[PDF] 1. Séries de Fourier Le développement en sé

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1. S´eries de Fourier1. Introduction

En physique, on rencontre souvent des probl`emes faisant intervenir des vi- brations ou des oscillations. La vibration d"un diapason est un exemple de mou- vement harmonique simple. La note musicale produite est due au passage d"une onde sonore `a travers l"air, depuis le diapason jusqu"`a l"oreille. Quand le diapason vibre, il met les mol´ecules d"air en mouvement. Si l"on mesure la pression en exc`es en fonction de la distancexau diapason et du tempst, on trouve qu"elle est de la forme : p=Acos2π(x-vt)λ .(1.1) L"onde sonore produite par le diapason est une onde sinuso¨ıdale pure de fr´equence angulaire ou pulsationω= 2πv/λet de vecteur d"ondek= 2π/λ. On a : p=Acos(kx-ωt).(1.2) Si l"on ´emet simultan´ement plusieurs sons de fr´equence d´efinie, la pression dans l"onde sonore r´esultante n"est pas une fonction sinuso¨ıdale, mais une somme de plusieurs fonctions sinuso¨ıdales. De mˆeme, si l"on joue une note de piano, on n"obtient pas une onde sonore de fr´equence bien d´efinie, mais un sonfondamental accompagn´e d"autres sons (lesharmoniques) de fr´equences ´egales `a 2 fois, 3 fois, 4 fois..., celle du son fondamental. Si sinωtet cosωtcorrespondent `a la fr´equence fondamentale, sinnωtet cosnωt(nentier) correspondent aux harmoniques. La combinaison du fondamental et des harmoniques est une fonction p´eriodique com- pliqu´ee dont la p´eriode est celle du fondamental. On peut se poser la question suivante : ´etant donn´ee une fonction p´eriodique, comment l"´ecrire sous la forme d"une somme de termes correspondant aux diff´erents harmoniques? En g´en´eral, il est n´ecessaire pour cela d"´ecrire tous les harmoniques, c"est-`a-dire une s´erie infinie de termes. Cette s´erie est appel´ees´erie de Fourier.

D´evelopper une fonction en s´erie de Fourier revient `a la d´ecomposer en ses diff´erents

harmoniques.

2Chapitre 1 : S´eries de Fourier

2. D´efinition

On appelles´erie trigonom´etriqueune s´erie de la forme : a 02 n=1(ancosnx+bnsinnx).(2.1) Les constantesa0, anetbn(n= 1,2...) sont lescoefficientsde la s´erie trigo- nom´etrique. Si la s´erie (2.1) converge, sa somme est une fonction p´eriodiquef(x) de p´eriode 2π: f(x) =f(x+ 2π).(2.2) Comme indiqu´e dans l"introduction, on se pose le probl`eme suivant : ´etant une fonction p´eriodiquef(x) de p´eriode 2π, on se demande pour quelles conditions impos´ees `af(x) il existe une s´erie trigonom´etrique convergeant versf(x).

2.1. D´etermination des coefficients de la s´erie au moyen des formules

de Fourier On suppose que la fonctionf(x), p´eriodique et de p´eriode 2π, peut ˆetre repr´esent´ee par une s´erie trigonom´etrique convergeant versf(x) dans l"intervalle (-π,π), c"est-`a-dire que l"on peut ´ecrire :f(x) =a02 n=1(ancosnx+bnsinnx).(2.3) La s´erie (2.1) (qui figure au second membre de l"´equation (2.3)) est appel´ees´erie de Fourierdef(x). Les coefficientsanetbnsont lescoefficients de Fourierdef(x). •Calcul dea0 On suppose que la s´erie (2.1) (second membre de l"´equation (2.3)) peut ˆetre

int´egr´ee terme `a terme. C"est par exemple le cas si la s´erie num´erique form´ee avec

les coefficients de la s´erie trigonom´etrique converge absolument, c"est-`a-dire si la s´erie num´erique positive suivante converge : ??a02

La s´erie (2.1) est alors majorable et peut ˆetre int´egr´ee terme `a terme. On en d´eduit

l"´egalit´e?π -πf(x)dx=πa0,(2.5)

