Première semaine de travail : Série de Fourier PDF

Développement en Série de Fourier

a). Développer f en une série de cosinus en la prolongeant comme une fonction paire. b). Développer f en une série de sinus en la prolongeant comme une fonction

Séries de Fourier

Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x) et montrer qu'il les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus i.e.

Séries de Fourier

Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x) et montrer qu'il les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus i.e.

1. Séries de Fourier

Le développement en série de Fourier d'une fonction paire ne contient que des cosinus (c'est le cas de la fonction de l'exemple 2).

Les séries de Fourier

La formule de Parseval (admise). Il est aussi fait allusion `a l'utilisation du développement en série de Fourier d'une fonction périodique pour calculer la

Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique

Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients bn sont nuls). 1-2) Spectre en fréquences :.

Chapitre 1.X1 –Les séries de Fourier

La série de Fourier correspond à un développement d'une fonction ( ). f x sur une période de 2? à l'aide de fonctions sinus et cosinus de période

Séries de Fourier

Soit f la fonction 2?-périodique telle que : ? x ? [?? ?[

Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

Analyse de Fourier de signaux analogiques Série & transformée de Fourier ... Montrer que le développement en série de Fourier d'un signal.

Première semaine de travail : Série de Fourier

Analyse de Fourier - Série de Fourier. 2. Correction. 1) Nous savons par l'énoncé que la fonction f est paire donc son développement en cosinus-sinus.

[PDF] Développement en Série de Fourier

Développer en série de Fourier la fonction f de période T = 2? IMPAIRE définie par : f(t) = t(? ? t) si t ? [0 ; ?] apr`es l'avoir représentée graphiquement

[PDF] Chapitre 7 Séries de Fourier

Dans ce chapitre nous allons étudier une représentation des fonctions périodiques en séries connues sous le nom de Fourier représentation qui joue un rôle

[PDF] Séries de Fourier

a0 = 1 T ?? f(x) dx an = 2 T ?? f(x) cos(nwx) dx bn = 2 T ?? f(x) sin(nwx) dx Page 2 I Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x)

[PDF] Les séries de Fourier - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Il est aussi fait allusion `a l'utilisation du développement en série de Fourier d'une fonction périodique pour calculer la somme d'une série numérique

[PDF] 1 Séries de Fourier - lEAMAC

Le développement en série de Fourier d'une fonction paire ne contient que des cosinus (c'est le cas de la fonction de l'exemple 2) On dit alors que l'on a une

[PDF] SERIES DE FOURIER - Toutes les Maths

On dit que (16) est le développement de f en série de Fourier On dit aussi que la série de Fourier de f définie par Sf(t) = a0 + +? ? n=1 an cos(n?t)

[PDF] Séries de Fourier - Faculté des Sciences de Rabat

Le développement en série de Fourier est : f(x) = ? 2 ? 4 ? ? ? p=0 cos((2p + 1)x) (2p + 1)2 (2 3) L'égalité (2 3) est exacte partout Remarque

[PDF] S´eries de Fourier

On appelle développement en série de Fourier d'une fonction 2 ?-périodique f la série trigonométrique ˜f(x) = a0 2 + ? ? n=1 (an cos(n x) + bn

[PDF] Séries de Fourier : synth`ese de cours

(an cos(nx) + bn sin(nx)) ou sous la forme : f(x) = +? ? n=?? cneinx = lim N?+? N ? n=?N cneinx 1 Coefficients de Fourier et Séries de Fourier

[PDF] Exercices corrigés sur les séries de Fourier

Exercice 1 Calculer la série de Fourier trigonométrique de la fonction 2?-périodique f cos ( (2k + 1)t ) Puisque la fonction f est continue sur R

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Sériede Fourier1 Première semaine de travail:Série de Fourier Exercice "Type 1" entièrement corrigé avec remarques et méthodologie. Soitα?R-Z.On considère la fonctionfdeRdansR,2π-périodique, définie par

Cette fonction est paire et de classeC

1par morceaux.

0) Vérifier que cette fonction estcontinuesurR.On regardera notamment avec soin les

limites à droite et à gauche en-π, π, kπ.

