TSspémaths TS spé maths
1. Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17. n ? 4. 3n ? 17 or n ?
Contrôle : divisibilité division euclidienne E 1 E 2 E 3 E 4 E 5
Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n +5 divise 3n +4. E 3 . correction. 1. n ? N effectuer la division euclidienne
4 Maths Série dexercices Prof : Dhahbi . A **** Por : 97441893
4°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n - 4. EXERCICE N°3: On suppose que a ? 3 (mod17 ) et b ? 5 (mod 17 ). 1°/ Démontrer que 4a +
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1 2
Correction contrôle de mathématiques
23 oct. 2012 Comme d divise 3n + 4 et 9n ? 5 d divise alors : 3(3n + 4) + (?1)(9n ? 5) = 9n + 12 ? 9n + 5 = 17 b) 17 n'a que deux diviseurs
exos divisibilité
? Soit n un entier naturel. a) Démontrer que (n²+5n+4) et (n²+3n+2) sont divisibles par (n+1). b) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles
NOM :
Exercice 1 : /4. Soit n un entier. Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3. a) Montrer que a divise n² - 2n + 1. b) En déduire que a divise 3n + 2.
Cours darithmétique
3n?1 divise 5n + 3n. Exercice 3 Montrer que pour tout entier n le nombre n3 ? n est un multiple de 6. Exercice 4 (OIM 59) Montrer que la fraction 21n+4.
Contrôle de mathématiques
Or 1 n'est pas un multiple de 3 donc l'équation 51x + 39y = 1 n'admet Proposition vraie : Soit d =PGCD(3n + 4
Arithmétique dans Z
Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication ?.
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TS spé maths Exercice 1 (2 points) 1 Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17 n ? 4 3n ? 17 or n ? 4 n ? 4 ainsi n ? 4
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n ? 1 divise n ? 1 et 4n + 1 donc n ? 1 divise 4n + 1 ? 4(n ? 1) = 5 On en déduit que si n ? 1 divise n2 + 3n ? 1 alors n ? 1 est un diviseur de 5 L
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Licence de mathématiques 18-19 Calculus TD1 - Arithmétique Observations générales : Exercice 1 Déterminer les entiers naturels n tels que 5 divise n + 2
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Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1 Alors N divise n + 1 - n = 1 Donc N = -1 ou N = 1
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Donc si a divise n - 1 et n2 + n + 3 alors a ? 1-5; -1; 1; 5l 1 Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 2n + 1 divise 3n - 4 (former une
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1 Exercice 1 : /4 Soit n un entier Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3 a) Montrer que a divise n² - 2n + 1 b) En déduire que a divise 3n +
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1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810 D810 = {1; 2; 3; 5; 4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10 Si n + 3 divise n
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Dans la division euclidienne de 1512 par un entier naturel non nul b le quo- tient est 17 et le reste r Déterminer les valeurs possibles pour b et r
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Par la division euclidienne on peut écrire a = qn + r avec q r entiers et 0 ? r ? n ? 1 Et a ? r (mod n) car leur différence est qn Donc a est congru à
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n + + ; 3 2 n n ? + Exercice 4 : 1 Déterminer les diviseurs des nombres : 183875et 60 n + + + + = 2 Montrer que n divise le nombre ( )1
Section : 4éme Maths
Prof : Dhahbi . A **** Por : 97441893 Arithmétiques : Divisibilité dans ZEXERCICE N°1 :QCM
Cocher la réponse exacte :
1°/ 257 est congru à 2 modulo
0 2 0 5. 0 7.
2°/ le reste de la division euclidienne par 5 de 32009.
0 1 0 2. 0 3.
3°/ Pour tout entier naturel n,
0 n3 n
0 (mod 6). 0 n3 n
0 (mod 12). 0 n3 n
n2 (mod 6).4°/ Soit a un entier non nul. Si a
19 (mod 20) alors :
0 a420
1 (mod 20). 0 a420
- 1 ( mod 20). 0 a42019 x 402 (mod 20).
EXERCICE N°2:
2°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n 4 divise 6.
3°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n 4 divise n + 2.
4°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n - 4.
EXERCICE N°3:
On suppose que a
3 (mod17 ) et b
5 (mod 17 ).
1°/ Démontrer que 4a + b est un multiple de 17.
2°/ Démontrer que 7a + 5b
12 ( mod 17 ).
3°/ Démontrer que a2 + b2 est un multiple de 17.
4°/ Déterminer le reste de la division euclidienne de a3 + 3b2 par 17.
EXERCICE N°4 :
1°/ Montrer que 9 divise 73n 1, pour tout entier naturel.
: 2 x 352008 3 x 8420075 ( mod17)
a) 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7. b) 3 x 52n-1 + 23n-2 est divisible par 17. c) 3 n+3 - 4 4n+2 est divisible par 11.EXERCICE N°5:
vision euclidienne de 3n par 8. n . n - 9n + 2 soit divisible par 8.3°/ a) Montrer que pour tout entier naturel n, 32n
1(mod8).
b) En déduire que le nombre 34n+1 + 32n+1 + 2 est divisible par 8.EXERCICE N°6:
1°/ Quel est le reste de la division euclidienne par 7 du nombre 3245.
2°/ Quel est le reste de la division euclidienne par 11 du nombre 3227.
3°/ Quel est le reste de la division euclidienne par 19 du nombre 57383114.
4°/ Quel est le reste de la division euclidienne par 2008 du nombre 20072006.
