Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique PDF

Développement en Série de Fourier

a). Développer f en une série de cosinus en la prolongeant comme une fonction paire. b). Développer f en une série de sinus en la prolongeant comme une fonction

Séries de Fourier

Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x) et montrer qu'il les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus i.e.

Séries de Fourier

Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x) et montrer qu'il les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus i.e.

1. Séries de Fourier

Le développement en série de Fourier d'une fonction paire ne contient que des cosinus (c'est le cas de la fonction de l'exemple 2).

Les séries de Fourier

La formule de Parseval (admise). Il est aussi fait allusion `a l'utilisation du développement en série de Fourier d'une fonction périodique pour calculer la

Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique

Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients bn sont nuls). 1-2) Spectre en fréquences :.

Chapitre 1.X1 –Les séries de Fourier

La série de Fourier correspond à un développement d'une fonction ( ). f x sur une période de 2? à l'aide de fonctions sinus et cosinus de période

Séries de Fourier

Soit f la fonction 2?-périodique telle que : ? x ? [?? ?[

Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

Analyse de Fourier de signaux analogiques Série & transformée de Fourier ... Montrer que le développement en série de Fourier d'un signal.

Première semaine de travail : Série de Fourier

Analyse de Fourier - Série de Fourier. 2. Correction. 1) Nous savons par l'énoncé que la fonction f est paire donc son développement en cosinus-sinus.

[PDF] Développement en Série de Fourier

Développer en série de Fourier la fonction f de période T = 2? IMPAIRE définie par : f(t) = t(? ? t) si t ? [0 ; ?] apr`es l'avoir représentée graphiquement

[PDF] Chapitre 7 Séries de Fourier

Dans ce chapitre nous allons étudier une représentation des fonctions périodiques en séries connues sous le nom de Fourier représentation qui joue un rôle

[PDF] Séries de Fourier

a0 = 1 T ?? f(x) dx an = 2 T ?? f(x) cos(nwx) dx bn = 2 T ?? f(x) sin(nwx) dx Page 2 I Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x)

[PDF] Les séries de Fourier - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Il est aussi fait allusion `a l'utilisation du développement en série de Fourier d'une fonction périodique pour calculer la somme d'une série numérique

[PDF] 1 Séries de Fourier - lEAMAC

Le développement en série de Fourier d'une fonction paire ne contient que des cosinus (c'est le cas de la fonction de l'exemple 2) On dit alors que l'on a une

[PDF] SERIES DE FOURIER - Toutes les Maths

On dit que (16) est le développement de f en série de Fourier On dit aussi que la série de Fourier de f définie par Sf(t) = a0 + +? ? n=1 an cos(n?t)

[PDF] Séries de Fourier - Faculté des Sciences de Rabat

Le développement en série de Fourier est : f(x) = ? 2 ? 4 ? ? ? p=0 cos((2p + 1)x) (2p + 1)2 (2 3) L'égalité (2 3) est exacte partout Remarque

[PDF] S´eries de Fourier

On appelle développement en série de Fourier d'une fonction 2 ?-périodique f la série trigonométrique ˜f(x) = a0 2 + ? ? n=1 (an cos(n x) + bn

[PDF] Séries de Fourier : synth`ese de cours

(an cos(nx) + bn sin(nx)) ou sous la forme : f(x) = +? ? n=?? cneinx = lim N?+? N ? n=?N cneinx 1 Coefficients de Fourier et Séries de Fourier

[PDF] Exercices corrigés sur les séries de Fourier

Exercice 1 Calculer la série de Fourier trigonométrique de la fonction 2?-périodique f cos ( (2k + 1)t ) Puisque la fonction f est continue sur R

I) ASPECf MATHEMATIQUE :

Décomposition en séries de

Fourier d'un signal périodique

1-1) Décomposition en séries de Fourier:

