[PDF] Chapitre 1.X1 –Les séries de Fourier

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Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 1

Chapitre 1.X1 -Les séries de Fourier

Remarque : CETTE SECTION EST ENTIÈREMENT EN CONSTRUCTION Situation A : Le polynôme du 2e degré en sinus. Vérifiez que la fonction 2x t=peut être bien approximée par la fonction 2

21 14 cos cos 2 cos 3 ...3 4 9x t t t t

pour l'intervalle {},tπ π= - en évaluant la fonction x à (a) 0t=, (b) 1t= et (c) 2t= . (a)

21 10 4 cos 0 cos 2 0 cos 3 03 4 9x t

21 10 4 1 1 13 4 9x t

⇒ ()0 0,1546x t= ≈ - et ()0 0x t= = (b) ( )( )( )( )( )( )( )

21 11 4 cos 1 cos 2 1 cos 3 13 4 9x t

21 10 4 0,5403 0,4161 0,99003 4 9x t

⇒ ()1 1,1526x t= ≈ et ()1 1x t= = (c) ( )( )( )( )( )( )( )

21 12 4 cos 2 cos 2 2 cos 3 23 4 9x t

21 12 4 0,41615 0,6536 0,96023 4 9x t

⇒ ()2 3,8741x t= ≈ et ()2 4x t= =

Remarque :

Nous constatons que la fonction 2x t= peut être approximé à l'aide d'un développement en fonction cosinus de la forme ()cosnt où Nn? . La question suivante semble tout à fait légitime : Peut-on déterminer mathématiquement les coefficients devant les termes ()cosnt ? Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 2 La période fondamentale d'un groupe de fonctions sinus et cosinus

Le groupe des fonctions trigonométriques

1 , ()cosx, ()sinx,()cos 2x, ()sin 2x, ... , ()cosnx, ()sinnx, ... ,

où Nn? forme un ensemble de fonction ayant une période fondamentale commune de

2Pπ= radian. Ainsi, lorsque 0x= ou 2xπ=, toutes les fonctions cosinus auront une

valeur de 1 et toutes les fonction sinus auront une valeur de 0.

Bien entendu, la période propre

nP de chaque fonction ()cosnx et ()sinnx sera égal à

2 /nP nπ= (périodicité en radian) où n est l'équivalent de ω et nP est

l'équivalent de T dans la relation 2 /Tπ ω= (périodicité temporelle) du mouvement harmonique simple. L'intégrale de la fonction sinus et cosinus sur une période Lorsque l'on effectue une intégrale de la fonction sinus et cosinus sur une période

2π([],xπ π? -), nous pouvons obtenir les propriétés suivantes pour les fonction de la

forme ()cosnx et ()sinnx où N sauf 0n n? ≠ : Intégrale donnant zéro L'intégrale donnant π ( )cos d 0 x nx x =∫ ( )sin d 0 x nx x =∫ ( )2cos d x nx x =∫ ( )2sin d x nx x

Preuve :

Évaluons l'intégrale de nos 4 fonctions :

• ( )()( )( ) ( )( )( )cos1 1 1cos d d sin sin sin 0 0 0 nn n x u nunx x u u n nn n n nπ ππ ( )()( )( ) ( )( )( ) ( )( )sin1 1 1sin d d cos cos cos cos cos 0 nn n x u nunx x u u n n n nn n n nπ ππ ( )()( )[ ]( )21 cos 21 1 1cos d d d cos 2 d 02 2 2 2 x x x x nxnx x x x nx x xπ π π ππ ( )()21 cos 2sin d d ...2 x x nxnx x xπ π Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 3 L'intégrale du produit de deux fonctions sinus et cosinus de même période fondamentale Lorsque l'on effectue l'intégrale sur une période

2Pπ= sur le produit de deux fonctions

de l'ensemble ()cosx, ()sinx,()cos 2x, ()sin 2x, ... , ()cosnx, ()sinnx, ... , ()cosmx, ()sinmx comme ( ) ( )cos cos d x nx mx x =-∫ , ( ) ( )sin sin d x nx mx x =-∫ et ( ) ( )sin cos d x nx mx x nous retrouvons les propriétés suivantes pour

