1 nov 2004 · Pour une fonction d'une variable f, définie au voisinage de 0, être dérivable en 0, c'est admettre un développement limité `a l'ordre 1, f(x) = b +
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Fonctions de plusieurs variables
November 1, 2004
1 Diff´erentiabilit´e
1.1 Motivation
Pour une fonction d"une variablef, d´efinie au voisinage de 0, ˆetre d´erivable en 0, c"est admettre
un d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1, f(x) =b+ax+x?(x).Alorsb=f(0) eta=f?(0).
Interpr´etation g´eom´etrique. La courbe repr´esentative defposs`ede en (0,a) une tangente, la
droite d"´equationy=b+ax.On veut faire pareil pour une fonction de deux variables. La courbe repr´esentative est remplac´ee
par une surface repr´esentative d"´equationz=f(x,y), la droite tangente par un plan tangent d"´equationz=c+ax+by. La tangence s"exprime en disant que la distance entre le point (x,y,f(x,y)) de la surface et le point (x,y,c+ax+by) du plan est petite devant la distance de (x,y) `a l"origine.Exemple 1.1f(x,y) =x2+y2.
1.2 Diff´erentiabilit´e d"une fonction de deux variables
D´efinition 1.2Soitfune fonction de deux variables, d´efinie au voisinage de(0,0). On dit quefestdiff´erentiableen(0,0)si elle admet und´eveloppement limit´e `a l"ordre 1, i.e. si on peut ´ecrire
f(x,y) =c+ax+by+?x2+y2?(x,y),
o`u?(x,y)tend vers 0 lorsquexetytendent vers 0. Dans ce cas,fadmet des d´eriv´ees partielles en (0,0), et c=f(0,0), a=∂f∂x (0,0),∂f∂y (0,0).La diff´erentiabilit´e defen un point quelconque(x0,y0)se traduit par le d´eveloppement limit´e
f(x0+u,y0+v) =f(x0,y0) +∂f∂x (x0,y0)u+∂f∂y (x0,y0)v+?u2+v2?(u,v),
o`u?(u,v)tend vers 0 lorsqueuetvtendent vers 0. Exemple 1.3f(x,y) =x(2-x+y) +y(1-x-y)est diff´erentiable `a l"origine.En effet,
f(x,y) = 2x+y-x2-y2 = 2x+y+?x2+y2?(x,y),
1 o`u ?(x,y) =-?x 2+y2 tend vers 0 quandxetytendent vers 0.Th´eor`eme 1Soitfune fonction de deux variables d´efinie au voisinage de(0,0). Si les d´eriv´ees
partielles ∂f∂x et∂f∂y sont d´efinies au voisinage de(0,0)et continues en(0,0), alorsfest diff´erentiable en(0,0), et son d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 s"´ecrit f(x,y) =f(0,0) +∂f∂x (0,0)x+∂f∂y (0,0)y+?x