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1 nov 2004 · Pour une fonction d'une variable f, définie au voisinage de 0, être dérivable en 0, c'est admettre un développement limité `a l'ordre 1, f(x) = b + 

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Remarque : une fonction f peut ne pas être dérivable ou plusieurs fois dérivable et admettre cependant un développement limité 2 1 3 4 Formule de Taylor- 

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f en x0, et un développement `a l'ordre 2 donne le cercle osculateur Le graphe d' une fonction de deux variables est une surface Un développement limité

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Cette fonction affine n'est autre que la partie principale du développement limité ` a l'ordre 1 de f Graphiquement, cela revient `a approcher le graphe de f par sa 

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10 avr 2009 · Gradient et courbes de niveau 5 Extrema 5 1 Signe d'une forme quadratique en deux variables 5 2 Développement limité à l'ordre 

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variables Ici, on va traiter seulement le cas de l'ordre 1 et le cas de l'ordre 2 au voisinage du point (a, b) 1 Développement limité d'ordre 1 d'une fonction `a 

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voisinage de x0 ∈ R Si f admet un développement limité d'ordre m en x0 donné par f(x) Les formules ci-dessous concernent des développements limités de fonction usuelles en 0 1 5 DL d'ordre 2 pour une fonction de deux variables

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Maintenant qu'on a défini la notion de limite pour des suites dans Rn, la notion de continuité s'étend sans problème à des fonctions de plusieurs variables En 

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plusieurs variables réelles ici) par une application linéaire au voisinage d'un point Le cadre général 27 2 Fonctions de plusieurs variables Limite Continuité 29 2 1 Fonctions réelles de variable réelle développement en sé- ries que 

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Fonctions de plusieurs variables

1 Jusqu'a maintenant, vous avez essentiellement appris a etudier les fonctions d'une variable. Cependant, pour modeliser de nombreux phenomenes, les fonctions d'une variable ne susent pas; on a souvent besoin de fonctions de plusieurs variables. Un exemple.Pour un echantillon d'une mole de gaz de Van der Waals, la pressionPdu gaz est une fonction de deux variables : sa temperatureT, et le volumeVoccupe par cet echantillon. On a en eet :

P(T;V) =RTVbaV

2 oua,betRsont des constantes (aetbdependent du gaz considere,Rest une constante universelle). Un autre exemple.L'energie totaleEd'un pendule pesant est une fonction de deux variables : l'angleque fait le pendule avec la verticale, et sa vitesse angulaire_. On a en eet :

E(;_) =12

m`2_2+mg`(1cos()) oum,get`sont des constantes (la masse du pendule, la constante de gravitation universelle,

et la longueur de la tige du pendule).Encore un exemple.Si vous voulez faire decrire le temps qu'il fait, a un moment donnee,

en Europe, vous allez modeliser la pression et la temperature par des fonctions de deux variables : 2 {un p ointsur la c artede l'Europ esera rep erepar deux v ariables: sa longitude xet sa latitudey; la pression en ce p oint,not eeP(x;y), sera donc une fonction des variablesxety; de m ^eme,la temp eratureen ce p oint,not eeT(x;y), sera donc une fonction des variables

xety.Bien s^ur, si vous voulez ^etre plus precis, il faudra introduire la variable altitudez, et considerer

la pressionPet la temperatureTcomme des fonctions des trois variablesx;y;z. Si vous voulez decrire l'evolution de la pressionPet la temperatureTau cours du temps, vous devrez introduire une quatrieme variablet, et considerer la pressionPet la temperatureT comme des fonctions des quatre variablesx;y;z;t.Etc. Une fois qu'on a modelise un phenomene naturel par une fonction de plusieurs variables, il faut ^etre capable | si on veut etudier le phenomene naturel en question | de decrire le comportement de cette fonction. Ceci permet de repondre a de nombreuses questions. Par exemple : Un p endulep esantp ossede-t-ildes p ositionsd' equilibre?Ces p ositionsson t-ellestables ou instables? P ourun gaz de V ande rW aals,existe-t-il des v aleursde la temp eratureet du v olume pour lesquelles la pression est minimale? Si on connait le v olumeet la te mperatured'un gaz de V ander W aalsa vecune certaine precision, avec quelle precision ceci peut-on en deduire la pression du gaz? Autrement dit, tout comme il est utile de savoir etudier les fonctions d'une variable, il est utile de savoir etudier les fonctions de plusieurs variables. 3 Nous allons apprendre a etudier les fonctions de plusieurs variables. La plupart du temps, nous considererons des fonctions qui dependent juste de deux | eventuellement trois | variables; cela permet d'eviter des notations et des calculs trop lourds, et toutes les idees sont deja presentes. Vous connaissez de nombreuses notions permettant d'etudier les fonctions d'une variable : domaine de d enition; repr esentationgr aphique(graphe) ; limites ; fonction d erivee;sens et tableau de v ariation; tangen te; d eveloppementlimit e; {etc. Pour chacune de ces notions, nous devrons nous demander comment elle change quand on passe aux fonctions de plusieurs variables. A votre avis, qu'est-ce qui change? Qu'est-ce qui reste essentiellement pareil?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2