Développement en Série de Fourier PDF

Développement en Série de Fourier

a). Développer f en une série de cosinus en la prolongeant comme une fonction paire. b). Développer f en une série de sinus en la prolongeant comme une fonction

Séries de Fourier

Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x) et montrer qu'il les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus i.e.

Séries de Fourier

Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x) et montrer qu'il les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus i.e.

1. Séries de Fourier

Le développement en série de Fourier d'une fonction paire ne contient que des cosinus (c'est le cas de la fonction de l'exemple 2).

Les séries de Fourier

La formule de Parseval (admise). Il est aussi fait allusion `a l'utilisation du développement en série de Fourier d'une fonction périodique pour calculer la

Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique

Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients bn sont nuls). 1-2) Spectre en fréquences :.

Chapitre 1.X1 –Les séries de Fourier

La série de Fourier correspond à un développement d'une fonction ( ). f x sur une période de 2? à l'aide de fonctions sinus et cosinus de période

Séries de Fourier

Soit f la fonction 2?-périodique telle que : ? x ? [?? ?[

Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

Analyse de Fourier de signaux analogiques Série & transformée de Fourier ... Montrer que le développement en série de Fourier d'un signal.

Première semaine de travail : Série de Fourier

Analyse de Fourier - Série de Fourier. 2. Correction. 1) Nous savons par l'énoncé que la fonction f est paire donc son développement en cosinus-sinus.

[PDF] Développement en Série de Fourier

Développer en série de Fourier la fonction f de période T = 2? IMPAIRE définie par : f(t) = t(? ? t) si t ? [0 ; ?] apr`es l'avoir représentée graphiquement

[PDF] Chapitre 7 Séries de Fourier

Dans ce chapitre nous allons étudier une représentation des fonctions périodiques en séries connues sous le nom de Fourier représentation qui joue un rôle

[PDF] Séries de Fourier

a0 = 1 T ?? f(x) dx an = 2 T ?? f(x) cos(nwx) dx bn = 2 T ?? f(x) sin(nwx) dx Page 2 I Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x)

[PDF] Les séries de Fourier - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Il est aussi fait allusion `a l'utilisation du développement en série de Fourier d'une fonction périodique pour calculer la somme d'une série numérique

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Le développement en série de Fourier d'une fonction paire ne contient que des cosinus (c'est le cas de la fonction de l'exemple 2) On dit alors que l'on a une

[PDF] SERIES DE FOURIER - Toutes les Maths

On dit que (16) est le développement de f en série de Fourier On dit aussi que la série de Fourier de f définie par Sf(t) = a0 + +? ? n=1 an cos(n?t)

[PDF] Séries de Fourier - Faculté des Sciences de Rabat

Le développement en série de Fourier est : f(x) = ? 2 ? 4 ? ? ? p=0 cos((2p + 1)x) (2p + 1)2 (2 3) L'égalité (2 3) est exacte partout Remarque

[PDF] S´eries de Fourier

On appelle développement en série de Fourier d'une fonction 2 ?-périodique f la série trigonométrique ˜f(x) = a0 2 + ? ? n=1 (an cos(n x) + bn

[PDF] Séries de Fourier : synth`ese de cours

(an cos(nx) + bn sin(nx)) ou sous la forme : f(x) = +? ? n=?? cneinx = lim N?+? N ? n=?N cneinx 1 Coefficients de Fourier et Séries de Fourier

[PDF] Exercices corrigés sur les séries de Fourier

Exercice 1 Calculer la série de Fourier trigonométrique de la fonction 2?-périodique f cos ( (2k + 1)t ) Puisque la fonction f est continue sur R

Series de FourierF-IRIS2-05.texDeveloppement en Serie de Fourier 1) Developper en serie de Fourier les fonctions de periodeTdenies ainsi : a) f impaire T= 2 f(t) = 1si t2]0; 1[ b) f paire T= 2 f(t) =t si t2[0;]

Faire dans chaque cas une representation graphique de la fonctionf.2)Apres l'avoir representee graphiquement sur trois periodes, developper en serie de Fourier la fonction de

periodeT= 2denie par :f(t) =t si t2]0;] f(t) =t si t2[; 0[ Deduire de ce developpement en serie de Fourier la valeur de : +1X p=0(1)p2p+ 13)

Soit la fonction de periodeT= 2, denie par :

t7!f(t) =t2+tsit2[0; 2[ a)Construire une representation graphique def. b)Determiner le developpement defen serie de Fourier.4) Developper en serie de Fourier la fonctionfde periodeT= 2IMPAIREdenie par : f(t) =t(t) sit2[0;] apres l'avoir representee graphiquement sur trois periodes.5) Developper en serie de Fourier la fonctionfde periodeT= 2PAIREdenie par : f(t) =t(t) sit2[0;] apres l'avoir representee graphiquement sur trois periodes.6)

