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Universit´e de Paris X Nanterre

U.F.R. Segmi Ann´ee 2006-2007

Licence Economie-Gestion premi`ere ann´eeCours de Math´ematiques II. Chapitre 2

1 Fonctions de plusieurs variables

Ce chapitre est conscr´e aux fonctions de plusieurs variables, c"est-`a-dire d´efinies sur une partie deRn, qu"on appellera son domaine de d´efinition. On se limitera essentiellement

aux fonctions de 2 ou 3 variables.Exemple1.Soitf1d´efinie surR2parf1(x,y) = (x+y)/(x-y). Son domaine de d´efinition

estR2\Δ, o`u Δ est la premi`ere bisectrice : Δ ={(x,y)?R2|x=y}.?? x < y

x > yFig.1 - Le domaine de d´efinition def1Exemple2.Soitf2d´efinie surR2parf2(x,y) =xy/?1-x2-y2. Son domaine de

d´efinition est le disque unit´e ouvertD={(x,y)?R2|x2+y2<1}.??

DFig.2 - Le domaine de d´efinition def2D´efinition 3(Graphe et isoclines).SoitDun domaine deR2etf:D→Rune fonction

d´efinie surD`a valeurs r´eelles. Le graphe defest la surface{(x,y,z)?R3|z=f(x,y)}. Pourc?R, on appelle courbe (ou ligne ou isocline) de niveaucla courbeIcd´efinie

implicitement par la relationf(x,y) =c, i.e.Ic={(x,y)?R2|f(x,y) =c}.Exemple4.Soitfla fonction d´efinie surR2parf(x,y) =x2+y2. Son graphe est un

parabolo¨ıde de r´evolution et ses isoclines sont les cerclesx2+y2=cpourc >0. Une telle surface d´efinie comme le graphe d"une fonction de deux variables (x,y) qui ne d´epend que dex2+y2est appel´ee surface de r´evolution.1

Fig.3 - Une surface et ses isoclinesExemple5.Soitfd´efinie parf(x,y) = (x+y)/(x-y). Les isoclines sont les courbes

d"´equationx+y=c(x-y), soit les droites passant par l"originey={(c-1)/(c+ 1)}x.

2 Limite et continuit´e

En dimension 1, on a vu que la notion de continuit´e est associ´ee `a celle de limite. Une fonction est continue enx0sif(x) s"approche def(x0) lorsquexs"approche dex0, c"est-`a-dire lorsque|x-x0devient petit. En dimension sup´erieure, pour d´efinir les notions

de limite et de continuit´e, il est tout d"abord n´ecessaire de d´efinir une notion de proximit´e,

et c"est-`a-dire de d´efinir la distance entre deux points deRn. Il y a de nombreux choix possibles, mais ils conduisent tous aux mˆemes notions de limite et de continuit´e. Nous en

consid`ererons un seul, pour sa simplicit´e.D´efinition 6(Distance).Soientu,v?Rn. La distance deu`av, not´eed(u,v)est d´efinie

pard(u,v) =?n i=1|ui-vi|.

En particulier, pourd= 2, la distance d"un point (x,y) `a (0,0) est ´egale `a|x|+|y|.D´efinition 7(Limite).On dit que la fonctionfd´efinie sur un domaineDdeRnadmet

la limite?enu0si pour tout? >0, on peut trouver und0>0tel que sid(u,u0)≤d0, alors|f(u)-?| ≤?. On note lim u→u0f(u) =? . Interpr´etationLe fait quefadmette la limite?enu0signifie d"une part que siuest proche deu0, alorsf(u) est proche de?, et surtout que l"on peut obtenir une approximation arbitrairede?par une ´evaluation defen un pointu, `a condition queusoit assez proche deu0.2 Remarque8.Lorsque l"on dit queus"approche deu0au sens de la distancedd´efinie ci-dessus, le chemin par lequelus"approche deu0n"est pas pris en compte. Donc lorsque fadmet une limite?enu0,f(u) s"approche de?quelle que soit la fa¸con dontus"approche deu0. Par exemple, en dimension 2, un point (x,y) peut s"approcher de 0 d"une infinit´e

de fa¸con, par exmple :-le long de l"axe horizontal, c"est-`a-dire quey= 0 etxtend vers 0,-le long de l"axe vertical, i.e.x= 0 etytend vers 0,-le long de la diagonale, i.e.x=yet tend vers 0,-le long d"une courbe quelconque, par exemple la paraboley=x2.

