TSspémaths TS spé maths
1. Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17. n ? 4. 3n ? 17 or n ?
Contrôle : divisibilité division euclidienne E 1 E 2 E 3 E 4 E 5
Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tels que 2n +5 divise 3n +4. E 3 . correction. 1. n ? N effectuer la division euclidienne
4 Maths Série dexercices Prof : Dhahbi . A **** Por : 97441893
4°/ Déterminer les entiers relatifs n tels que n + 1 divise 3n - 4. EXERCICE N°3: On suppose que a ? 3 (mod17 ) et b ? 5 (mod 17 ). 1°/ Démontrer que 4a +
PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Les diviseurs communs à 60 et 100 sont : 1 2
Correction contrôle de mathématiques
23 oct. 2012 Comme d divise 3n + 4 et 9n ? 5 d divise alors : 3(3n + 4) + (?1)(9n ? 5) = 9n + 12 ? 9n + 5 = 17 b) 17 n'a que deux diviseurs
exos divisibilité
? Soit n un entier naturel. a) Démontrer que (n²+5n+4) et (n²+3n+2) sont divisibles par (n+1). b) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles
NOM :
Exercice 1 : /4. Soit n un entier. Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3. a) Montrer que a divise n² - 2n + 1. b) En déduire que a divise 3n + 2.
Cours darithmétique
3n?1 divise 5n + 3n. Exercice 3 Montrer que pour tout entier n le nombre n3 ? n est un multiple de 6. Exercice 4 (OIM 59) Montrer que la fraction 21n+4.
Contrôle de mathématiques
Or 1 n'est pas un multiple de 3 donc l'équation 51x + 39y = 1 n'admet Proposition vraie : Soit d =PGCD(3n + 4
Arithmétique dans Z
Exercice 4. Démontrer que le nombre 7n +1 est divisible par 8 si n est impair; dans le cas n pair donner le reste de sa division par 8. Indication ?.
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TS spé maths Exercice 1 (2 points) 1 Déterminer les entiers relatifs n tels que n ? 4 divise 3n ? 17 n ? 4 3n ? 17 or n ? 4 n ? 4 ainsi n ? 4
[PDF] Corrigé du contrôle n?1
n ? 1 divise n ? 1 et 4n + 1 donc n ? 1 divise 4n + 1 ? 4(n ? 1) = 5 On en déduit que si n ? 1 divise n2 + 3n ? 1 alors n ? 1 est un diviseur de 5 L
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Licence de mathématiques 18-19 Calculus TD1 - Arithmétique Observations générales : Exercice 1 Déterminer les entiers naturels n tels que 5 divise n + 2
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Exemple : Soit un entier relatif N qui divise les entiers relatifs n et n + 1 Alors N divise n + 1 - n = 1 Donc N = -1 ou N = 1
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Donc si a divise n - 1 et n2 + n + 3 alors a ? 1-5; -1; 1; 5l 1 Déterminer tous les entiers relatifs n tels que 2n + 1 divise 3n - 4 (former une
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1 Exercice 1 : /4 Soit n un entier Soit a un entier qui divise n – 1 et n² + n + 3 a) Montrer que a divise n² - 2n + 1 b) En déduire que a divise 3n +
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1) Trouver dans N tous les diviseurs de 810 D810 = {1; 2; 3; 5; 4) Trouver tous les entiers relatifs n tels que n + 3 divise n + 10 Si n + 3 divise n
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Dans la division euclidienne de 1512 par un entier naturel non nul b le quo- tient est 17 et le reste r Déterminer les valeurs possibles pour b et r
[PDF] chapitre 3 : congruences et arithmétique modulaire
Par la division euclidienne on peut écrire a = qn + r avec q r entiers et 0 ? r ? n ? 1 Et a ? r (mod n) car leur différence est qn Donc a est congru à
