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Correction Devoir Surveillé 2 :arithmétique et matricesTermS spécialitéCorrection

Devoir Surveillé 2

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Exercice 1.(2 points)

1.Déterminer les entiers relatifsntels quen-4divise3n-17.

n-4?3n-17orn-4?n-4ainsin-4?3n-12donc, par combinaison linéaire,n-4? ((3n-17)-(3n-12))ien-4? (-5) Par conséquent,n-4?D(-5)={-5;-1;1;5}. On a donc :n-4-5-115 n-1359

3n-17-20-8-210

Vérification-5?-20?⎷-1?-8?⎷1?-2?⎷5?10?⎷Conclusion :S={-1;3;5;9}.

2.Déterminer les entiers relatifsntels que3n-17n-4soit un entier naturel.

Pour que

3n-17n-4soit un entier naturel, il faut nécessairement quen-4divise3n-17, ainsin?

{-1;3;5;9}. On a aussi :n-1359

3n-17n-4-20-5=4?N-8-1=8?N-21

=-2?N10 5 =2?NConclusion :S={-1;3;9}.

Exercice 2.(4,5 points)

À chaque lettre de l"alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre0et25.ABCDEFGHIJKLM

0123456789101112

NOPQRSTUVWXYZ

13141516171819202122232425

On définit un procédé de codage de la façon suivante : Étape1 :À la lettre que l"on veut coder, on associe le nombremcorrespondant dans le tableau. Étape2 :On calcule le reste de la division euclidienne de3m+11par26et on le notep. Étape3 :Au nombrep, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

1.Coder la lettre U.

La lettre U est associée au nombrem=20.

p≡3×20+11≡71≡19[26]car71=26×2+19.19correspond à la lettre T. Le codage de la lettre U est la lettre T.Roussot 1/6 2016 - 2017

Correction Devoir Surveillé 2 :arithmétique et matricesTermS spécialité2.Trouver un entier naturelxtel que3x≡1[26].

On cherche un multiple de3qui soit égal à27(=26+1), ou53(=26×2+1), ou79(=26×3+1), etc Or3×9=27. Doncx=9convient (3×9≡27≡1[26]).

3.Démontrer que pour tout entier relatifmon a27m-5≡m-5[26].

4.Démontrer, pour tout entier relatifm, l"équivalence :

3m+11≡p[26]??m≡9p+5[26]:

9p[26]??m-5≡9p[26]??m≡9p+5[26]

??:m≡9p+5[26]??3m≡3(9p+5) [26]??3m≡27p+15[26]??3m≡p+26-11[26]??

3m≡p-11[26]??3m+11≡p[26]

5.Décoder alors la phrase J GLWX L UKXLV.

L"équivalence de la question précédente nous permet d"avoir une méthode pour décoder un message :

On associe à une lettre un nombrep, puis on calculemle reste de la division euclidienne de9p+5 par26, et enfin au nombrem, on associe la lettre correspondante. Par exemple, la lettre J est associée au nombrep=9. m≡9×9+5≡86≡26×3+8≡8[26].8correspond à la lettre I. Le lettre J décodée est la lettre I.Lettre codéeJGLWXLUKXLV p96112223112010231121

9p+5865910420321210418595212104194

m87021403174012

Lettre décodéeIHAVEADREAM

Remarque :L"idée ici pour avoir une méthode de codage et de décodage est d"avoir un produit de deux nombres entiers entre 1 et 25 qui soit congru à 1 modulo 26, dans notre cas : 9 et 3, on

obtient alors que 9 et 3 sont inverses l"un de l"autre dans notre ensemble des restes dans la division

euclidienne par 26, ce qui nous permet de passer demàpet vice versa.

Exercice 3.(2 points)

Les deux questions sont indépendantes.

1.Déterminer le reste dans la division euclidienne de22013par7.

2

3≡8≡1[7]

Ainsi le reste dans la division euclidienne de22013par7vaut1.

2.Démontrer que42n-74nest divisible par15pour tout entier natureln.

4

2≡16≡1[15]Roussot 2/6 2016 - 2017

Correction Devoir Surveillé 2 :arithmétique et matricesTermS spécialitéDonc, pour toutn?N,42n≡?42?n≡1n≡1[15].

7 Donc, pour toutn?N,74n≡?74?n≡1n≡1[15]. Ainsi, par différence,42n-74n≡1-1≡0[15].

Par conséquent,?n?N,15divise42n-74n.

