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Fonctions de plusieurs variables

November 1, 2004

1 Diff´erentiabilit´e

1.1 Motivation

Pour une fonction d"une variablef, d´efinie au voisinage de 0, ˆetre d´erivable en 0, c"est admettre

un d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1, f(x) =b+ax+x?(x).

Alorsb=f(0) eta=f?(0).

Interpr´etation g´eom´etrique. La courbe repr´esentative defposs`ede en (0,a) une tangente, la

droite d"´equationy=b+ax.

On veut faire pareil pour une fonction de deux variables. La courbe repr´esentative est remplac´ee

par une surface repr´esentative d"´equationz=f(x,y), la droite tangente par un plan tangent d"´equationz=c+ax+by. La tangence s"exprime en disant que la distance entre le point (x,y,f(x,y)) de la surface et le point (x,y,c+ax+by) du plan est petite devant la distance de (x,y) `a l"origine.

Exemple 1.1f(x,y) =x2+y2.

1.2 Diff´erentiabilit´e d"une fonction de deux variables

D´efinition 1.2Soitfune fonction de deux variables, d´efinie au voisinage de(0,0). On dit quef

estdiff´erentiableen(0,0)si elle admet und´eveloppement limit´e `a l"ordre 1, i.e. si on peut ´ecrire

f(x,y) =c+ax+by+?x

2+y2?(x,y),

o`u?(x,y)tend vers 0 lorsquexetytendent vers 0. Dans ce cas,fadmet des d´eriv´ees partielles en (0,0), et c=f(0,0), a=∂f∂x (0,0),∂f∂y (0,0).

La diff´erentiabilit´e defen un point quelconque(x0,y0)se traduit par le d´eveloppement limit´e

f(x0+u,y0+v) =f(x0,y0) +∂f∂x (x0,y0)u+∂f∂y (x0,y0)v+?u

2+v2?(u,v),

o`u?(u,v)tend vers 0 lorsqueuetvtendent vers 0. Exemple 1.3f(x,y) =x(2-x+y) +y(1-x-y)est diff´erentiable `a l"origine.

En effet,

f(x,y) = 2x+y-x2-y2 = 2x+y+?x

2+y2?(x,y),

1 o`u ?(x,y) =-?x 2+y2 tend vers 0 quandxetytendent vers 0.

Th´eor`eme 1Soitfune fonction de deux variables d´efinie au voisinage de(0,0). Si les d´eriv´ees

partielles ∂f∂x et∂f∂y sont d´efinies au voisinage de(0,0)et continues en(0,0), alorsfest diff´erentiable en(0,0), et son d´eveloppement limit´e `a l"ordre 1 s"´ecrit f(x,y) =f(0,0) +∂f∂x (0,0)x+∂f∂y (0,0)y+?x

2+y2?(x,y).

Exemple 1.4f(x,y) =x(2-x+y) +y(1-x-y)est diff´erentiable en tout point. En effet, on n"a qu"a utiliser le th´eor`eme 1. On peut aussi calculer directement f(x0+u,y0+v) = 2x0+ 2u+y0+v-x20-2x0u-u2-y20-2y0v-v2 = 2x0+y0-x20-y20+ (2-2x0)u+ (1-2y0)v-u2-v2 = 2x0+y0-x20-y20+ (2-2x0)u+ (1-2y0)v+?u

2+v2?(u,v).

1.3 Gradient

D´efinition 1.5Soitfune fonction de deux variables, diff´erentiable tout point d"un domaineD. Songradientest le champ de vecteurs d´efini surDpar ?f: (x,y)?→? ∂f∂x (x,y) ∂f∂y (x,y)? Exemple 1.6Le gradient de la fonction d´efinie surR2parf(x,y) =x2est le champ de vecteurs horizontal?(x,y)f=?2x 0?

1.4 Interpr´etation du d´eveloppement limit´e

Proposition 1.7Sifest diff´erentiable enP, alors pour toute droitet?→P+tvpassant parP,quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2