1) Etudier la décomposition de Fourier defsous forme de cosinus et sinus et vérifier que

a n(f) =1π(-1) nsin(απ)?1α+n+1α-n? n≥0(1)

2) En déduire que pour

?t?Rcosαt=sin(απ)

1α+

n=1 (-1)n2α

α2-n2cos(nt)?

3) En déduire en particulier l"égalité, toujours pourα?R-Z

sin(απ)=1α+ n=1 (-1)n2α

α2-n2

On étudie dans ce qui suit ce que l"on obtient en écrivant l"égalité de Parseval 1

2π?

f(t)2dt= n=+∞? n=-∞ |cn(f)|2

4) Calculer le terme de gauche.

5) Comment s"exprime ici la somme de droite à l"aide desa

n(f)? Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Sériede Fourier2

Correction

1) Nous savons par l"énoncé que la fonctionfest paire, donc son développement en cosinus-sinus

ne fait intervenir que des fonctions paires (i.e. des cosinus), donc : ?n≥1,b n= 0

Il nous reste donc à calculer la valeur desa

n. Par définitionanse calcule par l"intégrale suivante : a n=1π? cos(αt)cos(nt)dt,?n≥1 En utilisant la relation de trigonométrie :cosacosb= 1

2(cos(a+b) + cos(a-b)), l"intégrale

précédente devient : a n=12π? [cos(α+n)t+ cos(α-n)t]dt Par linéarité de l"intégrale, nous avons : a n=12π? cos(α+n)tdt+? cos(α-n)tdt? 1

2π?

sin(α+n)tα+n? +sin(α-n)tα-n? 1

2π?

Nous arrivons à l"expression suivante :

a n=1π? Or ?sin(απ+nπ) = sinαπcosnπ+ cosαπsinnπ sin(απ-nπ) = sinαπcosnπ-cosαπsinnπ, de plus?cosnπ= (-1) n sinnπ= 0, nous ob- tenons donc finalement : a n=(-1) n

πsinαπ?1α+n+1α-n?

,?n≥1 Remarque : Le fait queαne soit pas un entier relatif permet de ne pas avoir à se préoccuper de savoir si(α+n)et(α-n)peuvent être nulles.

Pourn= 0, la formule est :

0=12π?

cosαtdt 1

2πsinαtα?

=12πsinαπ-sinα(-π)α soit : Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Sériede Fourier3 a

0=1πsinαπα

2) L"énoncé nous dit que la fonctionfestC

1par morceaux, donc on peut lui appliquer le

Théorème de Dirichlet. Commeen plus,on a montré dans la question 0) que la fonction est continuesurR,nous avons : f(t) = n=0 ancosnt,?t?R

En remplaçantfet lesa

npar leur expressions, nous obtenons : cosαt=sin(απ)

1α+

n=1 (-1)n2α

α2-n2cosnt?

(2)

3) L"égalité précédente est valable est vrai en particulierpourt= 0. (2) devient :

1 = sin(απ)

1α+

n=1 (-1)n2α

α2-n2

soit : sin(απ)=1α+ n=1 (-1)n2α

α2-n2

On étudie dans la suite ce qui découle de l"écriture de l"égalité de Parseval : 1

2π?

f(t)2dt= n=-∞ |cn(f)|2(3)

4) SoitI=

1 2π -πcos2αtdt.

Nous savons quecos

2a=1+cos2a

2, donc :

I=1

4π?

dt+14π? cos2αtdt 1

4πt|

-π+14πsin2αt2α? =12+14παsin2απ

5) Les coefficients de la décomposition en exponentielles(c

n)sont obtenus à partir de ceux de la décomposition en sinus-cosinus(a netbn)grâce aux formules suivantes : c n=(an-ibn)

2c-n=(an+ibn)

Or,?n≥1bn= 0, donc :

Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Sériede Fourier4 c n=c-n=an

2,?n≥1

Pour le terme correspondant au fondamental, nous avons : c 0=a0 La somme du terme de droite de l"égalité (3) se met sous la forme : n=-∞ |cn(f)|2=14 -1? n=-∞ ?a|n|(f)?

