[PDF] 0 admet exacte PDF fon,pb,cor,0506.pdf

b) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique α que l'on déterminera En déduire le signe de g sur IR 2° Soit la fonction f définie sur IR par : f(x)

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[PDF] Equation f(x) = x

1 f étant une fonction continue et décroissante sur R, montrer que la fonction g définie par En déduire que l'équation f (x) = x admet une solution unique α 4

[PDF] Terminale S - Continuité dune fonction, Théorème des - Parfenoff

Remarque : Comme le montre la figure ci-dessus le nombre n'est pas Autrement dit l'équation ( ) = admet une unique solution appartenant

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(c) combien de solution l'équation f(x)=3,5 admet-elle ? (d) soit g une fonction 1 montrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique α dans [−4 ; −2]

[PDF] 65 p 132 Correction - Coccimath

D'après le théorème des valeurs intermédiaires, on conclut que l'équation f(x) = - 1 admet une unique solution α dans ]- ∞ ; 0] Sur [0 ; 1] : f est continue et

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L'équation f (x) = k admet α comme unique solution sur [a ; b] On se propose de montrer que l'équation f (x) = 0 possède une solution unique dans I

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b) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique α que l'on déterminera En déduire le signe de g sur IR 2° Soit la fonction f définie sur IR par : f(x)

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EX 1 : ( 7 points ) Le but de l'exercice est démontrer que l'équation (E) : ex = 1 x admet une unique solution dans R et de construire une suite qui converge vers

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2 Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution notée α appartenant à l'intervalle ]0; +∞[

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Montrer que l'équation x2(cos x)5 + x sin x +1=0 admet au moins une solution réelle Réponse : La fonction f : x ↦→ x2(cos x)5 + x sin x + 1 est continue sur R De

1 Soit f la fonction définie sur [- 2 ; 2] par : f(x) = 1 + 3 x - x3 .

1° Démontrer que l"équation f(x) = 0 admet exactement trois solutions dans l"intervalle [ - 2 ; 2].

2° On se propose de déterminer la valeur exacte de chacune des solutions de l"équation f(x) = 0.

a) Démontrer que, pour tout réel u : sin(3 u) = 3sin u - 4 sin 3 u. b) Démontrer que si x Î [- 2 ; 2], alors il existe un réel u tel que x = 2 sin u.

En déduire que si x est solution de l"équation f(x) = 0, alors il existe un réel u tel que 1 +2 sin (3 u) = 0.

c) Exprimer les trois solutions de l"équation f(x) = 0 sous la forme 2 sin a où a Î ??? ???- p 2 , p 2 2 Partie A Soit f la fonction définie sur IR - {- 2} par f(x) = 1 - x 2

2 + x et C sa représentation graphique dans un

repère orthonormal (O;

¾®i;

¾®j)

1° a) Pour tout x réel différent de - 2, trouver trois réels a, b , c tels que f(x) = a x + b + c

x + 2 En déduire que la courbe C admet une asymptote oblique en + ¥ et en - ¥ . b) Etudier la limite de f en - 2. que peut-on dire de la courbe C ?

2° Démontrer que C admet un centre de symétrie.

3° Déterminer les points d"intersection de la courbe C avec l"axe des abscisses et donner une équation de la tangente

à la courbe

C en ces points.

4° Soit A le point de coordonnées (2 , 0). Montrer qu"il existe une et une seule tangente T à la courbe C passant

par A. Donner une équation de la droite T

5° Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative C dans un repère orthogonal.

Partie B Soit j la fonction définie sur IR par j(t) = 1 - sin 2 t

2 + sin t.

1° Pour tout réel t, montrer que j(p - t) = j(t). Expliquer comment l"étude des variations de j sur ???

???- p 2 , p

2 permet

de construire la courbe représentative de j.

2° a) On pose a =

3 - 2. Justifier l"existence et l"unicité de t0 Î ???

???- p 2 , p

2 tel que sin t0 = a.

b) En utilisant j comme composée de fonctions, étudier les variations de j sur ??? ???- p 2 , t0 puis sur ??? ???t0 , p 2.

c) Soit j" la dérivée de j. Pour tout nombre réel t, prouver l"égalité : j"(t) = f "(sin t) cos t. Trouver alors les valeurs

pour lesquelles j"(t) s"annule sur ??? ???- p 2 , p

2 et tracer la courbe représentative de j sur ???

