Séries de Fourier PDF Donner le développement en

Développement en Série de Fourier

a). Développer f en une série de cosinus en la prolongeant comme une fonction paire. b). Développer f en une série de sinus en la prolongeant comme une fonction

Séries de Fourier

Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x) et montrer qu'il les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus i.e.

Séries de Fourier

Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x) et montrer qu'il les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus i.e.

1. Séries de Fourier

Le développement en série de Fourier d'une fonction paire ne contient que des cosinus (c'est le cas de la fonction de l'exemple 2).

Les séries de Fourier

La formule de Parseval (admise). Il est aussi fait allusion `a l'utilisation du développement en série de Fourier d'une fonction périodique pour calculer la

Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique

Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients bn sont nuls). 1-2) Spectre en fréquences :.

Chapitre 1.X1 –Les séries de Fourier

La série de Fourier correspond à un développement d'une fonction ( ). f x sur une période de 2? à l'aide de fonctions sinus et cosinus de période

Séries de Fourier

Soit f la fonction 2?-périodique telle que : ? x ? [?? ?[

Décomposition en série de Fourier Signaux périodiques

Analyse de Fourier de signaux analogiques Série & transformée de Fourier ... Montrer que le développement en série de Fourier d'un signal.

Première semaine de travail : Série de Fourier

Analyse de Fourier - Série de Fourier. 2. Correction. 1) Nous savons par l'énoncé que la fonction f est paire donc son développement en cosinus-sinus.

[PDF] Développement en Série de Fourier

Développer en série de Fourier la fonction f de période T = 2? IMPAIRE définie par : f(t) = t(? ? t) si t ? [0 ; ?] apr`es l'avoir représentée graphiquement

[PDF] Chapitre 7 Séries de Fourier

Dans ce chapitre nous allons étudier une représentation des fonctions périodiques en séries connues sous le nom de Fourier représentation qui joue un rôle

[PDF] Séries de Fourier

a0 = 1 T ?? f(x) dx an = 2 T ?? f(x) cos(nwx) dx bn = 2 T ?? f(x) sin(nwx) dx Page 2 I Donner le développement en série de Fourier de f1 = cos3(x)

[PDF] Les séries de Fourier - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Il est aussi fait allusion `a l'utilisation du développement en série de Fourier d'une fonction périodique pour calculer la somme d'une série numérique

[PDF] 1 Séries de Fourier - lEAMAC

Le développement en série de Fourier d'une fonction paire ne contient que des cosinus (c'est le cas de la fonction de l'exemple 2) On dit alors que l'on a une

[PDF] SERIES DE FOURIER - Toutes les Maths

On dit que (16) est le développement de f en série de Fourier On dit aussi que la série de Fourier de f définie par Sf(t) = a0 + +? ? n=1 an cos(n?t)

[PDF] Séries de Fourier - Faculté des Sciences de Rabat

Le développement en série de Fourier est : f(x) = ? 2 ? 4 ? ? ? p=0 cos((2p + 1)x) (2p + 1)2 (2 3) L'égalité (2 3) est exacte partout Remarque

[PDF] S´eries de Fourier

On appelle développement en série de Fourier d'une fonction 2 ?-périodique f la série trigonométrique ˜f(x) = a0 2 + ? ? n=1 (an cos(n x) + bn

[PDF] Séries de Fourier : synth`ese de cours

(an cos(nx) + bn sin(nx)) ou sous la forme : f(x) = +? ? n=?? cneinx = lim N?+? N ? n=?N cneinx 1 Coefficients de Fourier et Séries de Fourier

[PDF] Exercices corrigés sur les séries de Fourier

Exercice 1 Calculer la série de Fourier trigonométrique de la fonction 2?-périodique f cos ( (2k + 1)t ) Puisque la fonction f est continue sur R

DIRO

IFT 3205

DÉMONSTRATION N

Max Mignotte

DIRO, Département d"Informatique et de Recherche Opérationelle, local 2384. http : //www.iro.umontreal.ca/≂mignotte/ift3205

E-mail : mignotte@iro.umontreal.ca

Séries deFourier

Rappel

Soitfune fonction périodique de périodeT= 2π/w= 1/f0, intégrable, on appelle série de Fourier def, la série trigonométrique n=0a ncos(nwx) +bnsin(nwx) Dont les coefficients sont donnés par les formules (Δétant un intervalle dans lequel il y a une période du signal) a 0=1 T? f(x)dx a n=2 T? f(x) cos(nwx)dx b n=2 T? f(x) sin(nwx)dx I.Donner le développement en série de Fourier def1= cos3(x)et montrer qu"il ne comporte qu"un nombre fini de termes. Aurait on put prévoir le fait que cette décomposition comportait un nombre fini de terme à l"avance?

