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Service Commun de Formation ContinueAnnée Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variableset applications pour l"ingénieur

Polycopié de cours

Rédigé par YannickPrivat

Bureau 321 - Institut Élie Cartan Nancy (Mathématiques) - Université Henri Poincaré Nancy 1

B.P. 239, F-54506 Vandoeuvre-lès-Nancy Cedex.

e-mail : Yannick.Privat@iecn.u-nancy.fr ii

Avant-ProposCe cours présente les concepts fondamentaux de l"Analyse des fonctions de plusieurs variables.

Les premiers chapitres généralisent les notions de limite,dérivabilité et dévelopement limité, bien

connus dans le cas des fonctions d"une variable. Nous ne rechercherons pas dans ce cours une for-

malisation mathématique théorique de ces concepts, mais nous intéresserons au contraire à leurs

nombreuses applications dans le domaine de la Physique. Nous ciblerons trois axes principaux de développement : •l"optimisation (recherche d"extremums, minimisaton d"une énergie, etc.);

•les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation des cordes vibrantes, des

ondes, etc.); •l"intégration (calculs de moments d"inertie, de flux, etc.). Travail personnel de préparation :le premier chapitre présente des pré-requis utiles pour bien aborder ce cours. Je vous demande donc de l"étudiersérieusement pour la première séance et de noter toutes les questions que vous vous posez afin que nous en discutions en cours.

YannickPrivat

iii iv Table des matières1 Introduction à l"étude des fonctions de plusieurs variables 1

1.1 Fonctions de deux variables à valeurs réelles . . . . . . . . .. . . . . . . . 1

1.1.1 Exemple mathématique et définition . . . . . . . . . . . . . . . .. 1

1.1.2 Exemple en Physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Représentation graphique d"une fonction à deux variables . . . . . . 3

1.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.2.1 Rappel : dérivation d"une fonction deRdansR. . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Calcul de dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 4

1.2.3 Dérivées partielles d"ordre supérieur . . . . . . . . . . . .. . . . . . 6

1.3 Fonction denvariables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Fonction de trois variables à valeurs réelles . . . . . . .. . . . . . . 6

1.3.2 Fonctions à valeurs vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 7

1.3.3 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9

2 Calculs de limites et continuité11

2.1 Technique de recherche de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11

2.1.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.2 Formes indéterminées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3 Techniques pour lever les indéterminations . . . . . . . .. . . . . . 12

2.1.3.1 Fonctions polynôme ou rationnelle . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3.2 Technique du nombre dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3.3 Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.3.4 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Contiuité des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 16

2.2.1 Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Cas des fonctions deR2dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

v viTABLE DES MATIÈRES

2.2.3 Techniques générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20

3 Notion de différentiabilité23

3.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 23

3.2 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23

3.2.1 Dérivée selon un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2.2 Fonctionsf:Rn-→Rp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.3 Application différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 25

3.2.4 Développement limité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.5 Expression explicite de la différentielle . . . . . . . . . .. . . . . . 27

3.2.6 Méthode générale de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

3.3 Conséquences de la différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29

3.3.1 Notion de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Schéma récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30

4 Déterminant, Matrice jacobienne, Jacobien 35

4.1 Matrice jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

4.1.1 Différentiabilité des fonctions deRndansRp. . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2 Généralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1.3 Le Jacobien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2 Notion deC1-difféomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.2 Caractérisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39

5 Recherche d"extrema43

5.1 Problèmes liés à la recherche d"extrema . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 43

5.1.1 Développement limité à l"ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

5.1.2 Points critiques et extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43

5.2 Caractérisation des points critiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 44

5.2.1 Hessienne d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

5.2.2 Quelques notions d"Analyse spectrale . . . . . . . . . . . . .. . . . 45

5.3 Cas de la dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

TABLE DES MATIÈRESvii

5.4 Exercices du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48

6 Introduction aux EDP51

6.1 Équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 51

6.1.1 Quelques rappels sur les équations différentielles linéaires . . . . . . 51

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