2+|a0(f)|2+14

n=1 |an(f)|2 n=-∞ |cn(f)|2=|a0(f)|2+12 n=1 |an(f)|2 Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Sériede Fourier5 Première semaine de travail:Série de Fourier

Exercice "Type 2" avec indications et solutions.

On rappelle que lecosinus hyperboliquenotécoshest défini parcoshu=eu+e-u

2?u?R.

1.Calcul préliminaire.Pour toutt?Ron poseα

t=Im?1

0ex(t+in)dx?.Vérifier que

t=-nπ[(-1) neπt-1] t2+n2?t?R?n?Z

2. On considère la fonctiong

t(t?R)deRdansR,2π-périodique, impaire et telle que g t(x) = cosh(tx)pourx?]0,π[.En s"aidant du calcul préliminaire, vérifier que les coefficients de Fourier deg tvalent b n(gt) =-2nπ[(-1) ncosh(tπ)-1] t2+n2?n?N?

3. En déduire - en justifiant - le développement en série de Fourier degtsur]0,π[..

4. En déduire que

cosh? tπ 2? =2π p=0 (-1)p(2p+ 1) t2+ (2p+ 1)2[cosh(tπ) + 1]

5. Vérifier que

cosh(tπ) + 1 = 2cosh

2?tπ

2? et en déduire la formule 1 cosh?tπ 2 ?=4π p=0 (-1)p(2p+ 1) t2+ (2p+ 1)2?t?R

6. En déduire la formule

4= p=0 (-1)p 2p+ 1 Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Sériede Fourier6

Indications et solutions

1- Indication :La fraction obtenue est telle que son numérateur et son dénominateur sont com-

plexes, donc afin de pouvoir prendre la partie imaginaire facilement, nous devons nous arranger

pour rendre le dénominateur réel. Pour cela, nous multiplions, numérateur et dénominateur,

par le complexe conjugué du dénominateur

Solution :

t=-nπ[(-1) neπt-1] t2+n2?t?R?n?Z

2- Indication :On exprimera le sinus comme la partie imaginaire d"une exponentielle complexe

et on utilisera la définition ducosh.

Solution :

b n(gt) =-2nπ[(-1) ncosh(πt)-1] t2+n2?t?R?n≥1

3- Indication :On vérifiera que le théorème de Dirichlet s"applique à la fonctiong

Solution :

cosh(tx) =-2 n=1 n[(-1)ncosh(πt)-1] t2+n2sin(nx)?x?]0,π[

4- Indication :Prendre l"expression obtenue à la question précédente pourx=

Solution :

cosh tπ 2? =2π p=0 (-1)p(2p+ 1) t2+ (2p+ 1)2[coshπt+ 1]?x?]0,π[

5- Indication :Penser à utiliser la définition ducoshen fonction des exponentielles et au fait

que toute grandeur ne dépendant pas de l"indice de sommationpeut être mise en facteur d"une somme.

Solution :

1 cosh?tπ 2 ?=4π p=0 (-1)p(2p+ 1) t2+ (2p+ 1)2

6- Indication :Appliquer la formule précédente pourt= 0, et se souvenir quecosh(0) = 1.

Solution :

4= p=0 (-1)p (2p+ 1) Première Année à Distance - Module Analyse de Fourier - Sériede Fourier7 Première semaine de travail:Série de Fourier

Exercice "Type 3" Devoir

Exercice 1

On considère la fonction2π-périodiquefdéfinie sur[0,2π[parf(x) =e

πx.

1) Déterminer les coefficients de Fourier sous forme complexec

n(f)def.

2) En déduire la valeur de la somme?

n?Zcn(f)einxpourx= 0.

3) En déduire grâce à l"égalité de Parseval la valeur de la somme?

n?Z1π2+n2=?

Exercice 2

Soit la fonctionf(x) =xsix?[0.π[.On prolongefen une fonctionpairesur[-π,0[puis en une fonction périodique de période2πsurR.Faire un dessin.

1. Que vautf(x) =?pourx?[-π,0[?

2. Que vautf(x) =?pourx?[π,2π[

3.fest-elle continue surR?

4.fest-elle dérivable surR?

5.fest-elleC

1surR?