Si lim

u→u0f(u) =?, alors quel que soit le chemin queuprend pour aller `au0,f(u) va `a?. On peut utiliser cette remarque pour montrer a contrario qu"une fonction n"admet pas de limite en un point donn´e.Exemple9.Soitfla fonction d´efinie surR2\ {(0,0)}par f(x,y) =xyx 2+y2. Alorsfn"admet pas de limite en (0,0). En effet, le long d"un axe, par exemple le long de l"axe horizontal, on af(x,0) = 0 pour toutx?= 0, et donc limx→0f(x,0) = 0 (la limite est ici consid´er´ee pour une fonction de la seule variablex). De mˆeme,f(0,y) = 0 pour tout y?= 0, et donc limy→0f(0,y) = 0. Le long de la diagonalex=y, on af(x,x) = 1/2 pour toutx?= 0, et donc limx→0f(x,x) = 1/2. La fonctionfn"admet donc pas de limite en 0

au sens de la d´efinition 7.D´efinition 10(Continuit´e).Une fonctionfd´efinie sur un domaineDdeRnest continue

en un pointu0silimu→u0f(u) =f(u0). Elle est continue surDsi elle est continue en tout point deD. Les fonctions usuelles sont continues sur leur ensemble de d´efinition. Notamment, les polynˆomes, les fractions rationnelles aux points o`u le d´enominateur en s"annule pas. Les r`egles de la continuit´e des fonctions d"une seule variable s"appliquent : la somme, le pro- duit de fonctions continues sont des fonctions continues. La compos´ee de deux fonctions continues est continue.

3 Fonctions et d´eriv´ees partielles

Soitf:D→Rune fonction d´efine sur un domaineDdeRn. On appellei-`eme fonction partielle au pointa= (a1,...,an)?Dla fonctionfi, d´efinie sur le domaine D i={x?R|(a1,...,ai-1,x,ai+1,...,an)?D}, par ?x?Di, fi(x) =f(a1,...,ai-1,x,ai+1,...,an).3 Exemple11.Soitfd´efinie surR3parf(x,y,z) =xy2z3. Soita= (1,-1,2). Les fonctions partielles defenasont d´efinies surRpar f

1(x) =f(x,-1,2) = 8x , f2(y) =f(1,y,2) = 8y , f3(z) =f(1,-1,z) =z .Exemple12.Soitfd´efinie sur le disqueDde centre 0 et de rayon 2 par

f(x,y) =?4-x2-y2. Soita= (1/2,1). Les deux fonctions partielles defenasont f

1: [-⎷3,⎷3]→R, x?→?3-x2;

f

2: [-⎷15/2,⎷15/2]→R, y?→?15/4-y2D´efinition 13(D´eriv´ees partielles).Soitf:D→Rune fonction d´efinie sur un domaine

DdeRn. Soita?D. Si lai-`eme fonction partielle defenaest d´erivable enai, alors

sa d´eriv´ee (par rapport `a la variablexi) est appel´eei-`eme d´eriv´ee partielle defena, et

not´ee ∂f∂x i(a).Exemple14.Soitfd´efinie surR2parf(x,y) =x3y4. Alorsfadmet deux d´eriv´ees par- tielles en tout point (a,b) deR2: ∂f∂x (a,b) = 3a2b4, ∂f∂y

(a,b) = 4a3b3.Exemple15.Soitfd´efinie surR2parf(x,y) = (x+y)/x-y). Alorsfadmet deux d´eriv´ees

partielles en tout point (a,b) deR2tels quea?=b: ∂f∂x (a,b) =-2b/(a-b)2, ∂f∂y

(a,b) = 2b/(a-b)2.D´efinition 16(D´eriv´ees partielles d"ordre sup´erieur).Soitfune fonction d´efinie sur un

domaineDdeRn. Si ses d´eriv´ees partielles d"ordre 1 sont encore d´erivable par rapport