Réponse

On peut bien sûr se lancer dans des calculs ... On peut! Mais rappelons que la décomposition en série

de Fourier consiste à représenter une fonction périodique comme étant une somme des fonctions périodiques

les plus élémentaires possibles (à savoir les sinus et les cosinus, i.e., les fonctions de fréquences pures). Alors

en se souvenant de cela, la décomposition en série de Fourierdecos(2x)est ...cos(2x). Bien sur, cela aussi

se vérifie avec les calculs intégrales. Dans ce sens il suffit delinéariserf1= cos3(x)pour trouver sa série de

Fourier et on peut donc prévoir à l"avance que cette série comportera un nombre fini de terme. On linéarise

doncf1= cos3(x) cos

3(x) = cos(x)?1

2(1 + cos2x)?

=12cos(x) +14? cos(3x) + cos(x)? 3

4cos(x) +14cos(3x)

0Spectre

πf =1/203ff

0 Remarque :Comme la fonctionf1= cos3(x)est relativement lisse (i.e., smooth) sans discontinuité,

on pouvait prévoir qu"elle ne comporterait pas beaucoup de termes d"harmoniques (elle en a qu"un) et/ou

que ceux ci s"atténueraient rapidement. N"oubliez pas aussi quecosx= cos2πf0xpourf0, la fréquence du

fondamentale,f0= 1/2π. II. Soit la fonctionf2, de périodeT= 2définie sur]0,2[par : f(x) 0 211 x f2(x) = 1six?]0;1] f

2(x) = 0six?]1;2]

1. Trouvez son développement en série de Fourier.

2. Quel est la valeur de cette série de Fourier enx= 0.5etx= 1?

3. En déduire que

p=0(-1)p

2p+ 1=π4

Réponse

T= 2, doncw=2πT=π

a 0=1 2? 2 0 f

2(x)dx=12

a n=2 2? 2 0 f

2(x)cos(nπx)dx=?

1 0 cos(nπx)dx=?sin(nπx)nπ? 1 0= 0 b n=2 2? 2 0 f

2(x)sin(nπx)dx=?

1 0 sin(nπx)dx=?-cos(nπx)nπ? 1

0=1-cos(nπ)nπ

On à donc, pour lesnpaires,bn= 0et pour lesnimpaires,bn=2 nπ, ce qui se traduit parb2p= 0et b

2p+1=2

π12p+1et la série suivante

2(x) =1

2+2π∞

p=012p+ 1sin[(2p+ 1)πx] =S(x)

Remarque :On peut comparer avec la fonction que l"on a décomposer en série de Fourier dans le cours.

On obtient ici presque les mêmes coefficients de série de Fourier :

1. Mis à part pour la valeur du coefficienta0qui correspond à la composante continue du signal ou sa

valeur moyenne; ce qui est normale puisque la fonction est dela même forme mais a une valeur moyenne

différente dans les deux cas.

2. Les autre coefficients sont divisés par un facteur deux dansce cas; ce qui est normale puisque ici,

l"amplitude est deux fois plus petite (du à la propriété de conservation de l"énergie dans les deux

espaces).

3. On peut remarquer que malgré le fait que la fonctionf2n"est pas impair, lesansont ici pourtant nulles.

En fait, la fonctionf2est bien impair à une constante près! on aurait put donc prévoir à l"avance que

lesanallaient être nulles! 2 Enx= 0.5,f2est continue et donc la valeur de convergence de la série obtenue est1.x= 1correspond

à un point de discontinuité de la fonctionf2et donc la valeur de convergence de la série est, par définition,

(cf. cours)

S(x= 1) =1

2? f

2(1-) +f2(1+)?

= 0.53 On a obtenu précédemmentS(x=12) = 1et donc on en déduit 1

2+2π∞

p=012p+ 1sin[(2p+ 1)π2] =S(x=12) = 1 p=01

2p+ 1sin[(2p+ 1)π2] =π4

p=0(-1)p

2p+ 1=π4

1Dans la suite, on va souvent utiliser le fait quesin(nπ) = 0etcos(nπ) = (-1)net quesin[(2p+ 1)π

2] = (-1)p

III.Soit la fonctionf3, de périodeT= 2πdéfinie par : xf(x) 0 f3(x) =xsix?]-π;+π]

1. Trouvez son développement en série de Fourier.

2. Comparer l"amplitude de l"harmonique de rangn= 11pour ce signal et le précédent.

Réponse

1 La fonctionf3est impaire et se developpe donc en série de sinus, de plusw= 2π/T= 1 b n=2

2π?

-πxsin(nx)dx=2π? 0 xsin(nx)dx 2 -xcos(nx)n?

0+2nπ?

0 cos(nx)dx =0carsin(nπ)=0 2 n(-1)n+1 f

3(x) = 2∞?

n=1(-1)n+1sin(nx) n2 L"amplitude de l"harmonique de rangn= 11pour ce signal est donccn= 2/11≈0.18. Pour le signal

précédent l"amplitude de l"harmonique de même rangn= 11étaitcn= 2/11π≈0.028. Ces harmoniques

vont tout les deux décroitre enn-1(et pour un signal discontinu, c"est souvent le cas) mais dans le signal

précédent, un sur deux avait une amplitude nulle (donc dans ce cas, on a une richesse d"harmoniques beaucoup

plus grande). IV.On a vue en cours que la fonction "onde carré" (que l"on appellera mathématiquement dans cette questionf4) de période2πavait pour développement en série de Fourier x0f(x) 1 -1f4(x) =4πp=∞? p=0sin(2p+ 1)x2p+ 1

1. Tracer la représentation spectrale de la fonctionf4.

2. Sans regarder le résultat de l"exercice 2 et sans rien calculer, tracer la représentation

fréquentielle du signal représenté par la fonctionf2.

