TSspémaths TS spé maths
1. Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17. n ? 4. 3n ? 17 or n ?
Contrôle : divisibilité division euclidienne E 1 E 2 E 3 E 4 E 5
Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n +5 divise 3n +4. E 3 . correction. 1. n ? N effectuer la division euclidienne
4 Maths Série dexercices Prof : Dhahbi . A **** Por : 97441893
4°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n - 4. EXERCICE N°3: On suppose que a ? 3 (mod17 ) et b ? 5 (mod 17 ). 1°/ Démontrer que 4a +
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1 2
Correction contrôle de mathématiques
23 oct. 2012 Comme d divise 3n + 4 et 9n ? 5 d divise alors : 3(3n + 4) + (?1)(9n ? 5) = 9n + 12 ? 9n + 5 = 17 b) 17 n'a que deux diviseurs
exos divisibilité
? Soit n un entier naturel. a) Démontrer que (n²+5n+4) et (n²+3n+2) sont divisibles par (n+1). b) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles
NOM :
Exercice 1 : /4. Soit n un entier. Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3. a) Montrer que a divise n² - 2n + 1. b) En déduire que a divise 3n + 2.
Cours darithmétique
3n?1 divise 5n + 3n. Exercice 3 Montrer que pour tout entier n le nombre n3 ? n est un multiple de 6. Exercice 4 (OIM 59) Montrer que la fraction 21n+4.
Contrôle de mathématiques
Or 1 n'est pas un multiple de 3 donc l'équation 51x + 39y = 1 n'admet Proposition vraie : Soit d =PGCD(3n + 4
Arithmétique dans Z
Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication ?.
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TS spé maths Exercice 1 (2 points) 1 Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17 n ? 4 3n ? 17 or n ? 4 n ? 4 ainsi n ? 4
[PDF] Corrigé du contrôle n?1
n ? 1 divise n ? 1 et 4n + 1 donc n ? 1 divise 4n + 1 ? 4(n ? 1) = 5 On en déduit que si n ? 1 divise n2 + 3n ? 1 alors n ? 1 est un diviseur de 5 L
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Licence de mathématiques 18-19 Calculus TD1 - Arithmétique Observations générales : Exercice 1 Déterminer les entiers naturels n tels que 5 divise n + 2
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Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1 Alors N divise n + 1 - n = 1 Donc N = -1 ou N = 1
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Donc si a divise n - 1 et n2 + n + 3 alors a ? 1-5; -1; 1; 5l 1 Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 2n + 1 divise 3n - 4 (former une
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1 Exercice 1 : /4 Soit n un entier Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3 a) Montrer que a divise n² - 2n + 1 b) En déduire que a divise 3n +
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1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810 D810 = {1; 2; 3; 5; 4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10 Si n + 3 divise n
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Dans la division euclidienne de 1512 par un entier naturel non nul b le quo- tient est 17 et le reste r Déterminer les valeurs possibles pour b et r
[PDF] chapitre 3 : congruences et arithmétique modulaire
Par la division euclidienne on peut écrire a = qn + r avec q r entiers et 0 ? r ? n ? 1 Et a ? r (mod n) car leur différence est qn Donc a est congru à
[PDF] Lensemble des entiers naturels Notions sur larithmétiques
n + + ; 3 2 n n ? + Exercice 4 : 1 Déterminer les diviseurs des nombres : 183875et 60 n + + + + = 2 Montrer que n divise le nombre ( )1
TS*-spé
N. Véron-LMB
Feuille d"exercices: Divisibilité dans ????
1. Application du cours
? Démontrer que la somme de trois entiers consécutifs est divisible par 3. ? Soit n un entier, démontrer que (n²-4n-5) est divisible par(n+1) ? Soit a et b deux entiers relatifs non nuls. a) Développer (a+b) 3 b) Démontrer que 3 divise a3+b3 si et seulement si 3 divise (a+b)3.
? On décide de former des nombres, dans le système décimal, en écrivant de gauche à droite 4 chiffres consécutifs dans l"ordre croissant, puis en permutant les deux chiffres de gauche.Par exemple: 5467
Démontrer que tous les entiers obtenus sont divisibles par 11. ? 6-8-13 page 22 et 81-88 page 28 ? 89-90-(91)-92 page 28 ? 16-(17)-18 page 23 ? Soit n un entier naturel. a) Démontrer que (n²+5n+4) et (n²+3n+2) sont divisibles par (n+1). b) Déterminer l"ensemble des valeurs de n pour lesquelles (3n²+15n+19) est divisible par (n+1). c) En déduire que , pour tout entier naturel n, (3n²+15n+19) n"est pas divisible par (n²+3n+2).2. Utilisation d"un raisonnement par récurrence.
? 86 page 28 ? Démontrer par récurrence sur n³1, que le nombre 22n+6n-1 est divisible par 9.
3. Chercher
? 84-85-94-(98) page 28? Le problème consiste à trouver les couples (x,y) d"entiers naturels vérifiant l"égalité:
3(x²+y²)+2xy=664
a) Soit (x,y) une solution. Montrer qu"il existe un couple (s,t) d"entiers relatifs vérifiant x-y=2t et x+y=2s b) Montrer que t est pair et s est impair. c) Conclure On peut utiliser une autre méthode en se faisant aider par une machine.....TS*-spé
N. Véron-LMB
Eléments de correction-Exercices sur la divisibilité dans ?.1. Applications du cours
? a)Soit nÎ? n²+5n+4=(n+1)(n+4) et (n+4)Î? donc (n+1) divise (n²+5n+4) n²+3n+2=(n+1)(n+2) et (n+2)Î? donc (n+1) divise (n²+3n+2) b) Soit nÎ?, on remarque que n²+15n+19=n²+15n+12+7=3(n²+5n+4)+7.On sait que (n+1) divise (n²+5n+4) donc (n+1) divise (n²+15n+19) si et seulement si (n+1) divise 7.
