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1. Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17. n ? 4. 3n ? 17 or n ?
Contrôle : divisibilité division euclidienne E 1 E 2 E 3 E 4 E 5
Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n +5 divise 3n +4. E 3 . correction. 1. n ? N effectuer la division euclidienne
4 Maths Série dexercices Prof : Dhahbi . A **** Por : 97441893
4°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n - 4. EXERCICE N°3: On suppose que a ? 3 (mod17 ) et b ? 5 (mod 17 ). 1°/ Démontrer que 4a +
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1 2
Correction contrôle de mathématiques
23 oct. 2012 Comme d divise 3n + 4 et 9n ? 5 d divise alors : 3(3n + 4) + (?1)(9n ? 5) = 9n + 12 ? 9n + 5 = 17 b) 17 n'a que deux diviseurs
exos divisibilité
? Soit n un entier naturel. a) Démontrer que (n²+5n+4) et (n²+3n+2) sont divisibles par (n+1). b) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles
NOM :
Exercice 1 : /4. Soit n un entier. Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3. a) Montrer que a divise n² - 2n + 1. b) En déduire que a divise 3n + 2.
Cours darithmétique
3n?1 divise 5n + 3n. Exercice 3 Montrer que pour tout entier n le nombre n3 ? n est un multiple de 6. Exercice 4 (OIM 59) Montrer que la fraction 21n+4.
Contrôle de mathématiques
Or 1 n'est pas un multiple de 3 donc l'équation 51x + 39y = 1 n'admet Proposition vraie : Soit d =PGCD(3n + 4
Arithmétique dans Z
Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication ?.
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TS spé maths Exercice 1 (2 points) 1 Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17 n ? 4 3n ? 17 or n ? 4 n ? 4 ainsi n ? 4
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n ? 1 divise n ? 1 et 4n + 1 donc n ? 1 divise 4n + 1 ? 4(n ? 1) = 5 On en déduit que si n ? 1 divise n2 + 3n ? 1 alors n ? 1 est un diviseur de 5 L
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Licence de mathématiques 18-19 Calculus TD1 - Arithmétique Observations générales : Exercice 1 Déterminer les entiers naturels n tels que 5 divise n + 2
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Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1 Alors N divise n + 1 - n = 1 Donc N = -1 ou N = 1
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Donc si a divise n - 1 et n2 + n + 3 alors a ? 1-5; -1; 1; 5l 1 Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 2n + 1 divise 3n - 4 (former une
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1 Exercice 1 : /4 Soit n un entier Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3 a) Montrer que a divise n² - 2n + 1 b) En déduire que a divise 3n +
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1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810 D810 = {1; 2; 3; 5; 4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10 Si n + 3 divise n
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Dans la division euclidienne de 1512 par un entier naturel non nul b le quo- tient est 17 et le reste r Déterminer les valeurs possibles pour b et r
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Par la division euclidienne on peut écrire a = qn + r avec q r entiers et 0 ? r ? n ? 1 Et a ? r (mod n) car leur différence est qn Donc a est congru à
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n + + ; 3 2 n n ? + Exercice 4 : 1 Déterminer les diviseurs des nombres : 183875et 60 n + + + + = 2 Montrer que n divise le nombre ( )1
Spécialité Terminale S IE1 divisibilité S1 2011-2012 1 Exercice 1 : /4
Soit n un entier. Soit a un entier qui divise n ² 1 et n² + n + 3. a) Montrer que a divise n² - 2n + 1. b) En déduire que a divise 3n + 2. c) Montrer alors que a divise 5. d) Quels sont les entiers a solutions ?Exercice 2 : /3
Le reste de la division euclidienne de 321 par l'entier naturel b est 75. Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient.Exercice 3 : /3
Déterminer les entiers naturels n tels que le quotient 5n + 3 n + 2 soit un entier. Spécialité Terminale S IE1 divisibilité S2 2010-2011Exercice 1 : /4
Soit n un entier. Soit b un entier qui divise n + 1 et n² + n - 2. a) Montrer que b divise n² + 2n + 1. b) En déduire que b divise n + 3. c) Montrer alors que b divise 2. d) Quels sont les entiers b solutions ?Exercice 2 : /3
Le reste de la division euclidienne de 432 par l'entier naturel b est 102. Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient.Exercice 3 : /3
Déterminer les entiers naturels n tels que le quotient 7n + 10 n + 3 soit un entier. Spécialité Terminale S IE1 divisibilité S1 2011-2012CORRECTION
2Exercice 1 : /4
Soit n un entier. Soit a un entier qui divise n ² 1 et n² + n + 3. a) Montrer que a divise n² - 2n + 1. b) En déduire que a divise 3n + 2. c) Montrer alors que a divise 5. d) Quels sont les entiers a solutions ? a) Si a divise n ² 1 alors a divise (n ² 1)²; soit a divise n² - 2n + 1 Dans les questions b) et c) on utilise la propriété suivante : "Si a divise b et a divise c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c".b) Si a divise n² - 2n + 1 et a divise n² + n + 3 alors a divise (n² + n + 3) ² (n² - 2n + 1)
Soit a divise 3n + 2
c) a divise 3n + 2 et a divise n ² 1 donc a divise (3n + 2) ² 3(n ² 1)Donc a divise 5
d) Les diviseurs de 5 sont -5,-1,1 et 5. -5 et 5 ne sont pas solutions pour toute valeur de n.Les entiers a solutions sont donc -1 et 1.