Soitfimpaire de periodeT= 2telle que :8

>>:f(t) = 1si0< t <3 f(t) = 0si3 < t <23 f(t) =1si23 < t < Developperfen serie de Fourier apres l'avoir representee sur trois periodes.| }~1 / 2LATEX2"

Series de FourierF-IRIS2-05.tex7)

Soit la fonctionfde periodeT= 4 denie par :t7!f(t) =t4 pour : 0< t <2 a)Developperfen une serie decosinusen la prolongeant comme une fonctionpaire. b)Developperfen une serie desinusen la prolongeant comme une fonctionimpaire.8)

Soit la fonctionfdenie par :t7!f(t) =jsin(2t)j

a)Preciser sa parite. Donner sa periode. b)Representer graphiquementf. c)Developperfen serie de Fourier.9) BTS Groupement A

Soit la fonctionfde periodeT=23

denie sur l'intervalleh 3 ;3 i par : t7!f(t) = cos(t) a)Calculer la valeur moyenne defsur l'intervalleh 3 ;3 i b)Calculer la valeur ecace defsur le m^eme intervalle. c)Determiner le developpement en serie de Fourier def. d)Calculer les quatre premiers coecients de ce developpement.| }~2 / 2LATEX2" Series de FourierF-IRIS2-05.texDeveloppement en Serie de Fourier (Solutions) 1) Developper en serie de Fourier les fonctions de periodeTdenies ainsi : a) f impaire T= 2 f(t) = 1si t2]0; 1[ b) f(t) =t si t2[0;] Faire dans chaque cas une representation graphique de la fonctionf.a) tf(t)11 O Comme la fonctionfest impaire, on a :a0= 0;an= 0et aussi!=22 Les fonctionst7!f(t) ett7!sin(nt) sont impaires, donc :t7!f(t)sin(nt) est paire b n=22 Z 1

1f(t)sin(nt)dt=22

2Z 1 0

1sin(nt)dt

= 2 Z 1 0 sin(nt)dt= cos(nt)n 1 0 (1)nn 1n =(1)n1n b n=(1)n1net selon la parite :b2k= 0b

2k+1=2(2k+ 1)La serie de FourierSassociee a la fonctionfest :

S(t) =+1X

k=1

2(2k+ 1)sin(2k+ 1)t

=2 sin(t) +13 sin(3t) +15 sin(5t) +:::b) tf(t) O Comme la fonctionfest paire, on a :bn= 0et aussi!=22= 1 Les fonctionst7!f(t) ett7!cos(nt) sont paires, donc :t7!f(t)cos(nt) est paire| }~3 / 13LATEX2"

Series de FourierF-IRIS2-05.texa

0=12Z f(t)dt=1 Z 0 tdt=t22 0 =2 donc :a0=2

On va faire une integration par partie :

u=t dv= cos(nt)dt du=dt v=sin(nt)n a n=22Z f(t)cos(nt)dt=2 Z 0 tcos(nt)dt 2 tsin(nt)n 0 2 1n Z 0 sin(nt)dt=2 002 1n cos(nt)n 0 =2 1n (1)nn 1n =2(1)n1n 2 a n=2(1)n1n

2et selon la parite :a2k= 0a

2k+1=4(2k+ 1)2La serie de FourierSassociee a la fonctionfest :

S(t) =f(t) =2

++1X k=1

4(2k+ 1)2cos(2k+ 1)t

=2 4 cos(t) +19 cos(3t) +125

cos(5t) +:::2)Apres l'avoir representee graphiquement sur trois periodes, developper en serie de Fourier la fonction de

periodeT= 2denie par :f(t) =t si t2]0;] f(t) =t si t2[; 0[ Deduire de ce developpement en serie de Fourier la valeur de : +1X p=0(1)p2p+ 1tf(t) O Comme la fonctionfest impaire, on a :a0= 0;an= 0et aussi!=22= 1 Les fonctionst7!f(t) ett7!sin(nt) sont impaires, donc :t7!f(t)sin(nt) est paire

On va faire une integration par partie :u=t

dv= sin(nt)dt du=dt v=cos(nt)n b n=22Z f(t)sin(nt)dt=2 Z 0 (t)sin(nt)dt 2 (t)cos(nt)n 0 2 1n Z 0 cos(nt)dt=2 0n 2 1n sin(nt)n 0 =2n 2 1n

00an=2n

La serie de FourierSassociee a la fonctionfest :|

}~4 / 13LATEX2"

Series de FourierF-IRIS2-05.texS(t) =+1X

n=1 2n sinnt = 2 sin(t) +12 sin(2t) +13 sin(3t) +14 sin(4t) +:::S 2 =+1X n=1 2n sinn2 =f2 =2 = 2 sin(2 ) +12 sin(22 ) +13 sin(32 ) +14 sin(42 ) +15 sin(52 = 2 (1) +12 (0) +13 (1) +14 (0) +15 (1) +::: = 2+1X p=0(1)p2p+ 1

