L`inégalité des accroissements finis Applications PDF

1.8 Le théorème des accroissements finis

On en déduit une première extension du théorème des accroissements finis pour les fonctions définies sur un ouvert d'un espace vectoriel normé E à valeurs dans

Fonctions de classe C - Inégalité des accroissements finis.

On a vu que le théorème de. Rolle et donc le théorème des accroissements finis ne sont plus valables pour une fonction de plusieurs variables. L'inégalité des

Chapitre9 : Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace euclidien

finie en a. FONCTIONS VECTORIELLES À VALEURS DANS UN ESPACE EUCLIDIEN ... Inégalité des accroissements finis Si F est continue sur [a b]

Espaces vectoriels normés et calcul différentiel Partie 1 (septembre

16 mar 2020 3.3 Fonctions à valeurs vectorielles : IAF Taylor Young et reste intégral . ... 4.1.6 Inégalité des accroissements finis et conséquences .

COURS DE L3 : CALCUL DIFFÉRENTIEL

Dans tout ce cours les espaces vectoriels considérés seront des R-espaces On rappelle le Théorème des accroissements finis pour les fonctions de R dans ...

Cours dAnalyse 3 Fonctions de plusieurs variables

Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors pro- 4 Théorème des accroissements finis. 55. 4.1 Fonction ...

L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL

g (t) ? M b ? a ?t ? ]0

Fonctions vectorielles arcs paramétrés

Inégalité des accroissements finis . PROPOSITION 11.13 Dérivée du produit d'une fonction vectorielle par une fonction scalaire formule de Leibniz.

Cours de mathématiques P.S.I.*

4 mar 2011 Fonctions vectorielles - Accroissements finis et formules de Taylor ... Théorème : Inégalité des accroissements finis : Soit f ?C1 (IE).

6.3 Théorème de Rolle et des accroissements finis.

Souvent pour étudier des fonctions et calculer des limites

18 Le théorème des accroissements ?nis - univ-rennes1fr

1 Applications différentiables: Le théorème des accroissements ?nis 35 Démonstration: On applique 1 8 4 à chaque composante f j de Une autre variante du théorème des accroissement ?nis où l’égalité est rempla-cée par une inégalité sur les normes 1 8 10 THÉORÈME(L’INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS) Soit f : U !

L`inégalité des accroissements finis Applications

2) Si les fonctions f n2C1() alors f2C1() Dans le cas sp ecial des fonctions de R dans R (ou C) on a l’ enonc e analogue mais ou l’on peut simplement utiliser les d eriv ees au lieu des di erentielles: Th eor eme 2 2 -bis Soit un ouvert de R et f n: !R (ou C) n2N une suite d’application d erivables sur On suppose que la suite f

leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit cpgedupuydelomefrFonctions à valeurs vectorielles - cpgedupuydelomefr

8 Formule des accroissements finis formule de Taylor développements limités Théorème 8 1 : inégalité des accroissements finis pour une fonction de classe C 1 à valeurs vectorielles Théorème 8 2 : dérivabilité obtenue par limite Théorème 8 3 : généralisation du théorème 8 2

Chapitre9 : Fonctions vectorielles à valeurs dans un espace

CHAPITRE 9 FONCTIONS VECTORIELLES À VALEURS DANS UN ESPACE EUCLIDIENV DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS L’égalité des accroissements finis est fausse (voir encore avecE = C) Inégalité de Taylor–Lagrange à l’ordre n ´ 1 Si F est de classe Cn (n ? 1) sur [ab] et si Mn = suptP[ab]}F (n)(t)}(qui existe d’après le I) alors › ›

INEGALITES DES ACCROISSEMENT FINIS - APPLICATIONS - ACCESMAD

INEGALITES DES ACCROISSEMENT FINIS - APPLICATIONS Exercice 1 1: On considère la fonction f définie par f(x)= e2x 1- Etudier les variations de f et tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère (O;ij G G) Unité 2 cm 2- a) Etudier le sens de variation de g : x 6 g(x)= f(x)-x

Quelle est la conséquence de l’inégalité des accroissements finis en classe de première ?

Dans l’enseignement secondaire, on admet en classe de premie?re que toute fonction ayant une de?rive?e positive sur un intervalle est croissante sur cet intervalle et l’ine?galite? des accroissements finis est une conse?quence presque imme?diate de ce re?sultat.

Quel est l'analogue du théorème des accroissements finis ?

Pour une telle fonction, il n'existe pas d'analogue du théorème (avec égalité) des accroissements finis, ni même de son cas particulier qu'est le théorème de Rolle (cf. § Remarques de l'article sur ce théorème).

Quels sont les conséquences directes du théorème des accroissements finis ?

Deux conséquences directes du théorème des accroissements finis sont : le théorème « limite de la dérivée » (si une fonction f, continue en a, est dérivable sauf peut-être en a, mais si sa dérivée a une limite finie au point a, alors f est en fait de classe C 1 en a ).

Quels sont les responsables de l’accroissement des inégalités ?

Cette étude montre que, contrairement aux idées reçues, les PDG et des superstars du sport ou du divertissement ne sont pas les premiers responsables de l’accroissement des inégalités. C’est l’évolution des rémunérations des cadres de la finance qui a en fait le plus contribué à ce phénomène.

4 |Inegalite des accroissements finis

1 Le resultat principal

SoientEetFdeux espaces vectoriels normes surK,

un ouvert deEetf: !Fune application. Sia;b2Eon note ]a;b[=f(1t)a+tb; t2]0;1[get [a;b] =f(1t)a+tb; t2[0;1]g, appeles "segment ouvert" et "segment ferme".