Une fonction périodique f(t) de période T peut, sous certaines conditions mathématiques qui seront toujours réalisées

dans la pratique en physique, se décomposer en une somme de fonctions sinusoï dales de la forme : (décomposition

en séries de Fourier) f(t) = a 0 + L (an cosnwt + bn sinnwt) n=l 2n (n entier et

OJ = -)

Les coefficients ao, au et bn sont indépendants du temps et sont donnés par les intégrales suivantes :

l fT ao =-f(t)dt T o 2fT an =-f(t) cosnwtdt T o 2fT bn =-f(t)sinnwtdt T o

On remarque que a0 est la valeur moyenne de la fonction f(t) : <\>est donc nul si la fonction f(t) est alternative.

Deux cas particuliers :

*** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet un centre de symétrie situé sur l'axe Ox, alors, en choisissant

ce point comme origine des temps : f( -t)=-f(t)

La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en

sinus (les sont nuls).

*** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, alors f(-t)=f(t)

(fonction paire). Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients

bn sont nuls). 1-2) Spectre en fréquences :

Le terme général an cosnwt + bn sinnwt est appelé harmonique de rang n. Il peut être mis sous la forme :

En posant

en +b; coscpn = , il vient: 2 2 an +bn a an cosnwt + bn sinnwt = en cos(nwt-({Jn) Et la fonction périodique f(t) peut alors s'écrire : f(t) = L,en cos(nwt-cpn) n=l L'harmonique de rang 1 est appelé le fondamental. On obtient la représentation spectrale de la fonction f(t) en portant en ordonnée l'amplitude des harmoniques (les termes a,.., bn ou Cn) et en abscisse les pulsations correspondantes, ce qui conduit au diagramme de la figure ci-contre. (avec ici représentés les coefficients Cn)

1-3) :EXemples de décomposition en séries de

Fourier:

a) Signal carré :

0 (J) 2w 3w 4w

5w / w

f(t) +A -A On considère le signal de la figure ci-contre . La fonction f(t) est impaire et sa décomposition ne contiendra que des termes en sinus. On peut calculer: a 0 = 0

2 fT/2 2A 2A

bn = -T f(t) sinnwtdt = -(1-cosnn) = -(1-( -1t) -T/2 nn nn Par conséquent, la décomposition ne comprend que des harmoniques d'ordre impair : 4A/n f

4A [ . 1 . 1 . 5 ]

(t) =-smwt +-sm3wt +-sm ut+ ... n 3 5 4A/3n 4AJ5n

Son spectre est donné sur la figure ci-contre.

0 (J)

3W sw (J)

b) Signal triangulaire :

On considère le signal triangulaire donné ci-dessous (la fonction f(t) est paire). La décomposition en séries de Fourier

s'écrit alors : f(t)

SA/ri-

SA/9ri

SA/2512-

-A 0 (J)

3w 5W (J)

Signal triangulaire Spectre en fréquences

SA [ 1 1 ]

f(t) = - 2 cos ut +--ycos3wt +

2cos5wt+

n 3 5

On peut remarquer que les harmoniques d'ordre supérieur à 1 sont beaucoup moins importants pour le signal

triangulaire que pour le signal carré, ce qui est naturel puisque le signal triangulaire a une forme proche de celle d'un signal sinusoï dal. c) Signal en dents de scie : f(t) (t) =-smwt--sm2wt + -sm3wt--sm4wt+ ... f

2A [ . 1 . 1 . 1 . J

Tr 2 3 4

-A d) Signal sinusoï da1 redressé: f (t) = -+--cos2wt --cos4üt +-cos6wt+ ...

2A 4A[ 1 1 1 J

Tr Tr 3 3.5 5.7

f(t) A 0 T/2 Il) MISE EN EVIDENCE EXPERIMENTALE DES HARMONIQUES D'UN SIGNAL :

On alimente un circuit série (RLC) par un générateur BF (supposé idéal) délivrant des signaux sinusoï daux,

triangulaires ou carrés. Les valeurs des composants utilisés sont:

L=44mH

C=0,1 f.l.F R=lOQ (résistance de la bobine inconnue)

Un oscilloscope bi courbe permet de visualiser les tensions aux bornes du générateur et aux bornes de R.