Les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7 , par suite: (n+1) divise (n²+5n+4) Û (n+1=1) ou (n+1=7)Û n=0 ou n=6
c) Supposons qu"il existe un entier naturel n tel que (n²+3n+2) divise (3n²+15n+19). Comme (n+1) divise (n²+3n+2) alors (n+1) divise (3n²+15n19).D"après b) on a donc n=0 ou n=6.
Or pour n=0, n²+3n+2=2 et 3n²+15n+19=19. 2 ne divise pas 19 donc 0 ne convient pas. Pour n=6, n²+3n+2=56 et 3n²+15n+19=217. 56 ne divise pas 217 donc 6 ne convient pas. En conclusion il n"existe aucun entier n tel que (n²+3n+2) divise (3n²+15n+19). Ou encore, pour tout entier naturel n, (n²+3n+2) ne divise pas (3n²+15n+19).3. Chercher
? Exercices du livre84 page 28:
2°) Soit aÎ?*,
a²+a=a(a+1) et ce nombre est pair. Il existe donc mÎ?* tel que a²+a=2m. a²-a=a(a-1) est également pair. Il existe donc pÎ?* tel que a²-a=2p.On a bien m+p=a² et m-p=a.
3°) Soit a un entier naturel non nul et m et p les deux entiers définis comme ci-dessus.
On a (m+p)(m-p)=a
3 soit a3=m²-p².
Exemple: a=2009.
a²+a=4038090 donc m=2019045 a²-a=4034072 donc p=2017036. on a bien m²-p²= 2009 385 page 28
(n+1)²-n²=2n+194 page 28
1°) Soit p un diviseur commun à (x
1-y1) et (x2-y2).
Par combinaison linéaire, p divise également x2(x1-y1)+y1(x2-y2)=x1x2-y1y2
2°) Soit p un diviseur commun à (x
1-y1), (x2-y2) et (x3-y3).
p divise également (x1x2-y1y2) d"après 1°).
Par combinaison linéaire p divise alors x
3(x1x2-y1y2)+y1y2(x3-y3)=x1x2x3-y1y2y3
98 page 29: Sera revu plus tard pour un DM. Un méthode possible est la démonstration par
récurrence. Dans la question 3°) l"hérédité se montre elle même par récurrence. ? Une solution suivant la méthode proposée:TS*-spé
N. Véron-LMB
Remarquons tout d"abord que x et y ont des rôles symétriques c"est à dire que (x,y) est solution
si et seulement si (y;x) est solution. On peut donc se restreindre à chercher les couples solutions
avec x³y. a) Soit (x,y) une solution de l"équation., on a: 3(x²+y²)+2xy=2(x+y)²+(x-y)² Donc 3(x²+y²)+2xy=664 Û 2(x+y)²+(x-y)²=664 (1)2(x+y)² et 664 sont pairs donc (x-y)² est pair.
Or n² est pair si et seulement si n est pair (résultat souvent utilisé), donc (x-y) est pair. Par
suite, il existe un entier naturel t tel que x-y=2t. (1) Û 2(x+y)²+4t²=664Û (x+y)²+2t²=332
2t² et 332 sont pairs donc (x+y)² et (x+y) aussi. Il existe donc un entier naturel s tel que
x+y=2s. b) Remplaçons alors (x+y) et (x-y) dans l"égalité (1), on obtient:2(2s)²+(2t)²=664 Û 8s²+4t²=664
Û 2s²+t²=166.
Un raisonnement analogue au précédent montre que t² est pair donc t est pair. posons t=2t" où t"Î? dans l"égalité précédente, on obtient2s²+4t"²=166 Û s²+2t"²=83 Û s²=83-2t"².
s² est donc impair et s aussi. c) Posons enfin s=2s"+1 où s"Î?.On obtient, en remplaçant:
(2s"+1)²+2t"²=83 Û 4s"²+4s"+1+2t"²=83Û 2s"(s+1)+t"²=41
Il est clair que t" est nécessairement impair. On essaye donc des valeursPour t"=1 on obtient s"(s"+1)=20 et s"=4
Pour t"=3 on obtient s"(s"+1)=16 qui n"a pas de solution dans ? Pour t"=5 on obtient s"(s"+1)=8 qui n"a pas de solution dans ? Pour t"³7, t"²³41 donc 2s"(s+1)+t"²=41 n"a pas de solution dans ?².Ainsi la seule possibilité est t"=1 et s"=4.
Soit s=9 et t=2, puis x+y=18 et x-y=4 et enfin x=11 et y=7. Les solutions possibles sont les couples (11;7) et (7;11) qui sont effectivement solutions. Un autre façon de faire avec Scilab ou une calculatrice. x et y sont des entiers naturels donc ils sont positifs ou nuls.Par suite,
3(x²+y²)+2xy ³ 3x² (valeur si y=0) et 3(x²+y²)+2xy ³ 3y² (valeur si x=0)
Donc, si (x,y) est solution, 3x²£664 et 3y²£ 664 soit x£14 et y£14. Il suffit de tester tous les couples vérifiant cette majoration. Par exemple avec scilab: (vous pouvez faire un copier coller de ce texte directement dans la console) for x=1:14 for y=1:14N=3*(x^2+y^2)+2*x*y;
if N==664 disp([x,y]) end end endquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] exercices corrigés association de résistances
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