Donc on peut en deduire la somme de la serie :

+1X p=0(1)p2p+ 1=4 3)

Soit la fonction de periodeT= 2, denie par :

t7!f(t) =t2+tsit2[0; 2[ a)Construire une representation graphique def. b)Determiner le developpement defen serie de Fourier.tf(t)210 Of(2) f(2) = 42+ 2'45;8 a 0=12Z 2 0 (t2+t)dt=12 t33 +t22 2 0 =12 833
+422
=42+ 33

Par partie :

u=t2+t dv= cos(nt)dt du= (2t+ 1)dt v=sin(nt)n

2 fois :u= 2t+ 1

dv= sin(nt)dt du= 2dt v=cos(nt)n a n=22Z 2 0 (t2+t)cos(nt)dt=1 Z 2 0 (t2+t)cos(nt)dt 1 (t2+t)sin(nt)n 2 0 1n Z 2 0 (2t+ 1)sin(nt)dt! 1 001n (2t+ 1)cos(nt)n 2 0 +2n Z 2 0 cos(nt)dt!! =1n 4+ 1n 1n +2n sin(nt)n 2 0! =1n 4n + 0 =4n 2| }~5 / 13LATEX2"

Series de FourierF-IRIS2-05.texPar partie :

u=t2+t dv= sin(nt)dt du= (2t+ 1)dt v=cos(nt)n

2 fois :u= 2t+ 1

dv= cos(nt)dt du= 2dt v=sin(nt)n b n=22Z 2 0 (t2+t)sin(nt)dt=1 Z 2 0 (t2+t)sin(nt)dt 1 (t2+t)cos(nt)n 2 0 +1n Z 2 0 (2t+ 1)cos(nt)dt! 1

42+ 2n

0+1n (2t+ 1)sin(nt)n 2 0 2n Z 2 0 sin(nt)dt!! 1

42+ 2n

+1n 002n cos(nt)n 2 0!! 1

42+ 2n

+2n 2 1n 1n 1

42+ 2n

+ 0 =24n

En resume :a0=42+ 33a

n=4n 2b n=24n

La serie de FourierSassociee a la fonctionfest :

S(t) =42+ 33

++1X n=1 4n

2cosnt+24n

sinnt| }~6 / 13LATEX2"

Series de FourierF-IRIS2-05.tex4)

Developper en serie de Fourier la fonctionfde periodeT= 2IMPAIREdenie par : f(t) =t(t) sit2[0;] apres l'avoir representee graphiquement sur trois periodes.tf(t)1 Of(2 2 f(2) = 42+ 2'45;8

Attention ! ce sont des arcs de paraboles.f(2

) =24 '2;47 Comme la fonctionfest impaire, on a :a0= 0;an= 0et aussi!=22= 1 Les fonctionst7!f(t) ett7!sin(nt) sont impaires, donc :t7!f(t)sin(nt) est paire

Par partie :u=t2+t

dv= sin(nt)dt du= (2t+)dt v=cos(nt)n

2 fois :u=2t+

dv= cos(nt)dt du=2dt v=sin(nt)n b n=22Z f(t)sin(nt)dt=1 2Z 0 (t2+t)sin(nt)dt 2 (t2+t)cos(nt)n 0 +1n Z 0 (2t+)cos(nt)dt 2 00+1n (2t+)sin(nt)n 0 +2n Z 0 sin(nt)dt 2 1n 00+2n cos(nt)n 0 4n 2 (1)nn 1n b n=41(1)nn

3et selon la parite :b2k= 0b

2k+1=8(2k+ 1)3La serie de FourierSassociee a la fonctionfest :

S(t) =f(t) =8

+1X n=1 1n

3sinnt

=8 sin(t) +sin(3t)27 +sin(5t)125 }~7 / 13LATEX2"

Series de FourierF-IRIS2-05.tex5)

Developper en serie de Fourier la fonctionfde periodeT= 2PAIREdenie par : f(t) =t(t) sit2[0;] apres l'avoir representee graphiquement sur trois periodes.tf(t)1 Of(2 2

Attention ! ce sont des arcs de parabole.f(2

) =24 '2;47

Remarque :Dans ce cas la periode defest en realiteT=Comme la fonctionfest paire, on a :bn= 0et aussi!=2

= 2 a 0=12Z f(t)dt=1 t33 +t22 0 =1 33
+32
=26 Les fonctionst7!f(t) ett7!cos(nt) sont paires, donc :t7!f(t)cos(nt) est paire

Par partie :u=t2+t

dv= cos(2nt)dt du= (2t+)dt v=sin(2nt)2n2 fois :u=2t+ dv= sin(2nt)dt du=2dt v=cos(2nt)2n a n=2 Z 0 (t2+t)cos(2nt)dt 2 (t2+t)sin(2nt)2n 0 12nZ 0 (2t+)sin(2nt)dt 2 0012n (2t+)cos(2nt)2nquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39