Exercice 4.(2,5 points)

Soit la matriceA=⎛⎜

⎝1 2

2-1⎞

1.CalculerA2en détaillant les calculs.

A

2=A×A=⎛

⎝1 2

2-1⎞

⎝1 2

2-1⎞

⎝1×1+2×2 1×2+2×(-1)

2×1+(-1)×2 2×2+(-1)×(-1)⎞

⎝5 0

0 5⎞

⎠=5I2

2.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,A2n=5nI2.

Pourn?N, notons la propriétéP(n)?A2n=5nI2.

Montrons par récurrence que,?n?N,P(n)est vraie. ?Initialisation: Pourn=0,A2×0=A0=I2et50I2=1I2=I2doncA2×0=50I2, doncP(0)est vraie. ?Hérédité: Soitn?N. Supposons queP(n)soit vraie ie queA2n=5nI2.

Montrons queP(n+1)est vraie ie queA2(n+1)=5n+1I2.

A

2(n+1)=A2n+2

=A2n×A2 =(5nI2)×(5I2) =(5n×5)(I2×I2) =5n+1I2

La propriété est donc héréditaire.

?Conclusion :On a montré par récurrence que?n?N,A2n=5nI2.◻

3.CalculerA2016.

D"après la question précédente :A2016=A2×1008=51008I2=⎛ ⎝5 10080
0 5

1008⎞

Exercice 5.(1,5 points)

SoitA=⎛⎜

⎝4-4

3-3⎞

Montrer que, pour tout entier naturel non nuln:An=A.

Pourn?N?, notons la propriétéQ(n)?An=A.

Montrons par récurrence que,?n?N?,Q(n)est vraie. ?Initialisation: Pourn=1,A1=A, doncQ(1)est vraie.Roussot 3/6 2016 - 2017

Correction Devoir Surveillé 2 :arithmétique et matricesTermS spécialité?Hérédité: Soitn?N?. Supposons queQ(n)soit vraie ie queAn=A.

Montrons queQ(n+1)est vraie ie queAn+1=A.

A n+1=An×A1 =A×A ⎝4-4

3-3⎞

⎝4-4

3-3⎞

⎝4×4+(-4)×3 4×(-4)+(-4)×(-3)

3×4+(-3)×3 3×(-4)+(-3)×(-3)⎞

⎝4-4

3-3⎞

=A

La propriété est donc héréditaire.

?Conclusion :On a montré par récurrence que?n?N?,An=A.◻

Exercice 6.(2 points)

SoitAla matrice carrée d"ordre4telle queai;j=0sii⩾jetai;j=i+jsii1.ÉcrireA.

A=⎛

⎝0 1+2 1+3 1+4

0 0 2+3 2+4

0 0 0 3+4

0 0 0 0⎞

⎝0 3 4 5

0 0 5 6

0 0 0 7

0 0 0 0⎞

2.DéterminerAnpour tout entier natureln. On pourra utiliser la calculatrice pour les parties calculatoires sans détailler les

calculs.

À la calculatrice, on obtient :

A

2=⎛

⎝0 0 15 46

0 0 0 35

0 0 0 0

0 0 0 0⎞

⎠A

3=⎛

⎝0 0 0 105

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0⎞

⎠A

4=⎛

⎝0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0⎞

⎠=04: la matrice nulle carrée d"ordre4 Démontrons alors par récurrence que, pour tout entiern⩾4,A4=04. L"initialisation vient d"être vérifiée pourn=4. Hérédité : Soient un entiern⩾4. Supposons queAn=04. AlorsAn+1=An×A=04×A=04. La propriété est héréditaire. Conclusion : par principe de récurrence, pour tout entiern⩾4,An=04.Roussot 4/6 2016 - 2017

Correction Devoir Surveillé 2 :arithmétique et matricesTermS spécialitéRemarque :Dans le supérieur, vous verrez que l"on dira directement : " Par récurrence immé-

diate, pour tout entiern⩾4,An=04», car l"initialisation a été vérifiée préalablement et l"hérédité

est immédiate sans difficulté technique ou de raisonnement.

