[PDF] [PDF] fonction et continuite

[PDF] Equation f(x) = x

1 f étant une fonction continue et décroissante sur R, montrer que la fonction g définie par En déduire que l'équation f (x) = x admet une solution unique α 4

[PDF] Terminale S - Continuité dune fonction, Théorème des - Parfenoff

Remarque : Comme le montre la figure ci-dessus le nombre n'est pas Autrement dit l'équation ( ) = admet une unique solution appartenant 

[PDF] fonction et continuite

(c) combien de solution l'équation f(x)=3,5 admet-elle ? (d) soit g une fonction 1 montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α dans [−4 ; −2]

[PDF] 65 p 132 Correction - Coccimath

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = - 1 admet une unique solution α dans ]- ∞ ; 0] Sur [0 ; 1] : f est continue et 

[PDF] Continuité sur un intervalle - Modèle mathématique

L'équation f (x) = k admet α comme unique solution sur [a ; b] On se propose de montrer que l'équation f (x) = 0 possède une solution unique dans I

[PDF] 0 admet exacte

b) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique α que l'on déterminera En déduire le signe de g sur IR 2° Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) 

[PDF] α 1 α

EX 1 : ( 7 points ) Le but de l'exercice est démontrer que l'équation (E) : ex = 1 x admet une unique solution dans R et de construire une suite qui converge vers 

[PDF] Partie A - Existence et unicité de la solution Partie B - Maths-francefr

2 Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution notée α appartenant à l'intervalle ]0; +∞[

[PDF] Corrigé du TD no 11

Montrer que l'équation x2(cos x)5 + x sin x +1=0 admet au moins une solution réelle Réponse : La fonction f : x ↦→ x2(cos x)5 + x sin x + 1 est continue sur R De 

[PDF] montrer qu'une fonction admet un maximum

[PDF] montrer qu'une fonction admet un point fixe

[PDF] montrer qu'une fonction est convexe

[PDF] montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle

[PDF] montrer qu'une fonction est majorée

[PDF] montrer qu'une matrice est diagonalisable

[PDF] montrer qu'une matrice est inversible et calculer son inverse

[PDF] montrer qu'une matrice est nilpotente

[PDF] montrer qu'une relation d'ordre est totale

[PDF] montrer qu'une suite convergente est stationnaire

[PDF] montrer qu'une suite est arithmétique

[PDF] montrer qu'une suite est arithmétique méthode

[PDF] montrer qu'une suite est croissante exemple

[PDF] montrer qu'une suite est de cauchy exercice corrigé

[PDF] montrer qu'une suite est géométrique de raison

continuité

Table des matières

1 fonction continue2

1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2

1.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2

1.1.2 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 4

1.1.3 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5

1.1.4 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 7

1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 9

1.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 10

1.4 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 16

1.5.1 annulation et signe du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 16

1.5.2 annulation et dichotomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 18

1.6 évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 22

1.7 corrigé évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 23

1.8 corrigé devoir maison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 25

1

1 fonction continue1.1 activités1.1.1 activité 1

Activité 1

1. approche graphique.

Soitfune fonction définie sur[0;6]telle que :

fest strictement croissante sur[0;6] f(0) = 1 limx2-f(x) = 3 f(2) = 3 limx2+f(x) = 4 f(6) = 5

0123456

0 1 2 3 4 5 6y

x (a) Construire une courbe possible pour la fonctionf (b) En quelle valeur dexla fonctionfn"est elle pas continue? (c) combien de solution l"équationf(x) = 3,5admet-elle? (d) soitgune fonction telle que :g(0) = 1, g croît strictement sur[0;6]etg(6) = 5 i. Sous quelle condition portant surgl"équationg(x) = 3,5admet-elle une seule solution dans [0;6]? ii. Construire une courbe possible pour g

2. fonction partie entière.

Définition: La fonction partie entière, notéeE, est la fonction définie sur]? ;+[telle que :

Eassocie au réelxle réel notéE(x)où :

E(x)= le plus grand entier inférieur ou égal àx. (a) Donner grâce à la définition les valeurs respectives deE(4,15), E(?4,15), E(5) (b) compléter le tableau de valeurs suivant E(x) (c) construire la courbe de la fonction E dans le repère suivant. (d) en quelles valeurs de x la fonction E n"est-elle pas continue? 1 ?1 ?21 2?1?2Oy x

1.1.2 corrigé activité 1

Corrigé Activité 1

1. approche graphique.

