour toutt?I,h(t)=??f(t)|f(t)?. Commefest dérivable surI,t?→?f(t)|f(t)?est dérivable surIet comme

fne s"annule pas surI, cette application est à valeurs dansR?+. Mais la fonction?est justement dérivable surR?+donc par

composition, hest dérivable surI. De plus, pour toutt?I, on a : h?(t)=?f?(t)|f(t)?+?f(t)|f?(t)?

2??f(t)|f(t)?=?f?(t)|f(t)???f(t)??.

11.1.3 Fonctions de classeCk

On définit par récurrence la dérivéekème, quand elle existe, d"une fonctionf:I→Epar :

?f (0)=f f (1)=f? ?k?N,f(k+1)=?f(k)??. DÉFINITION11.8Fonction vectorielle de classeCk, de classeC∞ Une fonctionf:I→Eest dite de classeCksurIsi :

1.fest dérivablekfois surI.

2. la dérivéekèmedefest continue surI.

On noteCk(I,E)l"ensemble des fonctions de classeCksurI. La fonctionfest dite declasseC∞surIsifest indéfiniment dérivable surI. PROPOSITION11.12Ck(I,E)est un sous-espace vectoriel L"ensembleCk(I,E)des fonctions de classesCksurIest un sous-espace vectoriel deF(I,E).

DémonstrationExercice.

6

Remarque 11.5Une fonction de classeC∞surIest de façon équivalente de classeCnsurIpour toutn?N.

Remarque 11.6Sif: I→Eetλ: I→Ralors le produitλfdéfinit une fonction deIdansE. En effet, pour toutx?I,?λf?(x)=λ(x)f(x)est le produit du vecteurf(x)par le scalaireλ(x).

PROPOSITION11.13Dérivée du produit d"une fonction vectorielle par une fonction scalaire, formule de Leibniz

Soitf:I→Eetλ:I→R. On suppose que :

H1fetλsont dérivables surI

alorsλfest dérivable surI

Plus généralement,

H1sif?Cn(I,E)et queλ?Cn(I,R)

alorsλf?Cn(I,E)et on a la formule de Leibniz : ?λf?(n)=n? k=0? n k? (n-k)f(k)=n? k=0? n k? (k)f(n-k). DémonstrationVérification facile avec les fonctions composantes.

Remarque 11.7En prenantf,g?Cn?I,R3?, les deux applications de la proposition 11.10 sont elles-aussi de classe

C net de plus ??f|g??(n)(t)=n? k=0? n k? f(k)(t)|g(n-k)(t)?, f?g?(n)(t)=n? k=0? n k? f (k)(t)?g(n-k)(t).

11.1.4 Développements limités et formule de Taylor-Young

Hors programme

DÉFINITION11.9

On dit qu"une fonctionf?F(I,E)admet un développement limité à l"ordrenena?Isi c"est le cas de chacune de ses

composantes.

Remarque 11.8On a les mêmes opérations sur les DLs qu"avec les fonctions d"une variable réelle à valeurs dansR.

THÉORÈME11.14Formule de Taylor-Young

Soitf?Cn(I,R)eta?I. Alorsfadmet unDL(a,n)donné par f(x)=f(x0)+(x-a) DémonstrationOn le vérifie pour chaque composante def.

Attention 11.1Les quantitésf(a),f?(a),f??(a),...,f(n)(a)sont des vecteurs dea. De plusox→a((x-a)n)est une

fonction vectorielle deIdansE.

11.1.5 Cas des fonctions à valeurs dansR

On rappelle ici brièvement quelques propriétés fondamentales des fonctions dérivables définie surIà valeurs réelles.

11.1.6 Extremum d"une fonction dérivable

7 PROPOSITION11.15♥Condition nécessaire d"un extremum relatif Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeRet soitaun point deItel que

H1Le pointaestintérieurà l"intervalle, c"est-à-dire qu"il existeα>0tel que]a-α,a+α[?I.

H2Le pointaest un extremum local de la fonctionfsurI.

H3La fonctionfest dérivable au pointa.

alors f?(a)=0.