D´efinition3

qui fournit une expression dea0:a

0=1π

-πf(x)dx.(2.6) •Calcul des autres coefficients de Fourier Pour obtenir les autres coefficients de la s´erie, on calcule d"abord les int´egrales auxiliaires suivantes, dans lesquellesnetksont des entiers strictement positifs : -πcosnxcoskxdx=?0, n?=k

π, n=k,?π

-πcosnxsinkxdx= 0, -πsinnxsinkxdx=?0, n?=k

π, n=k.(2.7)

Pour d´eterminerakpourk >0 donn´e, on multiplie les deux membres de l"´egalit´e (2.3) par coskx: f(x)coskx=a02 coskx+∞? n=1(ancosnxcoskx+bnsinnxcoskx).(2.8) La s´erie du second membre est majorable et peut donc ˆetre int´egr´ee terme `a terme.

On obtient ainsi l"´egalit´e

-πf(x)coskxdx=πak,(2.9) qui fournit une expression deak:a k=1π -πf(x)coskxdx.(2.10) De mˆeme, en multipliant les deux membres de l"´egalit´e (2.3) par sinkxet en int´egrant surx, on obtient l"´egalit´e -πf(x)sinkxdx=πbk,(2.11) d"o`u l"on d´eduit une expression debk:b k=1π -πf(x)sinkxdx.(2.12)

4Chapitre 1 : S´eries de Fourier

2.2. Conditions suffisantes pour qu"une fonction soit d´eveloppable

en s´erie de Fourier Quelles sont les propri´et´es que doit poss´eder la fonctionf(x) pour que sa s´erie de Fourier converge et que sa somme soit ´egale aux valeurs de la fonction aux points consid´er´es? Nous allons ´enoncer un th´eor`eme donnant des conditionssuffisantespour que la fonctionf(x) soit repr´esentable par une s´erie de Fourier. Les fonctions consid´er´ees sont monotones par morceaux et born´ees sur l"intervalle consid´er´e, donc ne poss`edent que des points de discontinuit´e de premi`ere esp`ece, c"est-`a- dire avec une limite `a droite et une limite `a gauche. On a leth´eor`eme:Si la fonction p´eriodiquef(x)de p´eriode2πest monotone par morceaux et born´ee sur le segment(-π,π), sa s´erie de Fourier converge en tous les points. La somme de la s´erie obtenues(x)est ´egale `a la valeur de la fonctionf(x)aux points de continuit´e. Aux points de discontinuit´e def(x), la somme de la s´erie est ´egale `a la moyenne arithm´etique des limites de la fonction `a gauche et `a droite, c"est-`a-dire que, sic est un point de discontinuit´e def(x), on a : s(x)|x=c=f(c-0) +f(c+ 0)2 .(2.13) Ce th´eor`eme montre que la classe des fonctions repr´esentables par des s´eries de

Fourier est assez large.

3. Exemples de d´eveloppements de fonctions en s´eries de Fourier

Donnons des exemples de d´eveloppements de fonctions en s´eries de Fourier.

3.1. Exemple 1

On se donne une fonction p´eriodiquef(x) de p´eriode 2πd´efinie comme suit : Cette fonction est monotone par morceaux et born´ee (Figure 1).

Exemples de d´eveloppements de fonctions en s´eries de Fourier5002030-0-20-30f(x)xFigure 1Elle admet donc un d´eveloppement en s´erie de Fourier. On trouve en appli-

quant les formules (2.6), (2.10) et (2.12) : a

0=1π

-πxdx= 0,(3.2) a k=1π -πxcoskxdx= 0,(3.3) b k=1π -πxsinkxdx= (-1)k+12k .(3.4) On obtient ainsi le d´eveloppement def(x) en s´erie de Fourier : f(x) = 2?sinx1 -sin2x2 +···+ (-1)k+1sinkxk .(3.5) L"´egalit´e a lieu partout sauf aux points de discontinuit´e. En de tels points, la somme de la s´erie est ´egale `a la moyenne arithm´etique des limites de la fonction `a gauche et `a droite, c"est-`a-dire `a z´ero.