On part de la même fonctionf(x) =xsix?[0.π[mais cette fois ci on la prolonge en une fonctionimpairesur[-π,0[puis en une fonction périodique de période2πsurR.On appelleraf

1cette nouvelle fonction.

6. Faire un dessin et reprendre les mêmes questions.

7. Les deux fonctionsfetf

1ont-elles les mêmes coefficients de Fourier?

QCM

1-Soitfune fonctionb-périodique. On définit la fonction?par?(x) =?

0f(x+t)f(t)dt.

La fonction?est

A-périodique de périodeb

B-non périodique

C-périodique de périodeb

2-On considère la fonction impaire et2π-périodiquefdéfinie parf(x) = 1pourx?]0,π[.

Ces coefficients de Fourier de la décomposition en cosinus-sinus ont pour expression : A-a n= 0etbn=? 4

π(2p+1)sinest impair

0sinest pair

B-a n= 0etbn=?0sinest impair4

π(2p+1)sinest pair

C-a n=?0sinest impair4

π(2p+1)sinest pairetbn=?

π(2p+1)sinest impair

0sinest pair

quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] Première semaine de travail : Série de Fourier

Cette fonction est paire et de classeC

1par morceaux.

0) Vérifier que cette fonction estcontinuesurR.On regardera notamment avec soin les

1) Etudier la décomposition de Fourier defsous forme de cosinus et sinus et vérifier que

2) En déduire que pour

1α+

α2-n2cos(nt)?

3) En déduire en particulier l"égalité, toujours pourα?R-Z

α2-n2

2π?

4) Calculer le terme de gauche.

5) Comment s"exprime ici la somme de droite à l"aide desa

Correction

1) Nous savons par l"énoncé que la fonctionfest paire, donc son développement en cosinus-sinus

Il nous reste donc à calculer la valeur desa

2(cos(a+b) + cos(a-b)), l"intégrale

2π?

2π?

Nous arrivons à l"expression suivante :

πsinαπ?1α+n+1α-n?

Pourn= 0, la formule est :

0=12π?

2πsinαtα?

0=1πsinαπα

2) L"énoncé nous dit que la fonctionfestC

1par morceaux, donc on peut lui appliquer le

En remplaçantfet lesa

1α+

α2-n2cosnt?

3) L"égalité précédente est valable est vrai en particulierpourt= 0. (2) devient :

1α+

α2-n2

α2-n2

2π?

4) SoitI=

Nous savons quecos

2a=1+cos2a

2, donc :

4π?

4πt|

5) Les coefficients de la décomposition en exponentielles(c

2c-n=(an+ibn)

Or,?n≥1bn= 0, donc :

2,?n≥1

2+|a0(f)|2+14

Exercice "Type 2" avec indications et solutions.

2?u?R.

1.Calcul préliminaire.Pour toutt?Ron poseα

0ex(t+in)dx?.Vérifier que

2. On considère la fonctiong

3. En déduire - en justifiant - le développement en série de Fourier degtsur]0,π[..

4. En déduire que

5. Vérifier que

2?tπ

6. En déduire la formule

Indications et solutions

1- Indication :La fraction obtenue est telle que son numérateur et son dénominateur sont com-

Solution :

2- Indication :On exprimera le sinus comme la partie imaginaire d"une exponentielle complexe

Solution :

3- Indication :On vérifiera que le théorème de Dirichlet s"applique à la fonctiong

Solution :

4- Indication :Prendre l"expression obtenue à la question précédente pourx=

Solution :

5- Indication :Penser à utiliser la définition ducoshen fonction des exponentielles et au fait

Solution :

6- Indication :Appliquer la formule précédente pourt= 0, et se souvenir quecosh(0) = 1.

Solution :

Exercice "Type 3" Devoir

Exercice 1

πx.

1) Déterminer les coefficients de Fourier sous forme complexec

2) En déduire la valeur de la somme?

3) En déduire grâce à l"égalité de Parseval la valeur de la somme?

Exercice 2

1. Que vautf(x) =?pourx?[-π,0[?

2. Que vautf(x) =?pourx?[π,2π[

3.fest-elle continue surR?

4.fest-elle dérivable surR?