1) Faire le schéma du montage utilisé en précisant notamment les branchements de l'oscilloscope.

2) Calculer théoriquement la pulsation et la fréquence de résonance d'intensité, ainsi que le facteur de qualité

du circuit (RLC) série.

3) Expérimentalement,

on détermine la fréquence de résonance d'intensité en injectant une tension sinusoï dale à l'entrée du circuit. On mesure tJ=2390 Hz. La tension maximale d'alimentation est Em=0,3 V et la tension maximale aux bornes deR est UR,max=O,l38 V. a) Déterminer l'intensité maximale dans le circuit à la résonance d'intensité. b)

En déduire la résistance totale du circuit. Quelle est la valeur de la résistance de la bobine ?

4) On utilise maintenant une tension d'entrée carrée, de fréquence tJ et de valeur maximale 0,3 V. La valeur

maximale de la tension aux bornes deR est alors de 0,175 V.

a) Quelle est la forme et la fréquence de la tension observée aux bornes de R? Tracer, sur un même

dessin, la tension d'entrée et la tension aux bornes deR. b) Quelle est l'intensité maximale dans le circuit ? c) Faire une analyse de Fourier du signal carré et vérifier que les résultats expérimentaux sont en

accord avec cette décomposition. Déterminer notamment le premier coefficient de cette décomposition.

On utilise désormais un signal d'entrée triangulaire de valeur maximale 0,3 V et de fréquence fo. La valeur

maximale de la tension aux bornes deR est alors 0,108 V.

Répondre

aux mêmes questions qu'en ( 4 ).

6) Observation des harmoniques : on diminue lentement la fréquence du signal d'alimentation en gardant la

même valeur pour sa valeur maximale (0,3 V). On observe des résonances secondaires pour lesquelles l'intensité dans

le circuit est sinusoï dale et passe par une valeur maximale. Les résultats numériques sont consignés dans les tableaux

suivants:

Signaux carrés :

flHz) 2390 796 478 342 266

UR(mV)

175 55

40 33 25

Signaux triangulaires :

flHz) 2390 800 480 345

108 12 5 3

Montrer que ces résultats expérimentaux sont en accord avec la décroissance des coefficients de la

décomposition en série de Fourier en 1/n pour le signal carré et en 1/ul pour le signal triangulaire.

quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique

I) ASPECf MATHEMATIQUE :

Décomposition en séries de

Fourier d'un signal périodique

1-1) Décomposition en séries de Fourier:

OJ = -)

Deux cas particuliers :

En posant

1-3) :EXemples de décomposition en séries de

Fourier:

0 (J) 2w 3w 4w

5w / w

2 fT/2 2A 2A

4A [ . 1 . 1 . 5 ]

Son spectre est donné sur la figure ci-contre.

3W sw (J)

SA/ri-

SA/9ri

SA/2512-

3w 5W (J)

Signal triangulaire Spectre en fréquences

SA [ 1 1 ]

2cos5wt+

2A [ . 1 . 1 . 1 . J

Tr 2 3 4

2A 4A[ 1 1 1 J

Tr Tr 3 3.5 5.7

L=44mH

1) Faire le schéma du montage utilisé en précisant notamment les branchements de l'oscilloscope.

2) Calculer théoriquement la pulsation et la fréquence de résonance d'intensité, ainsi que le facteur de qualité

3) Expérimentalement,

4) On utilise maintenant une tension d'entrée carrée, de fréquence tJ et de valeur maximale 0,3 V. La valeur

Répondre

6) Observation des harmoniques : on diminue lentement la fréquence du signal d'alimentation en gardant la

Signaux carrés :

UR(mV)

175 55

40 33 25

Signaux triangulaires :

108 12 5 3