3.2. Exemple 2

On se donne une fonction p´eriodique de p´eriode 2πd´efinie comme suit

6Chapitre 1 : S´eries de Fourier

(c"est-`a-diref(x) =|x|dans l"intervalle (-π,π)). Cette fonction est monotone par morceaux et born´ee (Figure 2).0!2!3!-!-2!-3! f(x) )*+,-./"Elle admet donc un d´eveloppement en s´erie de Fourier. D´eterminons ses coef- ficients de Fourier. On obtient a

0=1π

?0 -π(-x)dx+? 0 xdx? =π,(3.7) a k=1π ?0 -π(-x)coskxdx+? 0 xcoskxdx? =2πk

2(coskπ-1),(3.8)

soit a k=?0, kpair, -4/πk2, kimpair,(3.9) et : b k=1π ?0 -π(-x)sinkxdx+? 0 xsinkxdx? = 0.(3.10) On a donc le d´eveloppement en s´erie de Fourier : f(x) =π2 -4π cosx1

2+cos3x3

2+···+cos(2p+ 1)x(2p+ 1)2+···?

.(3.11) La s´erie (3.11) converge partout et sa somme est ´egale `a la fonction consid´er´ee. Exemples de d´eveloppements de fonctions en s´eries de Fourier7

3.3. Exemple 3

On consid`ere la fonction p´eriodique de p´eriode 2πd´efinie comme suit : f(x) =-1,-π < x <0, Cette fonction est monotone par morceaux et born´ee (Figure 3). Calculons ses coefficients de Fourier. On obtient : a

0=1π

?0 -π(-1)dx+? 0 dx? = 0,(3.13) a k=1π ?0 -π(-1)coskxdx+? 0 coskxdx? = 0,(3.14) et b k=1π ?0 -π(-1)sinkxdx+? 0 sinkxdx? =2πk (1-coskπ),(3.15) soit : b k=?0, kpair,

4/πk, kimpair.(3.16)0!2!3!-2!-3!

f(x) 0 $0La s´erie de Fourier de la fonction consid´er´ee s"´ecrit donc : f(x) =4π sinx1 +sin3x3 +···+sin(2p+ 1)x2p+ 1+···? .(3.17)

8Chapitre 1 : S´eries de Fourier

L"´egalit´e (3.17) est exacte partout sauf aux points de discontinuit´e. En ces points, la somme de la s´erie est ´egale `a la moyenne arithm´etique des limites de la fonction `a gauche et `a droite, c"est-`a-dire `a z´ero.

3.4. Remarque sur le calcul des coefficients de Fourier

L"int´egrale d"une fonction p´eriodiquef(x) sur un intervalle arbitraire de lon- gueur ´egale `a la p´eriode a toujours la mˆeme valeur. On peut donc par exemple, dans le calcul des coefficients de Fourier d"une fonction p´eriodique de p´eriode 2π,

remplacer l"intervalle d"int´egration (-π,π) par l"intervalle (λ,λ+2π), o`uλest un

r´eel quelconque. Cette propri´et´e peut, dans certains cas, simplifier le calcul.

4. S´eries de Fourier des fonctions paires ou impaires

On consid`ere une fonctionf(x) d´efinie sur l"intervalle (-π,π). Cette fonction estpairesi : f(x) =f(-x).(4.1)

Elle estimpairesi :

f(x) =-f(-x).(4.2) Toute fonction peut ˆetre ´ecrite comme la somme d"une fonction paire et d"une fonction impaire. Les int´egrales sur des intervalles sym´etriques de fonctions de parit´e d´efinie peuvent ˆetre simplifi´ees. On a en effet, sifest paire, -πf(x)dx= 2? 0 f(x)dx,(4.3) et, sifest impaire :?π -πf(x)dx= 0.(4.4)

4.1. Fonction paire : s´erie de Fourier cosinus

Sif(x) est paire,f(x)sinkxest impaire etf(x)coskxest paire. Par suite, on a : aquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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