Espaces vectoriels normés et calcul différentiel Partie 1 (septembre PDF

1.8 Le théorème des accroissements finis

On en déduit une première extension du théorème des accroissements finis pour les fonctions définies sur un ouvert d'un espace vectoriel normé E à valeurs dans

Fonctions de classe C - Inégalité des accroissements finis.

On a vu que le théorème de. Rolle et donc le théorème des accroissements finis ne sont plus valables pour une fonction de plusieurs variables. L'inégalité des

Chapitre9 : Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien

finie en a. FONCTIONS VECTORIELLES À VALEURS DANS UN ESPACE EUCLIDIEN ... Inégalité des accroissements finis Si F est continue sur [a b]

Espaces vectoriels normés et calcul différentiel Partie 1 (septembre

16 mar 2020 3.3 Fonctions à valeurs vectorielles : IAF Taylor Young et reste intégral . ... 4.1.6 Inégalité des accroissements finis et conséquences .

COURS DE L3 : CALCUL DIFFÉRENTIEL

Dans tout ce cours les espaces vectoriels considérés seront des R-espaces On rappelle le Théorème des accroissements finis pour les fonctions de R dans ...

Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors pro- 4 Théorème des accroissements finis. 55. 4.1 Fonction ...

L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

g (t) ? M b ? a ?t ? ]0

Fonctions vectorielles arcs paramétrés

Inégalité des accroissements finis . PROPOSITION 11.13 Dérivée du produit d'une fonction vectorielle par une fonction scalaire formule de Leibniz.

Cours de mathématiques P.S.I.*

4 mar 2011 Fonctions vectorielles - Accroissements finis et formules de Taylor ... Théorème : Inégalité des accroissements finis : Soit f ?C1 (IE).

6.3 Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Souvent pour étudier des fonctions et calculer des limites

18 Le théorème des accroissements ?nis - univ-rennes1fr

1 Applications différentiables: Le théorème des accroissements ?nis 35 Démonstration: On applique 1 8 4 à chaque composante f j de Une autre variante du théorème des accroissement ?nis où l’égalité est rempla-cée par une inégalité sur les normes 1 8 10 THÉORÈME(L’INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS) Soit f : U !

L`inégalité des accroissements finis Applications

2) Si les fonctions f n2C1() alors f2C1() Dans le cas sp ecial des fonctions de R dans R (ou C) on a l’ enonc e analogue mais ou l’on peut simplement utiliser les d eriv ees au lieu des di erentielles: Th eor eme 2 2 -bis Soit un ouvert de R et f n: !R (ou C) n2N une suite d’application d erivables sur On suppose que la suite f

leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit cpgedupuydelomefrFonctions à valeurs vectorielles - cpgedupuydelomefr

8 Formule des accroissements finis formule de Taylor développements limités Théorème 8 1 : inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C 1 à valeurs vectorielles Théorème 8 2 : dérivabilité obtenue par limite Théorème 8 3 : généralisation du théorème 8 2

Chapitre9 : Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace

CHAPITRE 9 FONCTIONS VECTORIELLES À VALEURS DANS UN ESPACE EUCLIDIENV DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS L’égalité des accroissements finis est fausse (voir encore avecE = C) Inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre n ´ 1 Si F est de classe Cn (n ? 1) sur [ab] et si Mn = suptP[ab]}F (n)(t)}(qui existe d’après le I) alors › ›

INEGALITES DES ACCROISSEMENT FINIS - APPLICATIONS - ACCESMAD

INEGALITES DES ACCROISSEMENT FINIS - APPLICATIONS Exercice 1 1: On considère la fonction f définie par f(x)= e2x 1- Etudier les variations de f et tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère (O;ij G G) Unité 2 cm 2- a) Etudier le sens de variation de g : x 6 g(x)= f(x)-x

Quelle est la conséquence de l’inégalité des accroissements finis en classe de première ?

Dans l’enseignement secondaire, on admet en classe de premie?re que toute fonction ayant une de?rive?e positive sur un intervalle est croissante sur cet intervalle et l’ine?galite? des accroissements finis est une conse?quence presque imme?diate de ce re?sultat.

Quel est l'analogue du théorème des accroissements finis ?

Pour une telle fonction, il n'existe pas d'analogue du théorème (avec égalité) des accroissements finis, ni même de son cas particulier qu'est le théorème de Rolle (cf. § Remarques de l'article sur ce théorème).

Quels sont les conséquences directes du théorème des accroissements finis ?