Nn? et Nm?(mais 0n≠ et 0m≠:

Contrainte sur n et m

,n m? n m= n m≠ ( ) ( )sin cos d 0 x nx mx x ( )2cos d x nx x =∫ ( ) ( )cos cos d 0 x nx mx x ( )2sin d x nx x =∫ ( ) ( )sin sin d 0 x nx mx x

Preuve :

Démontrons les intégrales

( ) ( )sin cos d 0 x nx mx x =∫ , ( ) ( )cos cos d 0 x nx mx x =∫ et ( ) ( )sin sin d 0 x nx mx x en exploitant les identités trigonométrique suivantes : ( ) ( )( ) ( )( )1cos cos cos cos

2α β α β α β= + + -

( ) ( )( ) ( )( )1sin sin cos cos

2α β α β α β= - + +

( ) ( )( ) ( )( )1sin cos sin sin

2α β α β α β= + + -

1) ( ) ( )sin cos d x

I nx mx x

⇒ ( ) ( )( )1sin sin d2x

I nx mx nx mx x

⇒ ( )( )( )( )1 1sin d sin d2 2xx

I n m x x n m x x

⇒ 0I= , Nn m? ? car ( )sin d 0 x a x x =∫ où a n m= + ou bien a n m= - Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 4 2) ( ) ( )cos cos d x

I nx mx x

⇒ ( ) ( )( )1cos cos d2x

I nx mx nx mx x

⇒ ( )( )( )( )1 1cos d cos d2 2xx

I n m x x n m x x

Si n m=, alors l'intégrale sera de forme ( )2cos d x

I nx x

= =∫ selon nos équations précédentes.

Si n m≠, alors 0I= , Nn m? ?, car ( )cos d 0

x ax x =∫ où a n m= + ou bien a n m= -. 3) ( ) ( )sin sin d x

I nx mx x

⇒ ( ) ( )( )1cos cos d2x

I nx mx nx mx x

⇒ ( )( )( )( )1 1cos d cos d2 2xx

I n m x x n m x x

Si n m=, alors l'intégrale sera de forme ( )2sin d x

I nx x

= =∫ selon nos équations précédentes.

Si n m≠, alors 0I= , Nn m? ?, car ( )cos d 0

x ax x =∫ où a n m= + ou bien a n m= -. Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 5

La série de Fourier

La série de Fourier correspond à un développement d'une fonction ()f x sur une période de

2π à l'aide de fonctions sinus et cosinus de période fondamentale commune de 2π que

l'on peut représenter de la façon suivante : ( )( ) ( )( )0

1cos sin2n n

naf x a nx b nx = + +∑ où []0 0, 2x x xπ? + où n : Le numéro de l'harmonique de la fonction sinus ou cosinus. na : Amplitude de la composante cosinus de l'harmonique n. nb : Amplitude de la composante sinus de l'harmonique n.

0a : Le facteur constant de la série.

et 2 2 n n nA a b= + est l'amplitude de l'harmonique n. arctan / si 0 arctan / si 0 n n n n n n na b ba b bφπ>  = + <   est la phase de l'harmonique n.

Les coefficients de la série de Fourier

À partir de la série de Fourier

( )( ) ( )( )0

1cos sin2n n

naf x a nx b nx sur l'intervalle []0 0, 2x x xπ? + , nous pouvons déterminer les coefficients 0a, naet nb à l'aide des expressions suivantes : Coefficient 0a constant Coefficient na et nb des harmonique noù {}1,2,3,...n? 0 02 01d x x x a f x x 0

021cos d

x n x x a f x nx x 0

021sin d

x n x x b f x nx x Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 6 Preuve : Soit la fonction ()f x qui est intégrable sur l'intervalle []0 0, 2x x xπ? + où 0xπ= -,