DémonstrationQuitte à changerfen-f, on peut supposer quefpossède un maximum local ena, c"est-à-dire qu"il existeβ>0

tel que?x??a-β,a+β?∩I,f(x)?f(a). Posonsr=min(r1,r2).

•Sia-r on tire que f? d(a)?0. •SiaPuisque fest dérivable ena, on obtient quef?g(a)=f? d(a)=f?(a)=0.

FIGURE11.1 - Les pentes à gauche sont posi-

tivesFIGURE11.2-Les pentesà droitesontnégatives

Attention 11.2

— La conditionf?(a)=0n"est pas une condition suffisante d"extremum, (penser àf:x?→x3enx=0.)

— La conditionaestintérieurà l"intervalle est fondamentale dans ce théorème. Si le pointaest une borne de

l"intervalle, on ne peut obtenir qu"une inégalité sur la dérivée à gauche ou à droite au pointa.

Théorème de Rolle

THÉORÈME11.16♥♥♥Théorème de Rolle

Soitf:[a,b]→R. On suppose que

H1la fonctionfest continue sur le segment[a,b],

H2la fonctionfest dérivable sur l"intervalle ouvert]a,b[,

H3f(a)=f(b).

Alors il existec?]a,b[tel que

f?(c)=0.

DémonstrationCommefest continue sur le segment[a,b], l"image de ce segment, par application du théorème??est un

segment [m,M]avecm?M. •Sim=Malorsfest constante sur[a,b]et sa dérivée est nulle sur]a,b[.

•Sinon, alorsm minimum de fsur[a,b]est donc atteint en un pointc?[a,b]différent deaet deb, donc en un point intérieur de l"intervalle [a,b]. D"après la proposition précédente, on af?(c)=0.

Interprétation graphique

Interprétation cinématique

Un point mobile sur un axe qui revient à sa position de départ avu sa vitesse s"annuler à un instant donné.

8 f(a) =f(b) a bc

FIGURE11.3 - Théorème de Rolle

Égalité des accroissements finis

THÉORÈME11.17♥♥♥Théorème des accroissement finis (TAF)

Soit une fonctionf:[a,b]→R. On suppose que

H1la fonctionfest continue sur le segment[a,b],

H2la fonctionfest dérivable sur l"intervalle ouvert]a,b[. Alors il existe un point intérieurc?]a,b[tel que f(b)-f(a)=f?(c)(b-a) f(a)f(b)f(c) a bc FIGURE11.4 - Théorème des accroissements finis

Nous allons donner deux preuves typiques dont on s"inspire dans les exercices. L"idée consiste à appliquer le théorème

de Rolle à une bonne fonction auxiliaire pour obtenir l"existence du réelcvérifiant la propriété qui nous intéresse. La

première preuve consiste à voir sur un dessin un problème d"extremum.

Démonstration♥En examinant la figure ci-dessus, on voit que le pointccorrespond au maximum de l"écart vertical entre la

corde [A,B]et le point(x,f(x)). Définissons donc la mesure algébrique de cet écart : ?:???[a,b]-→R x?-→f(x)-? f(a)+f(b)-f(a) b-a(x-a)? 9

La fonction?est continue sur le segment[a,b](théorèmes généraux), dérivable sur l"intervalle]a,b[(théorème généraux sur

les dérivées) et on calcule

?(a)=?(b)=0. D"après le théorème de Rolle, il existe un point intérieurc?]a,b[tel que??(c)=0,

c"est-à-dire f?(c)-f(b)-f(a)b-a=0.

La deuxième preuve est plus "taupinale» et peu naturelle, mais fournit une recette qui fonctionnebien dans les exercices

lorsque la formule à démontrer est compliquée.

— Dans la formule à démontrer, regrouper tous lescà un endroit et les remplacer par une constanteK.

— Remplacer l"une des bornes (par exempleb) par une variablet, ce qui fournit une fonction auxiliaire?définie sur

[a,b]. — Déterminer la constanteKde telle sorte que?(a)=?(b). — Appliquer le théorème de Rolle à cette fonction auxiliaire.

