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1 nov 2004 · Pour une fonction d'une variable f, définie au voisinage de 0, être dérivable en 0, c'est admettre un développement limité `a l'ordre 1, f(x) = b + 

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Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable et admettre cependant un développement limité 2 1 3 4 Formule de Taylor- 

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f en x0, et un développement `a l'ordre 2 donne le cercle osculateur Le graphe d' une fonction de deux variables est une surface Un développement limité

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Cette fonction affine n'est autre que la partie principale du développement limité ` a l'ordre 1 de f Graphiquement, cela revient `a approcher le graphe de f par sa 

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10 avr 2009 · Gradient et courbes de niveau 5 Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 

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variables Ici, on va traiter seulement le cas de l'ordre 1 et le cas de l'ordre 2 au voisinage du point (a, b) 1 Développement limité d'ordre 1 d'une fonction `a 

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voisinage de x0 ∈ R Si f admet un développement limité d'ordre m en x0 donné par f(x) Les formules ci-dessous concernent des développements limités de fonction usuelles en 0 1 5 DL d'ordre 2 pour une fonction de deux variables

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Maintenant qu'on a défini la notion de limite pour des suites dans Rn, la notion de continuité s'étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables En 

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plusieurs variables réelles ici) par une application linéaire au voisinage d'un point Le cadre général 27 2 Fonctions de plusieurs variables Limite Continuité 29 2 1 Fonctions réelles de variable réelle développement en sé- ries que 

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D´eveloppements limit´es d"une fonction `a deux variables1 D´eveloppements limit´es d"une fonction `a deux variables Ici, on va traiter seulement le cas de l"ordre 1 et le cas de l"ordre 2 au voisinage du point (a,b).

1 D´eveloppement limit´e d"ordre 1 d"une fonction `a deux variables

D´efinition 1.1

Le d´eveloppement limit´e d"ordre 1, d"une fonction `a deuxvariables, au voisinage du point (a,b) s"´ecrit :

f(x,y) =f(a,b) + (x-a)∂f ∂x(a,b) + (y-b)∂f∂y(a,b) +O? ?(x-a,y-b)?2? =f(a,b) +Df(a,b)(x-a,y-b) +O? ?(x-a,y-b)?2?

Le petitOpeut s"´ecrire aussi commeO??

(x-a)2+ (y-b)2?

2 D´eveloppement limit´e d"ordre 2 d"une fonction `a deux variables

D´efinition 2.1

Le d´eveloppement limit´e d"ordre 2, d"une fonction `a deuxvariables, au voisinage du point (a,b) s"´ecrit :

f(x,y) =f(a,b) +Df(a,b)(x-a,y-b) +1 2? D

2f(a,b)?

(x-a,y-b),(x-a,y-b)?? M+Rn

O`uRest le reste qui vautRn=O?

(x-a)2+ (y-b)2? . On peut ´egalement re´ecrire la quantit´eM:

M= (x-a)2∂2f

∂x2(a,b) + 2(x-a)(x-b)∂2f∂x∂y(a,b) + (y-b)2∂2f∂y2(a,b) - Mohammed EL BACHIR -quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2