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1 nov 2004 · Pour une fonction d'une variable f, définie au voisinage de 0, être dérivable en 0, c'est admettre un développement limité `a l'ordre 1, f(x) = b +

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Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable et admettre cependant un développement limité 2 1 3 4 Formule de Taylor-

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f en x0, et un développement `a l'ordre 2 donne le cercle osculateur Le graphe d' une fonction de deux variables est une surface Un développement limité

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Cette fonction affine n'est autre que la partie principale du développement limité ` a l'ordre 1 de f Graphiquement, cela revient `a approcher le graphe de f par sa

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variables Ici, on va traiter seulement le cas de l'ordre 1 et le cas de l'ordre 2 au voisinage du point (a, b) 1 Développement limité d'ordre 1 d'une fonction `a

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Université Claude Bernard, Lyon ILicence Sciences, Technologies & Santé

43, boulevard 11 novembre 1918Spécialité Mathématiques

69622 Villeurbanne cedex, FranceL. Pujo-Menjouet

pujo@math.univ-lyon1.fr

Cours d"Analyse 3

Fonctions de plusieurs variablesFIGURE1 - Représentation de la fonctionf:R27!Rdéfinie par(x;y)7!z=sin(x2+3y2)0:1+r2+

(x2+ 5y2)exp(1r2)2 ;avecr=px

2+y2, et projection des courbes de niveau sur les plans

z= 0etz= 9. 1

Préambule

Le but de ce cours est degénéraliser la notion de dérivéed"une fonction d"une variable réelle

à valeurs réelles à partir de la théorie du calcul différentiel appliquée aux fonctions de plusieurs

variables. L"idée fondamentale de cette théorie est d"approcherune application "quelconque" (de

plusieurs variables réelles ici) par une applicationlinéaireauvoisinaged"un point. Le cadre général pour la mettre en oeuvre est celuides espaces vectoriels(ce qui donne un sens au mot"linéaire"comme nous le verrons dans les chapitres qui suivent), munis d"unenormesur l"espace de départ (pour avoir une notion devoisinage) et unenormesur l"espace d"arrivée (pour savoir"approcher").

Nous verrons que de cette théorie découle plusieurs propriétés et théorèmes classiques importants

ainsi que plusieurs applications notamment pour l"optimisation (voir le dernier chapitre du cours).

Toutefois, avant de s"attaquer au calcul différentiel proprement dit, il paraît nécessaire de bien

définir les notions de bases en topologie associées à cette théorie, à savoir : - les distances, boules ouvertes, fermées, - les ensembles ouverts, fermés, les normes, etc. Nous ne le ferons pas dans le contexte des espaces vectoriels de dimension infinie (hors pro- gramme), mais dans le cas particulier des espacesRn(et le plus souvent les espaces oùR2etR3) qui sont des espaces vectoriels particuliers de dimensionn(dimension finie). Rappelons qu"en dimension 2 (n= 2), on identifie un vecteurxde coordonnées(x1;x2)avec un point du plan de coordonnées(x1;x2)une fois fixée une origine.

Ici,ongénéraliseracetteidentificationendésignantlepointoulevecteurdecoordonnées(x1;:::;xn)

parx= (x1;:::;xn)2Rn. Rappelons enfin que l"ON NE PEUT PAS DIVISER PAR UN VECTEUR! Or, dansR, la définition de la dérivée fait intervenir le rapport(f(x)f(x0))=(xx0). Elle implique donc de pouvoir diviser par(xx0). Mais dansRnça n"a pas de sens car la division

par un vecteur n"est pas définie. Que faire alors si on ne peut pas définir la dérivée d"une fonction

DRn!Rn? C"est tout le but de ce cours : introduire une notion généralisée de la dérivée : la

DIFFERENTIABILITE.

Table des matières

1 Notion de topologie dansRn5

1.1 Espaces métriques, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2 Normes des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3 Boules ouvertes, fermées et parties bornée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Ouverts et fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5 Position d"un point par rapport à une partie deE. . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.6 Suites numériques dans un espace vectoriel normé . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7 Ensemble compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8 Ensemble convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9HORS PROGRAMME :Applications d"unee.v.n.vers une.v.n.. . . . . . . . .23

1.9.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.2 Opérations sur les fontions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.3 Extension de la définition de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.4 Cas des espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.5 Notion de continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9.6 Applications linéaires continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Fonctions de plusieurs variables. Limite. Continuité. 29

2.1 Fonctions réelles de variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Continuité sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Calcul différentiel 41

3.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Opérateurs différentiels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Propriétés des dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Notion de différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Opérations sur les fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Propriétés géométriques des fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . .

51
3

TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES

3.6.1 Gradient et ligne de niveau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2 Le gradient indique la ligne de plus grande pente . . . . . . . . . . . . . .

3.6.3 Plan tangent à un graphe d"une fonction de 2 variables . . . . . . . . . . .

4 Théorème des accroissements finis 55

4.1 Fonction d"une variable réelle à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Fonction d"une valeur sur un espaceRpet à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . .56

4.3 Fonction d"une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Théorème général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Difféomorphismes 61

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.2 Théorème d"inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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