Démonstration♥Appliquons cette " recette » à notre problème. La formule à montrer s"écritf(b)-f(a)-f?(c)(b-a)=0.

Définissons donc une fonction auxiliaire

?:?[a,b]-→R x?-→f(t)-f(a)-K(t-a)oùKest une constante que nous choisissons de telle sorte que

?(a)=?(b). On trouve queK=[f(b)-f(a)]/(b-a)ce qui conduit à la fonction auxiliaire de la première preuve.

Remarque 11.9Cette méthode d"un usage très courant est employée dans les exercices??,??,??,??, ...

Remarque 11.10Quand un mobile se déplace sur un axe et part d"un pointAau tempst1, arrive enBau tempst2et si

fest la fonction position de ce mobile sur l"axe, alors il existe un instantt?]t1,t2[tel que la vitesse instantanée ent:

f ?(t)de ce mobile soit égale à sa vitesse moyennef(t2)-f(t1) t2-t1.

Inégalité des accroissements finis

THÉORÈME11.18Inégalité des accroissement finis (IAF)

Soit une fonctionf:[a,b]→R. On suppose que

H1la fonctionfest continue sur le segment[a,b],

H2la fonctionfest dérivable sur l"intervalle ouvert]a,b[, H3il existe deux réels(m,M)?R2tel que?x?]a,b[,m?f?(x)?M.

Alors on a

m(b-a)?f(b)-f(a)?M(b-a)

DémonstrationIl suffit d"appliquer le théorème des accroissements finis à la fonctionfsur le segment[a,b]. Il existe un réel

c?]a,b[tel quef(b)-f(a)=f?(c)(b-a). Puisquem?f?(x)?M, on en déduit quem(b-a)?f(b)-f(a)?M(b-a). THÉORÈME11.19Dérivée bornée implique lipschitzienne Soit une fonctionf:I→Rdéfinie sur un intervalleI. On suppose que

H1la fonctionfest continue sur l"intervalleI,

H2la fonctionfest dérivable sur l"intervalle ouvert◦I, H3la fonctionfest bornée sur l"intervalle ouvert◦I:?K?0, tel que?x?◦I,|f?(x)|?K. Alors la fonctionfestK-lipschitzienne sur l"intervalleI.

DémonstrationSoit(x,y)?I2avecx l"intervalle ouvert

]x,y[, d"après le théorème des accroissements finis, il existec?]x,y[tel quef(y)-f(x)=f?(c)(y-x). On en

déduit que |f(y)-f(x)|=|f?(c)||y-x| ?K|y-x|.

Application : Variations d"une fonction

Le résultat suivant, utilisé depuis le lycée est une conséquence du théorème des accroissements finis.

PROPOSITION11.20Caractérisation des fonctions constantes, monotones

Soit une fonctionf:I?→R. On suppose que

H1fest dérivable surI.

10

Alors on a les résultats suivants :

1.??x?I,f?(x)?0???fest croissante surI.

2.??x?I,f?(x)>0?=?fest strictement croissante surI.

3.??x?I,f?(x)?0???fest décroissante surI.

4.??x?I,f?(x)<0?=?fest strictement décroissante surI.

5.??x?I,f?(x)=0???fest constante surI.

DémonstrationDémontrons la première équivalence. Les trois suivantes sedémontrent de même.

?Supposons que :?x?]a,b[?I,f?(x)?0et montrons quefest croissante sur[a,b]. Soientx1,x2?[a,b]tels quex1<

x 2

.fest continue sur[x1,x2]et dérivable sur]x1,x2[. D"après le théorème des accroissements finis, il existec?]x1,x2[

tel quef(x2)-f(x1)=f?(c)(x2-x1)?0et doncf(x2)?f(x1)ce qui prouve quefest croissante.

?Réciproquement, supposons quefest croissante sur[a,b]. Alors, pour toutx0?]a,b[le taux d"accroissement defen

x0,Δx0,fest une fonction positive sur]a,b[\{x0}. Puisque la fonctionfest dérivable au pointx0,Δx0,f(x)----→x→x0f?(x0).