[PDF] Lensemble des entiers naturels Notions sur larithmétiques
n + + ; 3 2 n n ? + Exercice 4 : 1 Déterminer les diviseurs des nombres : 183875et 60 n + + + + = 2 Montrer que n divise le nombre ( )1
Terminale S spé
Contrôle de mathématiques
Correction du Lundi 06 décembre 2010
Exercice 1
Question de cours. (2 points)
Énoncer puis démontrer le théorème de Gauss.Voir le cours
Exercice 2
PGCD et PPCM. (4,5 points)
1) A vecl"algorithme d"Euclide, déterminer le pgcd de 2010 et 5159.On obtient les divisions suivantes :
5159=20102+1139
2010=11391+871
1139=8711+268
871=2683+67
268=674
On en déduit que : PGCD(2010;5159)=67
2) Démontrer que pour tout entier relatif k, 14k+3 et 5k+1 sont premier entre eux.Calculons la quantité suivante :
5(14k+3)+(14)(5k+1)=70k+1570k14=1
D"après le théorème de Bezout, 14k+3 et 5k+1 sont premier entre eux. 3) Deux entiers positifs ont pour PGCD 6 et pour PPCM 102. Déterminer ces entiers. Soitxety,x102=6x0y0,x0y0=17
or 17 n"a que deux diviseurs 1 et 17, doncx0=1 ety0=17 qui sont premiers entre eux. Les deux entiers sont doncx=6 ety=617=102.Paul Milan 1 sur4 10 décembre 2010 contrˆole de math´ematiquesTerminale S spé4)Existe-t-il des couples d"entiers ( x;y) solution de l"équation 51x+39y=1? Vous
citerez le théorème utilisé. Calculons le PGCD(51,39) par l"algorithme d"Euclide :51=391+12
39=123+3
12=34 Donc le PGCD(51;39)=3. De plus le corollaire de Bezout nous dit que : l"équa- tionax+by=cadmet des solutions entière si et seulement sicest un multiple du PGCD(a;b). Or 1 n"est pas un multiple de 3, donc l"équation 51x+39y=1 n"admet pas de solution entière.Exercice 3
Vrai - Faux (4 points)
Pour chacune des 4 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et don- ner une démonstration de la réponse choisie. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. Proposition 1: Pour tout entier naturelnnon nul,net 2n+1 sont premiers entre eux. Proposition vraie: en eet, on a (2)n+(1)(2n+1)=1, donc d"après le théorème de Bezout, les entiers naturelsnet 2n+1 sont premiers entre eux. Proposition 2: L"ensemble des couples d"entiers relatifs (x;y) solutions de l"équation12x5y=3 est l"ensemble des couples de la forme (4+10k;9+24k) oùk2Z.
Proposition fausse: il existe des solutions de l"équation 12x5y=3 qui ne sont pas de la forme (4+10k;9+24k). Par exemple (9;21) est solution de l"équation :129521=108105=3 et n"est pas de la forme (4+10k;9+24k).
Proposition 3: Si un entier naturelnest congru à 1 modulo 7 alors le PGCD de 3n+4 et 4n+3 est égal à 7. Proposition vraie: Soitd=PGCD(3n+4;4n+3), doncddivise 3n+4 et 4n+3 doncddivise 4(3n+4)3(4n+3)=7 De plus sin1 mod 7, d"après la compatibilité de la congruence avec l"addition et la multiplication, on a :3n+43+4 mod 7 donc 3n+40 mod 7 et
4n+34+3 mod 7 donc 3n+40 mod 7
Les entiers 3n+4 et 4n+3 sont donc divisible par 7 et commeddivise 7, on ad=7 Proposition 4: S"il existe deux entiers relatifsuetvtel queau+bv=2 alors le PGCD deaetbest égal à 2. Proposition fausse: en eet 5 et 7 sont premiers entre eux et (1)5+(1)7=2Exercice 4
PGCD (2,5 points)
Soitnun entier naturel non nul. On considère les nombresaetbtels que : a=2n3+5n2+4n+1 etb=2n2+n:Paul Milan 2 sur4 10 décembre 2010 contr ˆole de math´ematiquesTerminale S spé1)Montrer que 2 n+1 diviseaetb.On obtient par factorisation :
a=(2n+1)(n+1)2etb=n(2n+1) ce qui prouve que 2n+1 diviseaetb. 2)Montrer que le PGCD de aetbest 2n+1.