Soitfune fonction définie sur[0;6]telle que :

fest strictement croissante sur[0;6] f(0) = 1 limx2-f(x) = 3 f(2) = 3 limx2+f(x) = 4 f(6) = 5

0123456

0 1 2 3 4 5 6y

x 3,5 C gC f (a) Construire une courbe possible pour la fonctionf:voir ci dessus (b) En quelle valeur de x la fonctionfn"est elle pas continue? :en x = 2 (c) combien de solution l"équationf(x) = 3,5admet-elle? :Aucune (d) soitgune fonction telle que :g(0) = 1, g croît strictement sur[0;6]etg(6) = 5 i. Sous quelle condition portant surgl"équationg(x) = 3,5admet-elle une seule solution dans [0;6]? : g doit-être continue sur[0;6] ii. Construire une courbe possible pour g(voir ci dessus)

2. fonction partie entière.

Définition: La fonction partie entière, notéeE, est la fonction définie sur]? ;+[telle que :

Eassocie au réelxle réel notéE(x)où :

E(x)= le plus grand entier inférieur ou égal àx. (a) Donner les valeurs respectives de

E(4,15) = 4, E(?4,15) =?5, E(5) = 5

(b) compléter le tableau de valeurs suivant

E(x)-2-2-1-1-1000111223

(c) construire la courbe de la fonction E dans le repère suivant :(voir ci dessous) (d) En quelles valeurs de x la fonction E n"est-elle pas continue?

E n"est pas continue en toute valeur dexoùx

est entier relatif1 ?1 ?21 2?1?2Oy i x i

1.1.3 activité 2

Activité 2

1. Exploitation d"un tableau de variation

(a) soitfdéfinie sur l"intervalle[?3;2]dont le tableau de variations est donné ci dessous (on admettra qu"une flèche signifie que la fonction est continue sur l"intervalle concerné) x?3?2 0 2 f+0-0+ 3 5 f ?4 01234 ?1 ?2 ?3 ?41?1?2?3y x i. construire dans le repère, une courbe possible pourf ii. donner le nombre de solutions de l"équation f(x) = 0et localiser chacune d"elle le plus précisément possible iii. en déduire le tableau de signes defsur[?3;2] iv. donner le nombre de solutions de l"équationf(x) =ken fonction des valeurs dek

2. Calculatrice et localisation des solutions d"une équation

Soit la fonctionfdéfinie sur définie par :f(x) =?2x3+ 12x2+ 9sur[?1;7] (a) étude des variations de f i. calculerf(x): ii. annulation et signe def(x) iii. tableau de variations def: (b) L"équationf(x) = 0admet combien de solution dans[?1;7]d"après ce tableau de variations? (c) justifier pourquoi l"équationf(x) = 0admet une seule solutionαdans[4;7]. (d) déterminer à la calculatrice une valeur approchée deαà 0,001 près (e) en déduire le signe defsur[?1;7]

1.1.4 corrigé activité 2

Activité 2

1. Exploitation d"un tableau de variation

(a) soitfdéfinie sur l"intervalle[?3;2]dont le tableau de variations est donné ci dessous (on admettra qu"une flèche signifie que la fonction est continue sur l"intervalle concerné) x?3?2 0 2 f+0-0+ 3 5 f ?4 01234 ?1 ?2 ?3 ?41?1?2?3y x i. une courbe possible pourf ii. l"équationf(x) = 0admet deux solutions :? ???α[?3;?2]et????β= 0 iii. tableau de signes defsur[?3;2] x?3α0 2 f?0 + 0 + iv. donner le nombre de solutions de l"équationf(x) =ken fonction des valeurs dek valeur deknombre de solutions de l"équationf(x) =kpourx[?3;2] k >5aucune solution

3< k5une seule solution

k= 3deux solutions

0< k <3trois solutions

k= 0deux solutions ?4k <0une solution k 2. Calculatrice et localisation des solutions d"une équation Soit la fonctionfdéfinie sur définie par :f(x) =?2x3+ 12x2+ 9sur[?1;7] (a) Etude des variations de f. i. Calcul def(x):? ???f(x) =?6x2+ 24x ii. Annulation et signe def(x): f (x)est un polynôme de degré 2 de la formeax2+bx+c on utilise la règle du signe deax2+bx+c

Annulation :

Méthode sans le discriminant possible carc= 0

f (x) = 0 ?6x2+ 24x= 0x(?6x+ 24) = 0x= 0oux=?24 ?6= 4

Méthode avec le discriminant :

Δ =b2?4acavec???a=?6

b= 24 c= 0doncΔ = 242?4(?6)0 = 576

Δ>0donc 2 annulations

x 1=?b+

2a=?(24) +

576

2(?6)= 0etx2=?b?

2a=?(24)?