Exercice 2 : /3
Le reste de la division euclidienne de 321 par l'entier naturel b est 75. Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient.On a : 321 = bq + 75 avec 0 75 < b
Donc bq = 321 ² 75 = 246
Donc b et q sont des diviseurs de 75 avec b > 75.
Or les diviseurs de 246 sont : 1 - 2 - 3 - 6 - 41 - 82 - 123 ² 246.Donc b = 82 ou 123 ou 246
Les valeurs possibles pour les couples (b;q) sont : (82;3), (123 ;2) et (246;1).Exercice 3 : /3
Déterminer les entiers naturels n tels que le quotient 5n + 3 n + 2 soit un entier.Si le quotient 5n + 3
n + 2 est un entier alors n + 2 divise 5n + 3.Or n + 2 divise 5(n + 2) ² (5n + 3)
Donc n + 2 divise 7
Donc n + 2 = 1 ou n + 2 = 7
n+ 2 = 1 est impossible car n 9Donc n = 5
Vérification : pour n = 5, 5n + 3
n + 2 = 55 + 37 =4 qui est bien un entier naturel.
Spécialité Terminale S IE1 divisibilité S2 2011-2012CORRECTION
3Exercice 1 : /4
Soit n un entier. Soit b un entier qui divise n + 1 et n² + n - 2. a) Montrer que b divise n² + 2n + 1. b) En déduire que b divise n + 3. c) Montrer alors que b divise 2. d) Quels sont les entiers b solutions ? a) Si b divise n + 1 alors b divise (n + 1)²; soit b divise n² + 2n + 1 Dans les questions b) et c) on utilise la propriété suivante : "Si a divise b et a divise c alors a divise toute combinaison linéaire de b et c".b) b divise n² + 2n + 1 et b divise n² + n ² 2; donc b divise (n² + 2n + 1) ² (n² + n - 2)
Soit b divise n + 3
c) b divise n + 1 et b divise n + 3 donc b divise (n + 3) ² (n + 1)Donc b divise 2
d) Les diviseurs de 2 sont -2,-1,1 et 2. -2 et 2 ne sont pas solutions pour toute valeur de n.Les entiers b solutions sont donc -1 et 1.
Exercice 2 : /3
Le reste de la division euclidienne de 432 par l'entier naturel b est 102. Déterminer les valeurs possibles de b et du quotient.On a : 432 = bq + 102 avec 0 102 < q
Donc bq = 432 ² 102 = 330
D'où b < 330
102 < 4
Donc b = 1 ou 2 ou 3
Les valeurs possibles pour les couples (b;q) sont : (1;330), (2;165) et (3;110).Exercice 3 : /3
Déterminer les entiers naturels n tels que le quotient 7n + 10 n + 3 soit un entier.Si le quotient 7n + 10
n + 3 est un entier alors n + 3 divise 7n + 10.Or n + 3 divise 7(n + 3) ² (7n + 10)
Donc n + 3 divise 11
Donc n + 3 = 1 ou n + 3 = 11
n+ 3 = 1 est impossible car n 9Donc n = 8
Vérification : pour n = 8, 7n + 10
n + 3 = 78 + 1011 =6 qui est bien un entier naturel.
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