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IUFM du Limousin 2010-11

Mathématiques - Analyse

Rappels de Cours

Stéphane VinatierMASTER

Métiers de l"Éducation, de la Formation et de l"EnseignementFaculté des Sciences et Techniques

123 avenue Albert Thomas, 87060 Limoges cedex

Bâtiment XLIM, bureau X-407

05 87 50 67 79

stephane.vinatier@unilim.fr

Table des matières

1 Suites numériques 5

1.1 Définition, expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Propriétés des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Sous-suites, suites de Cauchy, comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Fonctions de la variable réelle 9

2.1 Limites; branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Propriétés locales de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Propriétés globales de la continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Formules de Taylor; développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6 Comparaison des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Intégration 17

3.1 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Primitives et calculs d"intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4 Intégrales impropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Fonctions de plusieurs variables 23

4.1 Fonctions de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Intégrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Construction de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.2 Théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.3 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Intégrales dépendant d"un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5 Équations différentielles 31

5.1 Théorème d"existence pour les équations différentielles résolues . . . . . . . . . 31

5.2 Systèmes différentiels linéaires d"ordre1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.1 Résolution du système homogène associé . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2.2 Variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

4TABLE DES MATIÈRESMaster MEFES. Vinatier

Chapitre 1

Suites numériques

1.1 Définition, expression

Unesuite de nombres réels(resp.complexes) est une fonction deN, ou d"une partie deN, dansR(resp. dansC). Ainsi la suite(un)n?Nassocie à chaque entier naturelnle nombreun. Exemple : la suite(vn)n≥1définie parvn=n2pour toutn≥1. Plutôt que de donnerundirectement en fonction den, la suite(un)nest souvent définie par récurrence: on donne le premier terme (disonsu0) et on exprimeun+1en fonction deun, pour toutn. Par exemple, étant donné un nombrer(" raison »), on peut produire des suites arithmétiques:an+1=an+ret des suitesgéométriques:gn+1=rgn. De nombreux problèmes sur les suites consistent à passer d"une écriture à l"autre. Exercice 1.1.1Donner l"expression dean(resp.gn) en fonction dea0(resp.g0),netrpour toutn; calculer la somme desnpremiers termes de chacune des deux suites. Exercice 1.1.2Soita= 0,26 = 0,26262626.... Ecrireacomme somme (infinie) des termes d"une suite géométrique; en déduire une écriture rationnelle dea. On sait multiplier une suite réelle (resp. complexe) par un réel (resp. complexe) et étant

donnés deux suites, on peut définir leurs somme, différence, produit, quotient (à condition que

la seconde ne s"annule pas à partir d"un certain rang). Toutes ces opérations se font simplement

terme à terme. Elles munissent l"ensemble des suites réelles (resp. complexes) d"une structure deR-algèbre (resp.C-algèbre).

De plus, dans le cas réel, si on connaît le comportement des suites considérées à l"infini

(voir section suivante), on peut en déduire celui de la suite résultant de l"opération (règle des

signes,...), hormis pour quelques cas indéterminés.

1.2 Propriétés des suites réelles

Étant donnée une suite réelle(un)n, on se demande si elle est croissante / décroissante (à

partir d"un certain rang), majorée / minorée / bornée, convergente / divergente. Exercice 1.2.1Que signifie "(un)nest majorée à partir du rangn0»? Montrer que ceci est

équivalent à "(un)nest majorée ».

5

6CHAPITRE 1. SUITES NUMÉRIQUESQuelques définitions indispensables :

•(un)nestconvergentes"il existe??Rtel que(un)nconverge vers?; •(un)nconverge vers??Rsi?ε >0,?n0?N, n≥n0? |un-?|< ε; •(un)nestdivergentesi elle n"est pas convergente.

Exercice 1.2.2Écrire la définition de l"assertion(un)ntend vers+∞. Une telle suite est-elle

convergente? Donner un exemple. Démontrer que toute suite convergente est bornée. Si les termes de la suite(un)nsont donnés en fonction den, disonsun=f(n)pour toutn,

c"est (souvent) l"étude des propriétés de la fonctionfqui permettra de déterminer les propriétés

de la suite(un)n. Exercice 1.2.3Montrer quefcroissante entraîne(un)ncroissante; construire un contre- exemple à la réciproque. Du fait que toute partie majorée non vide deRadmet une borne supérieure, on déduit la très importante propriété : Proposition 1.2.4Toute suite croissante et majorée converge. On montre en fait que la borne supérieure de l"ensemble des termes de la suite est sa limite. Il

suffit bien sûr que la suite soit croissante et majorée à partir d"un certain rang. On en déduit

aisément quetoute suite décroissante et minorée converge(considérer la suite opposée). Enfin,

que si la suite est majorée parM?R, sa limite sera inférieure ou égale àM. Ceci est aussi un

cas particulier duthéorème de comparaisonsuivant (pourquoi?) : Proposition 1.2.5Soient 2 suites(un)net(vn)ntelles queun≤vnpour toutn. Si(un)net (vn)nconvergent respectivement vers?et??, alors?≤??; si(un)ntend vers+∞, alors(vn)n aussi.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2