576

2(?6)= 4

x?10 47 ?6x2+ 24x- 0 + 0 - iii. variations def: x?10 47 f(x)- 0 + 0 - 23 73
f(x) 9 -89 f(0) =?203+ 1202+ 9 = 9 (b) L"équationf(x) = 0admet une seule solution dans[?1;7]d"après ce tableau de variations. (c) L"équationf(x) = 0admet une seule solution dans[4;7]car :???????f(4) = 73et73>0 f(7) =?89et?89<0 fest continue sur[4;7]en tant que fonction polynômiale de degré 3 fest strictement décroissante sur[4;7]

Donc, d"après le théorème des valeurs intermédiaires l"équationf(x) = 0possède une solution

uniqueαdans[4;7] (d) La calculatrice permet de voir que6,120< α <6,121car : x6,1206,121 f(x)0,001 ?0,007 comparaison à0>0<0 doncα= 6,120ou6,121à103près (e) x?1α7 f(x)+ 0 -

1.2 à retenir

définition 1 :(fonction continue en un nombre ou sur un intervalle ) Quel que soit le nombre réela, quel que soit l"intervalleIdeR: (1)????fest continue enx=a? limxa-f(x) = limxa+f(x) =f(a) a ?non continue ena a ?continue ena (2)fest????continue sur l"intervalleIfest????continue en toutaI Remarque :( cette remarque ne sert en aucun cas à démontrer quoi que ce soit) fest continueon peut tracer la courbe defsans lever le crayon propriété 1 :(fonctions continues usuelles) Toutes les????fonctions usuelles( polynômes, rationnelles, racines nieme, ... )

ainsi que????celles obtenues par opérations sur ces fonctions sont????continues sur tout intervalle

contenu dans leur ensemble de définition

Exemples :

xx2+ 5x?10: est continue surRen tant que fonction polynôme définie surR x x: est continue pourx0en tant que fonction racine carrée définie pourx0 x2x+ 3

5x?10: est continue surx]2;+[en tant que fonction rationnelle définie pourx]2;+[

Théorème 1

:(théorème des valeurs intermédiaires) Soitfune fonction définie sur un intervalleIet soientaIetbIdeux nombres deI ???f(a)< k ???f(b)> k f ???est continue sur [a;b] f ???est strictement croissante sur [a;b]abf(a)f(b) k alors l"équation????f(x) =kadmet une????unique solutionαdans[a;b] (on a une formulation équivalente pour f strictement décroissante et continue)

Remarque :

Ce théorème peut permettre de démontrer qu"une équation admet une unique solution dans un in-

tervalle donné dès lors que la fonction est strictement "monotone" (croissante ou décroissante) et

qu"elle vérifie 3 autres hypothèses ci dessus

1.3 exercices

exercice 1 :

1. Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =????3x2+x+ 3 six]? ;1]

xsix]1;+[

La fonctionfest-elle continue enx= 1?

x?2six[3;5[ asix= 5 x

2?2x?12 six]5;+[

Existe t-il une valeur deapour laquelle la fonctionfest continue enx= 5? (justifier) exercice 2 : Soit la fonctionfcontinue définie surRdont le tableau de variations est donné ci dessous : x?-4 -2 1 4+ -2 f(x)1 -6 -5

1. montrer que l"équationf(x) = 0admet une solution uniqueαdans[?4 ;?2]

2. l"équationf(x) =?10admet-elle des solutions? Justifier

3. l"équationf(x) = 2admet-elle des solutions? Justifier

4. combien de solutions l"équationf(x) =?3admet-elle? Justifier

5. donner le tableau de signe def

exercice 3 :

Dans chacun des cas suivants :

- étudier les variations de la fonctionf - déterminer le nombre d"annulations def(justifier) - localiser les annulations à102près - donner le tableau de signe def

1.f(x) =x3?2x2?4x+ 3sur[?3;4]

2.f(x) = 2x3?6x2+ 6x+ 3sur[?2;2]

3.f(x) =?3x3+ 9x2?27x+ 6sur[?2;2]

exercice 4 : Soit la fonctionfstrictement décroissante sur[0;+[définie par :f(x) =?x3+2x2?2x+8pourx0

1. Justifier pourquoi l"équationf(x) = 0possède une solution uniqueαdans[0;3].

2. Déterminer à la calculatrice une valeur approchée deαà 0,001 près.

3. En déduire le signe defsur[0;+[

1.4 corrigés exercices

corrigé exercice 1 :