En définitive :n0123n⩾4A

n⎛ ⎝1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1⎞

⎝0 3 4 5

0 0 5 6

0 0 0 7

0 0 0 0⎞

⎝0 0 15 46

0 0 0 35

0 0 0 0

0 0 0 0⎞

⎝0 0 0 105

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0⎞

⎝0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0⎞

⎠Exercice 7.(6,5 points)

Un triangle équilatéral est pavé en éléments semblables en fonction den, nombre de divisions régulières d"un côté. On colorie alors

en noir les éléments orientés comme le triangle pavé. Soit la suite(tn)n⩾1des nombres dits " triangulaires » d"éléments noirs.t

1=1t2=3t3=6t4=10

1. a. On admet quetn=1+2+:::+n. Exprimer, sans justifier,tnen fonction den(sans pointillé ni le symbole somme∑). t n=n(n+1)2 (cette formule peut se démontrer soit par récurrence soit en observant quetnest la somme dentermes consécutifs d"une suite arithmétique de premier terme1et de raison1).

b.Avec une calculatrice, déterminer un couple d"entiers naturels(p;q), avecp⩽10, tels quep2=tqet donner le nombre

" carré triangulaire » correspondant. 1

2=1=t1donc le couple(p;q)=(1 ; 1)convient et1est un carré triangulaire.

6

2=36=8×92

=t8donc le couple(p;q)=(6 ; 8)convient et36est un carré triangulaire. c.Vérifier que41616est carré triangulaire.

41616=2042et41616=288×2892

=t288.

Donc41616est carré triangulaire.

2. a. On posex=2q+1ety=2p. Démontrer quep2=tqsi, et seulement si,x2-2y2=1. Sachant quex=2q+1, on a :2q=x-1et2q+2=x+1. Ainsi : p

2=tq??p2=q(q+1)2

??8p2=4q(q+1) ??2(2p)2=2q(2q+2) ??2y2=(x-1)(x+1) ??2y2=x2-12 ??1=x2-2y2◻

b.Montrer que, si les entiers naturelsxetyvérifient l"égalitéx2-2y2=1, alorsx′ety′définis par⎛⎜

⎝x y ⎝3 4

2 3⎞

⎝x y⎞ ⎠la vérifient aussi. ⎝x y ⎝3 4

2 3⎞

⎝x y⎞ ⎝3x+4y

2x+3y⎞

Par conséquentx′=3x+4yety′=2x+3y.Roussot 5/6 2016 - 2017

Correction Devoir Surveillé 2 :arithmétique et matricesTermS spécialitéOn suppose quex2-2y2=1, montrons quex′2-2y′2=1.

x ′2-2y′2=(3x+4y)2-2(2x+3y)2 =9x2+24xy+16y2-2?4x2+12xy+9y2? =9x2+24xy+16y2-8x2-24xy-18y2 =x2-2y2 =1◻ c.Montrer que sixest impair, alorsx′l"est aussi.

Sixest impair, alors il existek?Ztel quex=2k+1.

x

Doncx′est impair.

d.Montrer que siyest pair, alorsy′l"est aussi.

Siyest impair, alors il existel?Ztel quey=2l.

y

Doncy′est pair.

e.Déterminer, à l"aide dex′ety′, un carré triangulaire strictement plus grand que41616.

Sachant quex′=3x+4yety′=2x+3yavecx;y?N?, alorsx′>xety′>y, et par conséquent p ′>petq′>q, mais aussitq′>tq. On a vu que41616=2042=t288d"oùp=204etq=288, ainsix=2×288+1=577et y=2×204=408. Doncx′=3×577+4×408=3363ety′=2×577+3×408=2378, ainsip′=y′2 =23782 =1189et q ′=x′-12 =3363-12 =1681. Conclusion : en conséquence des questions précédentes,t1681=11892=1413721est un carré

triangulaire (strictement plus grand que41616).Remarque :À partir de la méthode vue ici, on peut donc trouver une infinité de carrés

triangulaires. Vous pourrez chercher sur internet (sur wikipedia par exemple), il existe une forme explicite

des nombres carrés triangulaires, car ici notre méthode ne nous assure pas que l"on n"oublie pas

certains carrés triangulaires en passant de(x;y)à(x′;y′).

Exercice 1.2=1;5+0;5

Exercice 2.4;5=0;5+0;5+0;5+2+1

Exercice 3.2=0;75+1;25

Exercice 4.2;5=0;5+1;5+0;5Exercice 5.1;5

Exercice 6.2=0;5+1;5

Exercice 7.6;5=(0;5+0;5+0;5)+(1;5+1;5+

0;5+0;5+1)Barème

End En d

Roussot 6/

6

2016 - 2017

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