TSspémaths TS spé maths
1. Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17. n ? 4. 3n ? 17 or n ?
Contrôle : divisibilité division euclidienne E 1 E 2 E 3 E 4 E 5
Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n +5 divise 3n +4. E 3 . correction. 1. n ? N effectuer la division euclidienne
4 Maths Série dexercices Prof : Dhahbi . A **** Por : 97441893
4°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n - 4. EXERCICE N°3: On suppose que a ? 3 (mod17 ) et b ? 5 (mod 17 ). 1°/ Démontrer que 4a +
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1 2
Correction contrôle de mathématiques
23 oct. 2012 Comme d divise 3n + 4 et 9n ? 5 d divise alors : 3(3n + 4) + (?1)(9n ? 5) = 9n + 12 ? 9n + 5 = 17 b) 17 n'a que deux diviseurs
exos divisibilité
? Soit n un entier naturel. a) Démontrer que (n²+5n+4) et (n²+3n+2) sont divisibles par (n+1). b) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles
NOM :
Exercice 1 : /4. Soit n un entier. Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3. a) Montrer que a divise n² - 2n + 1. b) En déduire que a divise 3n + 2.
Cours darithmétique
3n?1 divise 5n + 3n. Exercice 3 Montrer que pour tout entier n le nombre n3 ? n est un multiple de 6. Exercice 4 (OIM 59) Montrer que la fraction 21n+4.
Contrôle de mathématiques
Or 1 n'est pas un multiple de 3 donc l'équation 51x + 39y = 1 n'admet Proposition vraie : Soit d =PGCD(3n + 4
Arithmétique dans Z
Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication ?.
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TS spé maths Exercice 1 (2 points) 1 Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17 n ? 4 3n ? 17 or n ? 4 n ? 4 ainsi n ? 4
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n ? 1 divise n ? 1 et 4n + 1 donc n ? 1 divise 4n + 1 ? 4(n ? 1) = 5 On en déduit que si n ? 1 divise n2 + 3n ? 1 alors n ? 1 est un diviseur de 5 L
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Licence de mathématiques 18-19 Calculus TD1 - Arithmétique Observations générales : Exercice 1 Déterminer les entiers naturels n tels que 5 divise n + 2
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Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1 Alors N divise n + 1 - n = 1 Donc N = -1 ou N = 1
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Donc si a divise n - 1 et n2 + n + 3 alors a ? 1-5; -1; 1; 5l 1 Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 2n + 1 divise 3n - 4 (former une
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1 Exercice 1 : /4 Soit n un entier Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3 a) Montrer que a divise n² - 2n + 1 b) En déduire que a divise 3n +
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1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810 D810 = {1; 2; 3; 5; 4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10 Si n + 3 divise n
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Dans la division euclidienne de 1512 par un entier naturel non nul b le quo- tient est 17 et le reste r Déterminer les valeurs possibles pour b et r
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Par la division euclidienne on peut écrire a = qn + r avec q r entiers et 0 ? r ? n ? 1 Et a ? r (mod n) car leur différence est qn Donc a est congru à
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n + + ; 3 2 n n ? + Exercice 4 : 1 Déterminer les diviseurs des nombres : 183875et 60 n + + + + = 2 Montrer que n divise le nombre ( )1
Chapitre1 :multiples,division euclidienne,congruence19octobre2012 Correction contrôle de mathématiques
Mardi 23 octobre 2012
Exercice1
Multiples4 points
1) a) Le théorème sur les opérations sur les multiples : Si un entieradivise les entiersb
etc,adivise toute combinaison linéaire debet dec.Commeddivise 3n+4 et 9n-5,ddivise alors :
3(3n+4)+(-1)(9n-5)=9n+12-9n+5=17
b) 17 n'a que deux diviseurs, 1 et 17 doncd?{1,17}2) a) On développe :
(n-1)(n+4)+5=n2+4n-n-4+5=n2+3n+1 b) Si (n-1) divisen2+3n+1, (n-1) divise (n-1)(n+4)+5, donc (n-1) divise 5.Les diviseurs relatifs de 5 sont :-5,-1, 1, 5.