Par passage à la limite dans l"inégalité, on en tire que f?(x0)?0.

La dernière équivalence est conséquence du fait qu"une fonction est constante si et seulement si elle est à la fois croissante et

décroissante.

Remarque 11.11La réciproque de (2) est fausse : la fonctionx?→x3est strictement croissante surR, dérivable et

pourtant sa dérivée s"annule en0. Application aux suites définies par récurrence : majorationde l"erreur Soitk?R?+. On dit quef:I→Restk-Lipschitzienne surIsi : ?x,x???I2,??f(x)-f?x?????k??x-x???

Exercice 11.1.1♥

Prouver que sifestk-Lipschitzienne surIalorsfest continue surI.

DÉFINITION11.11Fonction contractante

Une fonctionk-Lipschitzienne est ditecontractante de rapportksik?]0,1[. Le théorème qui vient ainsi que sa démonstration sont à connaître parfaitement.

Il s"agit d"un grand classique des sujets

de concours.

THÉORÈME11.21Théorème du point fixe

Soitf:I=[a,b]→R. On suppose que :

H1I=[a,b]est stable pourf.

H2fest dérivable surI.

H3?k?]0,1[,?x?[a,b],??f?(x)???k

alors :

1.fest contractante de rapportksur[a,b].

2. L"équationf(x)=xadmet une et une seule solution dans[a,b]. Soitlcette solution (autrement ditfpossède un

unique point fixe dans [a,b]).

3. La suite

(un)donnée par?u

0?[a,b]

?n?N,un+1=f(un)converge verslet ?n?N,|un-l|?kn|u0-l| 11

Démonstration

•Soientx,x??[a,b]. Commefest dérivable sur[a,b], par application de l"inégalité des accroissements finis, on a :??f(x)-f?x?????supc?[a,b]??f?(c)????x-x????k??x-x???ce qui prouve quefestk-Lipschitzienne.

•Soitθ:?[a,b]-→R

x?-→f(x)-x. CommeI=[a,b]est stable pourf, on a :f(a)?a, c"est à direθ(a)?0etf(b)?b, c"est à dire

θ(b)?0.fétant dérivable sur[a,b], elle est continue sur[a,b]et il en est donc de même deθ. Appliquant le

théorème des valeurs intermédiaires, il existe c?[a,b]tel queθ(c)=0c"est à dire tel quef(c)=c.fpossède donc bien un point fixe dans [a,b].

•Démontrons la dernière propriété par récurrence : L"inégalité est trivialement vérifiée au rang0. Soitn?N. Supposons que

l"inégalité est vraie au rang net montrons là au rangn+1. On a : |un+1-l|=??f(un)-f(l)?? ?k|un-l|carfestk-Lipschitzienne sur[a,b] ?k×kn|u0-l|par application de l"hypothèse de récurrence ?kn+1|u0-l|

La propriété est alors prouvée par application du théorème de récurrence. Comme0?k<1,?kn?est une suite géométrique

de raison comprise entre

0et1et elle converge donc vers0. Appliquant le théorème des gendarmes, on en déduit que

un-----→n→+∞l. Condition suffisante de dérivabilité en un point THÉORÈME11.22♥♥♥Théorème du prolongement dérivable Soit une fonctionf:I→Ret un réela?I. On suppose que

H1la fonctionfest continue sur l"intervalleI,

H2la fonctionfest dérivable surI\{a},

H3f?(x)---→x→al?R.

Alors la fonctionfest dérivable au pointaetf?(a)=l.

DémonstrationSoitx?I\{a}. La formule des accroissements finis appliquée au segment[a,x]nous assure de l"existence de

cx?]a,x[tel quef(x)-f(a) x-a=f?(cx). Commecx-----→x→a+a, on en déduit quef(x)-f(a) x-a-----→x→a+let donc quefest dérivable à droite en aet quef? d(a)=l. On fait de même à gauche dea.

PROPOSITION11.23

Soientf:I→Reta?I. On suppose que

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