1.fest continue enx= 1limx1-f(x) = limx1+f(x) =f(1)

or limx1-(?3x2+x+ 3) =?312+ 1 + 3 = 1 carx ?3x2+x+ 3est continue en1en tant que fonction polynôme continue surR donc? limx1-f(x) = 1 limx1+ x=1 =????1 carx xest continue en1en tant que fonction racine carrée continue pourx >0 donc? limx1-f(x) = 1 f(1) =?312+ 1 + 3 =? ???1 donclimx1-f(x) = limx1+f(x) =f(1)donc? ???fest continue enx= 1 2. si ???a= 3la fonctionfest continue enx= 5 ( on vérifie qu"alors :limx5-f(x) = limx5+f(x) =f(5) = 3) corrigé exercice 2 : Soit la fonctionfcontinue définie surRdont le tableau de variations est donné ci dessous :

1. L"équationf(x) = 0admet?

???une solution unique dans[?4 ;?2]car : ?f(?4) = 1et? ???1>0 f(?2) =?5et? ????5<0 fest? ???continue sur[?4;?2] fest? ???strictement décroissante sur[?4;?2]

Donc, d"après le théorème des valeurs intermédiaires l"équationf(x) = 0possède une solution unique

dans[?4;?2]

2. Pour l"équationf(x) =?10?

???on ne peut rien dire quand au nombre de solutions, cela dépend de la valeur delimx+f(x) 3. ???on ne peut rien dire pour l"équationsf(x) = 2, cela dépend de la valeur delimxf(x)

4. L"équationf(x) =?3admet nécessairement?

???3 solutions ,

on applique trois fois le théorème des valeurs intermédiaires sur respectivement[?4;?2],[?2;1], et

[1;4]

5. on a le tableau de signes suivant :

x?α+ f(x)+ 0 - corrigé exercice 3 :

1.f(x) =x3?2x2?4x+ 3sur[?3;4]

(a) Etude des variations de f. i. Calcul def(x):? ???f(x) = 3x2?4x?4 ii. Annulation et signe def(x): f (x)est un polynôme de degré 2 de la formeax2+bx+c, on utilise la règle du signe de ax

2+bx+c

Annulation :f(x) = 03x2?4x?4 = 0on utilise le discriminant : avec ?a= 3 b=?4 c=?4doncΔ =b2?4ac= (?4)2?4(3)(?4) = 64

Δ>0donc 2 annulations

x 1=?b+

2a=?(?4) +

64

2(3)= 2etx2=?b?

2a=?(?4)?

64

2(3)=?46=?23

valeur dex?3?2324 signe de3x2?4x?4+ 0 - 0 + iii. variations def: valeur dex?3?2324 signe def(x)+ 0 - 0 +

4,48 19

variations def ?30?5 f(2) = 23?222?42 + 3 =?5 (b) L"équationf(x) = 0admet trois solutionα,βetγdans[?3;4]car ( pourα): ?f(?3) =?30et?30<0 f(?2

3)4,48et4,48>0

fest continue sur[?3;?2

3]en tant que fonction polynômiale de degré 3

fest strictement croissante sur[?3;?2 3]

Donc, d"après le théorème des valeurs intermédiaires l"équationf(x) = 0possède une solution

uniqueαdans[?3;?2 3] on raisonne de même pour les deux autres solutions (c) La calculatrice permet de voir que?1,63< α 0 de même on trouve que :????0,61< β <0,62 de même on trouve que :? ???γ= 3 (d) on a le tableau de signes suivant : x?3α β3 + f(x)- 0 + 0 - 0 +

2.f(x) = 2x3?6x2+ 6x+ 3sur[?2;2]

(a) Etude des variations de f. i. Calcul def(x):? ???f(x) = 6x2?12x+ 6 ii. Annulation et signe def(x): f (x)est un polynôme de degré 2 de la formeax2+bx+c, on utilise la règle du signe de ax

2+bx+c

Annulation :f(x) = 06x2?12x+ 6 = 0on utilise le discriminant : avec ?a= 6 b=?12 c= 6doncΔ =b2?4ac= (?12)2?4(6)6 = 0

Δ = 0donc 1 annulation

x 0=?b

2a=?(?12)2(6)= 1

valeur dex?2 1 2 signe de6x2?12x+ 6+ 0 + iii. variations def: valeur dex?2 12 signe def(x)+ 0 + 7 variations def ?49 f(2) = 223?622+ 62 + 3 = 7 (b) L"équationf(x) = 0admet une seule solutionαdans[?2,2]car : ?f(?2) =?49et?49<0 f(2) = 7et7>0 fest continue sur[?2;2]en tant que fonction polynomiale de degré 3 fest strictement croissante sur[?2;2]

Donc, d"après le théorème des valeurs intermédiaires l"équationf(x) = 0possède une solution

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