EXERCICE N°7:
1°/ a) Déterminer le reste de la division de 5p par 13 pour tout p entier naturel.
b) En déduire que 19811981 5 est divisible par 13.2°/ En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre N = 314n+1 + 18 4n + 3
est divisible par 13.EXERCICE N°9:
1°/ Prouver les équivalences suivantes :
a) 3x8 ( mod10)
x6 (mod10)
a) x26 (mod 10)
x4 (mod10) et x
6 (mod10)
EXERCICE N°10:
Résoudre dans Z
1°/ x2
1 (mod 8)
2°/ x2
-1 (mod11)3°/ x2
-2 (mod 11): Arithmétiques 1 Dhahbi . A
:4éme MathsEXERCICE N°11:
1°/ Vérifier que 34
-1 (mod 41).2°/ Quel est le reste modulo 41 de 7x 320 + 6
EXERCICE N°12:
Soit n
IN ; An = n ( n2 1 ) ( n2 4 ) et Bn = n5 n .1°/ a) Montrer que An
0 (mod 5).
b) Calculer An - Bn puis en déduire que Bn0 ( mod 5)
2°/ a et b deux entiers relatifs .Démontrer que ( a + b ) 5 a5 b5
0 (mod 5).
3°/ En déduire que pour tout a et b dans Z : a5 + b5
0 ( mod 5)
a + b0 (mod 5).
4°/ Déterminer les entiers naturels a tels que a5 + 32
0 ( mod 5
EXERCICE N°13:
Déterminer tous les entiers a et b tels que ab
-2 ( mod 8) .EXERCICE N°14 :
n modulo 7. b) En déduire le reste de 247349 modulo7.2°/ Calculer le reste de 298349 modulo13.
EXERCICE N°15:
1°/ a) Pour tout entier naturel n, déterminer suivant les valeurs de n le reste de la division de 2n par 3.
b) Déterminer le reste modulo 3 de (40502)20092°/ a) Montrer que pour tout n de IN, 52n
1 ( mod 3).
: 2n - 52n0 ( mod 3).
: (40502)n - (40525)n0 (mod 3).
EXERCICE N°16 : ( Théorème de Fermat)
Quel est le reste de la division de 71347 18 par 19.EXERCICE N°17:
1°/ Démontrer que pour tout entier naturel n, 4n est congru à 1 modulo 3.
petit théorème de Fermat, que 428 1 est divisible par 29.3°/ Pour tout entier naturel 1 n par 17.
En déduire que, pour tout entier k, le nombre 44k - 1 est divisible par 17.4°/ Pour quels entiers naturels n, le nombre 4n 1 est divisible par 5.
, déterminer quatre diviseurs premiers de 428 1.EXERCICE N°18:
1°/ Déterminer le reste modulo 3 de 2008 . En déduire le reste modulo 3 de 2008 2009.
2°/ Déterminer le reste modulo 5 de chacun des entiers 2011 2009 , (- 2011) 2009 et 2008 2009.
EXERCICE N°19:
1°/ On note n un entier naturel.
Quels sont les restes possibles des divisions euclidiennes de l entier naturel n2 par 5.2°/ a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 2n+4
2n ( mod 5).
b) Trouver, sans l aide de la calculatrice, le reste de la division euclidienne de 121527 par 5.3°/ a) Démontrer que pour tout entier naturel n, 5n+6
5n ( mod 7).
b) Démontrer que pour tout entier naturel n, 2n+62n ( mod 7).
c) Trouver, sans l aide de la calculatrice, le reste de la division euclidienne de 1952 x 2341 par 7.
Pour une bonne réussite
Signature : Dhahbi . A
: Arithmétiques 2 Dhahbi . A
Section : 4éme Maths
Prof : Dhahbi . A **** Por : 97441893 Arithmétiques : Identité de BézoutEXERCICE N°1:
1°/ a = 9185 et b = 2007 2°/ a = 5633 b = 4847 3°/ a = - 5617 b = 813.
EXERCICE N°2:
n est un entier supérieur ou égal à 6 , on pose : A = n 1 et B = n2 -3n + 6 .1°/ Montrer que le PGCD(A, B) est égal au PGCD(A, 4 ).
2°/ Déterminer suivant les valeurs de n le PGCD(A, B).
e 1 632n nn est- il un entier relatif ?
EXERCICE N°3:
On admet que 1999 est un nombre premier.
EXERCICE N°4:
rs naturels ( a , b ) tels que : a b = 216 a ^ b = 6EXERCICE N°5:
: a + b = 168 a ^ b = 21EXERCICE N°6:
Soit a
IN et b
IN tel que a + b = 23
1°/ Montrer que a et b son premier entre eux.
2°/ En déduire a et b sachant que a < b et PPCM ( a , b ) = 126.
EXERCICE N°7 :
Soit n entier naturel non nul. A = 3 n + 1 et B = 5 n 1 Démontrer que le PGCD de A et B est un diviseur de 8.EXERCICE N°8:
Soit k un entier naturel non nul.
1°/ Montrer que les entiers 2k + 1 et 9k + 4 sont premiers entre eux.
2°/ Démontrer que le PGCD des nombres 2 k + 1 et 9k 4 est 1 ou 17.
(On distinguera les cas 0 < k .3°/ Pour quelles valeurs de k ce PGCD est il égal à 17 ?
EXERCICE N°9 :(Théorème de Gauss )
1°/ Enoncer le théorème de Gauss.
2°/ Trouver tous lx, y) tel que 2 x 3 y = 0 .
EXERCICE N°10:
1°/ On considère l: 7x
1 (mod19)
a) Vérifier que 11 est une solution particulière de 7x1 (mod19).
b) On suppose que x est solution, déduire que 7(x-11)0 (mod19).
c) quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] exercices corrigés association de résistances
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