Deux conséquences directes du théorème des accroissements finis sont : le théorème « limite de la dérivée » (si une fonction f, continue en a, est dérivable sauf peut-être en a, mais si sa dérivée a une limite finie au point a, alors f est en fait de classe C 1 en a ).

Quels sont les responsables de l’accroissement des inégalités ?

Cette étude montre que, contrairement aux idées reçues, les PDG et des superstars du sport ou du divertissement ne sont pas les premiers responsables de l’accroissement des inégalités. C’est l’évolution des rémunérations des cadres de la finance qui a en fait le plus contribué à ce phénomène.

Espaces vectoriels normés et calcul différentiel

Partie 1 (septembre 2019)

Karine Beauchard

16 mars 2020

Table des matières

1 Espaces vectoriels normés 5

1.1 Normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Normes équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Théorème de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Complétude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Séries dans les evn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Algèbre de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7 Le théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.9 Séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.10 Au programme de l"interrogation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11 Quelques exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.11.1 Manipulations de normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.11.2 Normes sur des espaces de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.11.3 Normes sur des fonctionsC1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.11.4 NormesLp(cours d"intégration requis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.11.5 Normes sur les fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.11.6 Séries dans les EVN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.11.7 Utilisation de la complétude : point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 Applications linéaires entre evn 31

2.1 Norme subordonnée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Norme d"algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Généralisation aux applications multi-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4 Dualité (rudiments) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Au programme de l"interrogation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6 Quelques exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Fonctions d"une variable réelle 47

3.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.1.2 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Fonctions à valeurs réelles : Rolle, EAF, Taylor Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.2 Egalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.3 Formule de Taylor Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Fonctions à valeurs vectorielles : IAF, Taylor Young et reste intégral . . . . . . . . . . 52

3.3.1 Inégalité des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4TABLE DES MATIÈRES

3.3.2 Formule de Taylor Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.3 Formule de Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.4 Application au prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Dérivabilité et suites/séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5.1 Définition et inégalité des pentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.5.2 Régularité des fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5.3 Caractérisation de la convexité et de la convexité stricte . . . . . . . . . . . . . 61

3.5.4 Inégalités de convexité classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.5.5 Convexité et optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6 Au programme de l"interrogation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7.1 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.7.2 Fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7.3 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7.4 Dérivabilité en dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Différentielle73

4.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.1.3 Propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1.4 Thm des fonctions composées et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.1.5 Différentiabilité et inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4.1.6 Inégalité des accroissements finis et conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1.7 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.1.8 Différentiabilité et suites/séries d"applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2 Différentielles partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.1 Différentielle partielle d"ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2.2 Différentielle partielle d"ordre2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.3 Différentielle partielle d"ordren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.2.4 Exercices type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.3 Différentielle d"ordre>2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.1 Différentielle d"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.2 Différentielle d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4.1 Taylor Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.4.2 Taylor avec reste intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.5 En dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.1 Reformulation des précédents résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.5.2 Matrice Jacobienne et changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.3 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.5.4 Hessienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6 Optimisation et convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6.1 Problèmes d"extrêmum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6.2 Applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.6.3 Optimisation des applications convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.6.4 Exercices-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.7.1 Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

TABLE DES MATIÈRES5

4.7.2 Différentiabilité et inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.7.3 IAF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.7.4 Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.7.5 Dim finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

4.7.6 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5 Inversion locale et fonctions implicites 113

5.1 Théorème d"inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1.1C1-difféomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.1.2 Enoncé et preuve du TIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.2 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.3 Exercices type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.1 TIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.3.2 TFI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6TABLE DES MATIÈRES

Chapitre 1

Espaces vectoriels normés

Dans ce chapitre,Eest un espace vectoriel (ev) surK=RouC. La topologie des espaces vectoriels normés (evn), au programme des CPGE MP, est un pré-requis.

1.1 Normes

1.1.1 Définition et exemples

Definition 1 (Norme, evn)UnnormesurEest une applicationk:k:E!R+telle que - (N1) :kxk= 0ssix= 0 - (N2) :kxk=jjkxk;8x2E ;2K, - (N3) :kx+yk6kxk+kyk;8x;y2E[inégalité triangulaire]. Alors(E;k:k)est un espace vectoriel normé (evn). Il résulte de l"inégalité triangulaire quek:kest1-lipschitzienne surE, donc continue : kxk kyk6kxyk;8x;y2E :

Exemples :

-E=Rn,k:k=k:kp,p2[1;1]. -E=lp(N;R)oucc(N;R)(suites à support fini),kxkp:= (P1 n=0jxnjp)1=p. -E=l1(N;R)oucc(N;R),kxk1:= supfjxnj;n2Ng. -E=C0([0;1];R),kfk1:= supfjf(t)j;t2[0;1]g,kfkp:=R1

0jf(t)jpdt

1=p;p2[1;1).