On obtient alors les solutions suivantes :
n-1-5-115 n-4026Exercice2
Division euclidienne2 points
1) On a l'égalité suivante correspondant à la division euclidienne :
63=bq+17 avecb>17?bq=63-17=46 avecb>17
Les diviseurs de 46 sont : 1, 2, 23, 46. Commeb>17, on a les solutions suivante : ?b=46 q=1et?b=23 q=22) On a les égalités suivantes :
?n=152q+13 n=147q+98 En soustrayant termes à termes, on obtient : 5q=85 soitq=17.On a alorsn=152×17+13=2597.
Exercice3
ROC4 points
1) Voir le cours
PaulMilan1 TerminaleSsp´e
contrˆole de math´ematiques2) Voir le cours
3)Application :On a 2 013=8×251+5
Donc 2013≡5 (mod 8)?par puissance 20132013≡52013On a 5
2≡25≡1 (mod 8) et 2013=2×1006+1 par puissance et produit, on a :
52013≡?52?1006×5≡11006×5≡5 (mod 8)
Conclusion 2013
2013≡5 (mod 8)
Exercice4
Congruence3 points
1) On a la table des restes dans la congruence modulo 4
x≡0123 x2≡01013x2≡0303
2) On a :
7x2-4y2=1?7x2-1=4y2?7x2-1≡0 (mod 4)?
7x2≡1 (mod 4)?3x2≡1 (mod 4)
or d'après la table des restes, les restes de 3x2par la division par 4 sont soit 0 soit 3.L'équation n'a donc pas de solution.
3) (x+3)2≡1 (mod 4).
D'après la table des restes, on a :
x+3≡1 (mod 4) x≡ -2 (mod 4) x≡2 (mod 4)x+3≡3 (mod 4) x≡0 (mod 4) Conclusion :x≡0 (mod 4) oux≡2 (mod 4). Les solutions dansZsont tous les entiers relatifs pairs.Exercice5
Codage7 points
Partie A
1) On a les restes successifs des restes de la division par 11 des puissances de 5 suivants :
50≡1 (mod 11),51≡5 (mod 11),52≡25≡3 (mod 11)
53≡15≡4 (mod 11),54≡20≡9 (mod 11),55≡45≡1 (mod 11)
Le cycle est donc de 5. On divise alorsnpar 5 :n=5k+ravec 0?r<5. On a alors par puissance et produit : 5 n≡?55?k×5r≡1k×5r≡5r(mod 11) On obtient alors la table des congruence modulo 11 suivante :PaulMilan2TerminaleSsp´e
contrˆole de math´ematiques n≡012345n≡15349
2) On a les restes successifs des restes de la division par 11 des puissances de 2 suivants :
20≡1 (mod 11),21≡2 (mod 11),23≡8 (mod 11),24≡16≡5 (mod 11)
25≡10 (mod 11),26≡20≡9 (mod 11),27≡18≡7 (mod 11)
28≡14≡3 (mod 11),29≡6 (mod 11),210≡12≡1 (mod 11)
Le cycle est donc de 10. On divise alorsnpar 10 :n=10k+ravec 0?r<10. On a alors par puissance et produit : 2 n≡?210?k×2r≡1k×2r≡2r(mod 11) On obtient alors la table des congruence modulo 11 suivante : n≡01234567892n≡12485109736
Partie B
1) a) On obtient la grille de codage suivante :
LettreBADGE
n21475 f(n)35931LettreCEICA
b) On ne peut décoder le message sans ambiguité car les lettres B et G par exemple sont codées par la même lettre C (fn'est pas une bijection)2) Dans cette question ,gest la fonction définie surΩpar "g(n) est le reste de la division
par 11 de 2 n». a) Compléter la grille de codage suivante après l'avoir recopier :LettreABCDEFGHIJ
n12345678910 g(n)24851097361LettreBDHEJIGCFA
b) Cette grille permet de décoder tout message sans ambiguitécar chaque lettre est codée par une lettre différente des autres. (gest alors une bijection)Le mot " EJIF» est le code du mot "DEFI »!
PaulMilan3TerminaleSsp´e
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