évaluons l'expression de

0a associé au coefficient de la série de Fourier sur l'intervalle

[],xπ π? - en appliquant le calcul de l'intégrale sur une période 2Pπ= à notre fonction

()f x : ( )( ) ( )( )0

1cos sin2n n

naf x a nx b nx ⇒ ( )( ) ( )( )0

1d cos sin d2n n

naf x x a nx b nx x ⇒ ( )( ) ( )0

1 1d d cos d sin d2n n

n naf x x x a nx x b nx x ⇒ ( )( ) ( )0

1 1d d cos d sin d2n n

n naf x x x a nx x b nx x ⇒ ( )( ) ( )0

1 1d d 0 02n n

n naf x x x a aπ π ⇒ ( )[ ]0d2af x x x ⇒ ( )( ) ( )( )0d2af x x ⇒ ( )0d 22af x x ⇒ ( )01da f x x =∫ ■ (1)

Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 7 Évaluons l'intégrale de la fonction

()f x multiplié par la fonction ()cosmx sur l'intervalle [],xπ π? - afin d'évaluer l'expression du coefficient ma : ( )( ) ( )( )0

1cos sin2n n

naf x a nx b nx ⇒ ( ) ( )( ) ( )( )( )0

1cos cos sin cos2n n

naf x mx a nx b nx mx ⇒ ( ) ( )( ) ( )( )( )0

1cos d cos sin cos d2n n

naf x mx x a nx b nx mx x ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

11cos d cos d cos cos d sin cos d2nn

nnaf x mx x mx x a nx mx x b nx mx x ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

11cos d cos d cos cos d sin cos d2nn

nnaf x mx x mx x a nx mx x b nx mx x ⇒ ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0

11cos d 0 cos cos d 02nn

nnaf x mx x a nx mx x bππ

1,cos d cos cos d cos cos dnm

n n mf x mx x a nx mx x a mx mx x ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )2

1,cos d 0 cos dn m

n n mf x mx x a a mx x ⇒ ( ) ( ) ( )cos dmf x mx x a ⇒ ( ) ( )1cos dma f x mx x =∫ ■ (1) Nous allons laisser à la discrétion du lecteur la démonstration du terme ( ) ( )1sin dmb f x mx x qui exploite sensiblement les mêmes propriétés que la preuve (2). Note de cours rédigée par : Simon Vézina Page 8 Les séries de Fourier des intervalles temporelles Les séries de Fourier permettre de définir une fonction ()f x à l'aide d'une somme de fonction ()cosnx et ()sinnx où Nn? sur une période 2Pπ= sur un intervalle []0 0,x x x P? +.

Afin d'augmenter le domaine

x admissible dans le développement, nous pouvons remplacer l'espace x de périodicité 2Pπ=en radian en espace t de périodicité fondamentale

0T en seconde. Ainsi, la fonction à développer sera ()f t. Ce changement de

domaine entraînement une modification dans la forme des fonctions ayant une période fondamentale commune

0T par le changement de variable

0 2x tT

π= avec []0,i it t t T? +

ce qui donnera les fonctions 1, 0

2costT

0

2sinxT

0

2cos 2tT

0

2sin 2tT

0

2cosntT

0

2sinntT

ou les fonctions 1, ()0cos 2f tπ, ()0sin 2f xπ,()0cos 2 2f tπ, ()0sin 2 2f tπ, ... , ()0cos 2f ntπ, ()0sin 2f ntπ, ... avec l'expression de la fréquence fondamentale 0 0

1fT= .

Ainsi, la série de Fourier

( )( ) ( )( )0 0 0

1cos 2 sin 22n n

naf t a f nt b f ntπ π = + +∑ sur l'intervalle []0,i it t t T? + où

0 01/f T=,

nous pouvons déterminer les coefficients

0a, naet nb à l'aide des expressions suivantes :

Coefficient 0a

constant Coefficient na et nb des harmonique noù {}1,2,3,...n? 0 0 02d i it T t t a f t tT 0 0

02cos 2 d

i it T n t t a f t f nt tTπ 0 0

02sin 2 d

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