-E=Ck([0;1];R),kfk:=Pk j=0kf(k)k1. Preuve de l"inégalité triangulaire danslp(N;R):Elle est évidente pourp= 1etp=1. Sup- posons donc que1< p <1. Soitp02(1;1)tel que1p +1p 0= 1. ln(xy) =1p ln(xp) +1p

0ln(yp0)6ln

xpp +yp0p 0! donc, par croissance deexp, xy6xpp +yp0p 0: 7

8CHAPITRE 1. ESPACES VECTORIELS NORMÉS

On en déduit que, pourx= (xn)n2N2lp(N;R)ety= (yn)n2N2lp0(N;R), on a 1 X n=0jxnjkxkpjynjkykp061p 1 X n=0jxnjpkxkpp+1p 01 X n=0jynjp0kykp0 p 0= 1 cad 1X n=0jxnynj6kxkpkykp0: Étape 2 : Inégalité de Minkowski.Pourx= (xn)n2N;y= (yn)n2N2lp(N;R)on a kx+ykpp=1P n=0jxn+ynjjxn+ynjp1 6 1P n=0jxnjjxn+ynjp1+1P n=0jynjjxn+ynjp1 6 1P n=0jxnjp 1=p 1P n=0jynjp

1=p#1P

n=0jxn+ynjp0(p1) 1=p0

6(kxkp+kykp)kx+ykp=p0

pcarp0(p1) =p

Commeppp

0= 1, on en déduit quekx+ykp6kxkp+kykp.

Exercice: Démontrer l"inégalité triangulaire dans(Lp(R);k:kp)pour16p61.

1.1.2 Normes équivalentes

Definition 2 (Normes équivalentes)Deux normesk:ketk:k0surEsont équivalentes s"il existe C

1;C2>0telles que

1kxk6kxk06C2kxk;8x2E :

Théorème 1Sur unR-evn(E;k:k)de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. Remarque 1UnC-evn de dimensionnest unR-evn de dimension2ndonc le théorème s"applique auxC-evn. Preuve :On peut supposer queE=Rn(construire une bijection entreEetRnà l"aide d"une base). Montrons que toute normek:ksurRnest équivalente àk:k1(x) := supfjxkj;16k6ng. Rappelons

que les compacts de(Rn;k:k1)sont les fermés bornés (cela se déduit de la caractérisation des com-

pacts deRet du fait qu"un produit cartésien de compacts est compact pour la topologie produit). En

particulier la sphère unitéS:=fx2Rn;;kxk1= 1gest compacte dans(Rn;k:k1). Étape 1 : Montrons quek:kest continue (pour la topologie dek:k1).Pourx;h2Rn, on a kx+hk kxk6khk= n X k=1h kek

6khk1MoùM:=nX

k=1kekk; ainsik:kest M-lipschitzienne(E;k:k1)!(R;j:j)donc continue. Étape 2 : Argument de compacité.L"applicationk:k:S !R+est continue et>0sur le compact S, donc elle est bornée et atteint ses bornes. En particulierC1:= minfkxk;x2Bgest un réel>0. Alors C 16 xkxk1 ;8x2Rnn f0g; donc, par le 2e axiome de norme C

1kxk16kxk6Mkxk1;8x2Rn:

1.2. THÉORÈME DE RIESZ9

Corollaire 1Dans unR-evn de dimension finie, les compacts sont les fermés bornés. Preuve :Les compacts de(Rn;k:k1)sont les fermés bornés. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes et deux normes équivalentes ont les même ensembles compacts. Proposition 1Dans un evn(E;k:kE), tout sevFde dimension finie est fermé. Preuve :Soit(xn)n2Nune suite de vecteurs deFqui converge dans(E;k:k)versa2E. Alors elle est bornée dans(F;k:k). On peut donc en extraire une sous-suite(x'(n))n2Nqui converge dans(F;k:k) versb2F. L"unicité de la limite de(x'(n))n2Nimpliquea=b2F.

Contre-exemples en dimension infinie :

- Pour16p < q61,lplqavec injection continue :k:kq6k:kp. En effetk:kqq6k:kqp1k:kpp6 k:kqp. Maisk:kpetk:kqne sont pas équivalentes surlp(N;C), car il n"existe pas de constantequotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] Espaces vectoriels normés et calcul différentiel Partie 1 (septembre