3. Sans calculer d"intégrales, trouver le spectre de raies associé au signal représenté

par la fonctionf5donné par la figure suivante et son développement en série de Fourier. x0f(x) T/2 T/2 T

0Spectre

πf =1/203f5ff

0 0

Réponse

1 On obtient un spectre de raies d"amplitudes respectivement4/π,4/3π,4/5π,

4/7π, espacées à partir de la fréquence fondamentalef0= 1/2πde2f0.

2 On peut constater quef4etf2est le même signal avec cependant3différences

1. Une valeur moyenne non nulle pourf2égale à1

2. Le signal est contracté deπpourf2(comparativement àf4).

3. Le signal est d"amplitude deux fois plus petite pourf2(comparativement à

f 4). 0x1f 4 0 211 xf

22Le spectre def2(appelons leF2, et comparativement àF4, le spectre def4)

aura donc les caractéristiques suivantes :

1. Une raie spectrale supplémentaire enf= 0égale à la valeur moyenne du

signalf2, i.e., d"amplitude1 2.

2. Un axe des abscisses, pourF2, dilaté deπ(car tout ce qui est contracté

dans le domaine spatial est dilaté dans le domaine spectral)et donc les raies seront centrées sur des multiples impairs de la fréquence1/2(i.e.,1

2,32,52,

etc.).

3. Les coefficients pour les autres raies (autre que celle centrée enf= 0,

correspondant à la valeur moyenne du signal) seront d"amplitude deux fois plus petite (pour tenir compte quef2est d"amplitude deux plus petite que f

4et ainsi pour conserver la même énergie dans les deux espaces).

Rappelons que, pourf4, nous avions un spectre de raies (espacé à partir def0= 1/2π) d"amplitudes

4(x) =4

πp=∞?

p=0sin(2p+ 1)x2p+ 1

ou pour le même signal de périodeT(= 2π/w), un spectre de raies (espacé à partir def0= 1/T)

d"amplitudesquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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Max Mignotte

E-mail : mignotte@iro.umontreal.ca

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Rappel

Réponse

3(x) = cos(x)?1

2(1 + cos2x)?

4cos(x) +14cos(3x)

0Spectre

πf =1/203ff

2(x) = 0six?]1;2]

1. Trouvez son développement en série de Fourier.

2. Quel est la valeur de cette série de Fourier enx= 0.5etx= 1?

3. En déduire que

2p+ 1=π4

Réponse

T= 2, doncw=2πT=π

2(x)dx=12

2(x)cos(nπx)dx=?

2(x)sin(nπx)dx=?

0=1-cos(nπ)nπ

2p+1=2

π12p+1et la série suivante

2(x) =1

2+2π∞

1. Mis à part pour la valeur du coefficienta0qui correspond à la composante continue du signal ou sa

2. Les autre coefficients sont divisés par un facteur deux dansce cas; ce qui est normale puisque ici,

3. On peut remarquer que malgré le fait que la fonctionf2n"est pas impair, lesansont ici pourtant nulles.

S(x= 1) =1

2(1-) +f2(1+)?

2+2π∞

2p+ 1sin[(2p+ 1)π2] =π4

2p+ 1=π4

1Dans la suite, on va souvent utiliser le fait quesin(nπ) = 0etcos(nπ) = (-1)net quesin[(2p+ 1)π

2] = (-1)p

1. Trouvez son développement en série de Fourier.

2. Comparer l"amplitude de l"harmonique de rangn= 11pour ce signal et le précédent.

Réponse

2π?

0+2nπ?

3(x) = 2∞?

1. Tracer la représentation spectrale de la fonctionf4.

2. Sans regarder le résultat de l"exercice 2 et sans rien calculer, tracer la représentation

3. Sans calculer d"intégrales, trouver le spectre de raies associé au signal représenté

0Spectre

πf =1/203f5ff

Réponse

4/7π, espacées à partir de la fréquence fondamentalef0= 1/2πde2f0.

1. Une valeur moyenne non nulle pourf2égale à1

2. Le signal est contracté deπpourf2(comparativement àf4).

3. Le signal est d"amplitude deux fois plus petite pourf2(comparativement à

22Le spectre def2(appelons leF2, et comparativement àF4, le spectre def4)

1. Une raie spectrale supplémentaire enf= 0égale à la valeur moyenne du

2. Un axe des abscisses, pourF2, dilaté deπ(car tout ce qui est contracté

2,32,52,

3. Les coefficients pour les autres raies (autre que celle centrée enf= 0,

4et ainsi pour conserver la même énergie dans les deux espaces).

4(x) =4

πp=∞?