`a chaque variable, leurs d´eriv´ees partielles sont appel´ees d´eriv´ees partielles secondes. Par

r´ecurrence, on d´efinit les d´eriv´ees partielles d"ordrencomme les d´eriv´ees partielles des

d´eriv´ees d"ordren-1.Remarque17.Une d´eriv´ee partielle d"ordrenest donc obtenue en d´erivant partiellement

successivement par rapport `a une des variables,nfois. Par exemple, on obtient une d´eriv´ee d"ordre 4 d"une fonction de trois variablesx,y,zen d´erivant d"abord enx, puis eny, puis `a nouveau enx, puis enz; ou bien en d´erivant enypuis enz, puis deux fois enx.4 NotationLa d´eriv´ee partielle d"ordrepd"une fonction denvariablesx1,...,xnobtenue en d´erivantp1fois par rapport `ax1,p2fois par rapport `ax2...pnfois par rapport `axn, o`up1,...,pnsont des entiers positifs ou nuls tels quep1+···+pn=pest not´ee nf∂x

p11...∂xpnnExemple18.Reprenons l"exemple 11 et calculons quelques d´eriv´ees partielles successives

def(x,y,z) =xy2z3. ∂f∂x (x,y,z) =y2z3,

2f∂x

2(x,y,z) = 0 ;∂f2∂x∂y

(x,y,z) = 2yz3,

3f∂x∂y

2(x,y,z) = 2z3,∂3f∂x∂y∂z

(x,y,z) = 6yz2,

4f∂x∂y

3(x,y,z) = 0.

Il est naturel de se demander si dans les d´eriv´ees partielles d"ordre au moins 2, l"ordre

des d´erivations importe. Pour les fonctions usuelles dont toutes les d´eriv´ees existent et

sont continues sur leur domaine de d´efinition, l"ordre n"importe pas. Plus pr´ecis´ement, on

a le r´esultat suivant.Proposition 19(Lemme de Schwarz).Soitfune fonction d´efinie sur un domaineD

deRn. Soienti?=jdeux entiers compris entre 1 etn. Si les d´eriv´ees partielles secondes

2f/∂xi∂xjet∂2f/∂xj∂xiexistent et sont continues, alors elles sont ´egales.

Ce r´esultat sera admis et on admettra aussi qu"il existe des exemples de fonctions pour

lesquels les deux d´eriv´ees existent en un point mais ne sont pas ´egales. On ne donnera pas

de tels exemples car ils ne seront pas rencontr´es en pratique.Exemple20.Soitf:R2+→Rd´efinie parf(x,y) =?x

3y. Alors, pourx,y >0, on a

∂f∂x (x,y) =32 ⎷xy , ∂f∂y (x,y) =12 ?x 3/y;

2f∂

2x(x,y) =34

?y/x;∂2f∂y

2(x,y) =-14

?x/y 3;

2f∂y∂x

(x,y) =∂∂y ∂f∂x (x,y) =∂∂y 32
⎷xy =34 ?x/y ,

2f∂x∂y

(x,y) =∂∂x ∂f∂y (x,y) =∂∂x 12 ?x 3/y? =34 ?x/y 5

Fonctions homog`enes

D´efinition 21(Cˆone).Une partieCdeRnest un cˆone si pour toutx?Cet pour tout

t >0, on a aussitx?C.Exemple22.DansR2, les parties suivantes sont des cˆones :R2,R+2,R2-,C(θ1,θ2) =

{((x,y)?R2+|θ1≤arctan(y/x)≤θ2}, o`u 0≤θ1< θ2≤π/2.D´efinition 23(Fonction homog`ene).Soitrun r´eel quelconque. SoitCun cˆone deRn.

Une fonctionfd´efinie surCest dite homog`ene de degr´ersi pour toutx?Cet pour tout t >0, on a f(tx) =trf(x).Exemple24.Soit sur (R?+)2les fonctionsf0,f1etf2d´efinies respectivement par f

0(x,y) = log(y/x), f1(x,y) =?x

2+y2, f2(x,y) =?x

3y .

Alorsfiest homog`ene de degr´ei, pouri= 0,1,2.Th´eor`eme 25(Th´eor`eme d"Euler).Soitfune fonction homog`ene de degr´ersur un cˆone

CdeRn, admettant des d´eriv´ees partielles par rapport `a toutes les variables. Alors, pour toutx?C, on a n i=1x i∂f∂x

i(x) =rf(x).Exemple26.Consid´erons la fonctionf2de l"exemple 24. On a calcul´e ses d´eriv´ees partielles

dans l"exemple 22. On v´erifie alors : x ∂f2∂x +y∂f2∂y =x×32 ⎷xy+y×12 ?xquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2