Theoreme 1.1.Soitf:

!Fdierentiable,a;b2 tels que[a;b] . Alors kf(a)f(b)kF kabkEsup x2]a;b[kDF(x)kL:

Attention l'inegalite precedente est fausse en general si le segment [a;b] n'est pas entierement contenu

dans

Corollaire 1.2.Si

est un convexe et si il existe un reelMtel quekDf(x)kLM;(8x2 ), alors: kf(a)f(b)kFMkabkE;8a;b2 Le corollaire ci-dessus s'applique typiquement quand est un boule ouverte.

Corollaire 1.3.Si

estconnexeet siDf(x) = 0pour toutx2 , alorsfest une fonction constante sur Pour demontrer le theoreme 1.1, on commence par etablir la version suivante : Theoreme 1.4.Soit[;]Ret': [;]!Fcontinue sur[;]et derivable sur];[. Alors k'()'()kF kksup t2];[k'0(t)k:

2 Applications

Theoreme 2.1.Soit

un ouvert deE,x02 . On suppose quef: !Fest une application continue, dierentiable sur nfx0get on suppose aussi que la limite deDf(x)existe dans l'espaceL(E;F)lorsque x!x0etx2 n fx0get on noteLcette limite. Alorsfest dierentiable enx0etDf(x0) =L.

Theoreme 2.2.Soit

un ouvert de(E;k:k), etfn: !F,n2Nune suite d'application dierentiables sur . On suppose que la suitefnconverge simplement sur versfet que la suiteDfnconverge uniformement sur versg. Alors:

1)fest dierentiable sur

etDf=g.

2) Si les fonctionsfn2C1(

)alorsf2C1( Dans le cas special des fonctions deRdansR(ouC), on a l'enonce analogue mais ou l'on peut simplement utiliser les derivees, au lieu des dierentielles:

Theoreme 2.2.-bisSoit

un ouvert deR, etfn: !R(ouC) ,n2Nune suite d'application derivables sur . On suppose que la suitefnconverge simplement sur versfet que la suite des deriveesf0nconverge uniformement sur versg. Alors:fest derivable sur etf0=g. Le theoreme 2.2 (ou 2.2-bis) s'applique souvent a des series de fonctions, en prenantfn=Pn

0uk. Il

se reformule de la maniere suivante, dans le cas des series de fonctions deRdansC:

Corollaire 2.3.Soituk:

!F,n2Nune suite d'application derivables de (ouvert deR) dans

C. On suppose que la serieP1

0ukconverge simplement sur

versfet que la serieP1

0u0kconverge

uniformement sur versg. Alorsfest derivable sur etf0=g. 1

Exemple 2.1.a/La fonctionf(x) =P1

n=0cos(nx+1)1+n3est de classeC1surR. (On peut appliquer le theoreme 2.2 ou bien le corollaire 2.3 avec =R.) b/ M^eme chose pour la fonctiong(x) =P1 n=0cos(nx2+1)1+n3. (Cette fois le theoreme s'applique sur n'importe quel ouvertbornedeR.)

L'espaceC1b(

;R). Soit un ouvert deRn. On noteC1b( ;R) l'espace vectoriel des fonctionsf: !R de classeC1, qui sont bornees sur et dont les derives partielles@f@x

1;;@f@x

nsont aussi bornees sur

On denit alors la norme suivante surC1b(

;R) que l'appelle la norme naturelle deC1b( ;R): kfkC1b= sup jfj+ sup j@f@x

1j++ sup

j@f@x nj=kfk1+X jk@f@x jk1:

Theoreme 2.4.L'espaceC1b(

;R), muni de sa normek:kC1best complet. La demonstration du theoreme 2.4 est une application du theoreme 2.3. Theoreme 2.5. (Derivation d'une fonction denie par une integrale)Soit un ouvert deRn, [a;b]un intervalle deRetf: [a;b]!R. On suppose quefest continue sur [a;b]et que pour toutj2 f1;;ngles fonctions@f@x j(:;:)existent et sont continues sur [a;b]. Alors la fonction '(x) =Z b a f(x;t)dt; x2 est de classeC1sur et @'@x j(x) =Z b a@f@x j(x;t)dt; x2 Corollaire 2.6.SiIest un intervalle ouvert deRet sif2C1(

I;R), alors pour touta;b2I(avec

a < b) les hypotheses du theoreme precedent sont satisfaites pour la fonctionf, sur le domaine [a;b]. Notez tout de m^eme que dans le theoreme on n'a pas besoin quefsoit dierentiable par rapport at, comme c'est le cas dans le corollaire .

Notez aussi que, pour toutx2

xe,'(x) est denie comme l'integrale sur [a;b] d'une fonction continue de [a;b] dansR, ce qui a bien un sens (integrale de Riemann d'une fonction continue).

3 Le cas special des fonctions deRdansR

On rappelle le theoreme dit de "l'egalite des accroissements nis" qui ne s'applique qu'aux fonctions de

RdansR.

Theoreme 3.1(Rolle).Soit[a;b]un intervalle deRetf: [a;b]!Rune application. On suppose que fest continue sur[a;b]et derivable sur]a;b[, alors il existec2]a;b[tel que f(b)f(a) =f0(c)(ba): Exercice 3.2.Soitfderivable deRdansRtelle quelimx!+1f(x)x = 0. Montrez quelim+1f0(x) = 0. Exercice 3.3.Montrez en donnant un exemple que l'egalite du theoreme de Rolle n'est plus vraie en general pour une fonctionC1deRdansR2. Donnez une interpretation geometrique (ou cinematique) de ce fait (prendre par exemple la fontiont7!eit). 2quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

[PDF] L`inégalité des accroissements finis Applications