Comme 2n+1 diviseaetb, on a :
PGCD(a;b)=(2n+1)PGCD((n+1)2;n)
or 1(n+1)2+(n2)n=1, donc d"après le théorème de Bezout (n+1)2etn sont premiers entre eux et donc PGCD(a;b)=2n+1.Exercice 5
Pompon et manège (7 points)
1) On considère l"équation ( E) : 17x24y=9 où (x;y) est un couple d"entiers relatifs. a) Vérifier que le couple (9 ; 6) est solution de l"équation ( E). On a 179246=153144=9, donc le couple (9;6) vérifie l"équation (E). b)Résoudre l"équation ( E).
On a :
(17x24y=9179246=9
on déduit par diérence : 17(x9)24(y6)=0,17(x9)=24(y6) (1). Donc 24 divise 17(x9), mais étant premier avec 17, d"après le théorème de Gauss, divisex9. Il existe donck2Ztel quex9=24kEn reportant dans (1), on obtient :y6=17k.
L"ensemble des couples solutions de l"équation (E) est donc : (x=9+24k y=6+17kk2Z 2) a) Montrer que ( x;y) est solution de l"équation (E) de la question 1) Jean a eectuéytours avant d"attraper le pompon à l"instanttet le pomponxtours.Pour le pompont=17x, et comme Jean met38
24=9 secondes pour aller de H
à A, alors pour luit=9+24y, soit en égalant :17x=9+24y,17x24y=9;x2N;y2N
Le couple (x;y) doit donc être une solution de l"équation résolue à la question 1)Paul Milan 3 sur4 10 décembre 2010
contrˆole de math´ematiquesTerminale S spéb)Jean a payé pour 2 minutes ;aura-t-il le temps d"attraper le pompon ?
D"après l"ensemble des solutions, le plus petit couple de nombres positifs vérifiant cette équation est le couple (9;6). Donc le temps nécesaire à Jean pour attraper le pompon estt=179=153 secondes soit 2 minutes et 33 secondes. En deux minutes Jean n"a pas le temps d"attraper le pompom. c) Montrer ,qu"en f ait,il n"est possible d"attraper le pompon qu"au point A.En raisonnant comme au a)
2Si Jean attrape le pompon au point B, on doit avoir en égalisant les deux
temps 174+17x=58
24+24y,17+68x=60+96y,68x96y=43
Or le PGCD de 68 et 96 est 4 qui ne divise pas 43, donc cette équation n"a pas de solutions entières.2Si Jean attrape le pompon au point C, on doit avoir en égalisant les deux
temps 172+17x=78
24+24y,17+34x=42+48y,34x48y=25
Le PGCD de 34 et 48 est 2 qui ne divise pas 25, donc cette équation n"a pas de solutions entières.2Si Jean attrape le pompon au point D, on doit avoir en égalisant les deux
temps 1734+17x=18
24+24y,51+68x=12+96y,68x96y=39
Le PGCD de 68 et 96 est 4 qui ne divise pas 39, donc cette équation n"a pas de solutions entières. Conclusion : Jean ne peut attraper le pompon qu"au point A. d) Jean part maintenant du point E. Aura-t-il le temps d"attraper le pompon en A a vant les deux minutes? Si Jean part de E, on a toujourst=17xet pour Jeant=1824+24y=3+24y,
d"où17x=3+24y,17x24y=3
Or 173242=3, donc le couple (3 ; 2) est solution de cette équation. Le temps nécessaire à Jean pour attraper le pompon estt=173=51 secondes qui sont bien inférieures aux deux minutes payées.Paul Milan 4 sur4 10 décembre 2010quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39[PDF] exercices corrigés association de résistances
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