???- 3 p 2 , p 2. 3

1° Soit la fonction g définie sur IR par : g(x)= 2 x - 1 +x2.

a) Etudier les variations de la fonction g .

b) Montrer que l"équation g(x) = 0 admet une solution unique a que l"on déterminera. En déduire le signe de g sur IR

2° Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = 2

1 +x2 - x et C sa courbe représentative dans le plan muni d"un

repère orthogonal. On note D et D " les droites d"équations respectives y = - 3 x et y = x. a) Etudier les limites de f en +

¥ et en - ¥

b) Montrer que, pour tout réel x, f "(x) = g (x)

1 + x2 . En déduire le tableau des variations de la fonction f.

c) Déterminer la limite en - ¥ de f(x) - (- 3 x). Quelle conséquence graphique peut-on déduire de ce résultat ?

e) Montrer que la droite

D " est asymptote à la courbe C en +¥ .

f) Etudier la position de C par rapport aux deux droites D et D ". Tracer la courbe C , ainsi que les droites D et D".

4 On munit le plan d"un repère orthonormé (O;

¾®i;

¾®j); soit f la fonction définie sur [ 0 ; 1 ] par f(x) = x - 2 x + 1; on appelle G sa courbe représentative.

Partie A

1° Etudier les variations de f.

2° Démontrer que pour tout x de [ 0 ; 1 ] on a f

° f (x) = x. En déduire que G est symétrique par rapport à la droite d"équation y = x. 3° Construire G.

Partie B On considère les points A

l ((( )))1 2 + l , 0 et Bl ((( )))0 , 1 2 - l où l est un réel de l"intervalle ??? ???- 1 2 , 1 2

On note D

l la droite passant par ces deux points.

1° Déterminer une équation de D

l sous la forme a(l) x + b(l) y + c(l) = 0 où a, b et c sont trois fonctions de l.

2° Soit D "

l la droite d"équation a"(l) x + b"(l) y + c"(l) = 0 où a", b" et c" sont les dérivées des fonctions a, b et c.

Vérifier que pour toute valeur de l, D

l et D "l sont sécantes en un point Ml .

3° Montrer que les coordonnées de M

l sont xl = ((( )))1 2 + l

2, yl = (((

)))1 2 - l 2.

4° Démontrer que lorsque l décrit ???

???- 1 2 , 1 2 , Ml décrit la courbe G de la première partie.

5. Démontrer que la droite

D l est tangente à G au point Ml. 5 Lieu géométrique Soit f la fonction définie, pour tout réel x ¹ 1, par : f(x) = x 3 (x - 1)2 et C sa courbe représentative dans le plan muni d"un repère orthogonal (O;

¾®i,

¾®j) .

1° Etudier les variations de la fonction f .

2° Déterminer les réels a , b , c et d tels que, pour tout réel, x ¹ 1 : f(x) = a x + b + c x + d

(x - 1) 2 .

En déduire la position de la courbe

C par rapport à la droite D d"équation "y = x + 2" .

3° Déterminer l"abscisse du point J de la courbe

C en lequel la tangente est parallèle à la droite D , puis une

équation de cette tangente

T .

4° Tracer la courbe

C et les droites D et T .

5° Etudier graphiquement, suivant les valeurs du paramètre p, le nombre de solutions de l"équation "f(x) = x + p"

Préciser l"ensemble D des valeurs de p pour lesquelles cette équation admet deux solutions distinctes.

6° Lorsque la droite D d"équation y = x + p coupe la courbe

C en deux points M et N, on note P le milieu de [MN]. On s"intéresse au lieu géométrique du point P.

a) Démontrer que les abscisses des points d"intersection M et N sont les solutions de l"équation

(E) (p - 2) x

2 + (1 - 2 p) x + p = 0 .

b) En déduire que l"abscisse du point P est x

P = 1 + 3

2 p - 4 et démontrer que P appartient à la courbe C " d"équation:

y = x + 2 + 3

2 (x - 1)

c) Quel est l"ensemble décrit par x

P lorsque p décrit D ?

d) Etudier les variations de la fonction g définie, pour tout réel x ¹ 1, par : g(x) = x + 2 + 3

2 (x - 1)

. Tracer la courbe C

Préciser la partie de la courbe

C " décrite par le point P lorsque la droite D prend toutes les positions possibles. 6 Soit f la fonction définie sur IR-{-1} par f(x) = x 2 + 3 x + 1 et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1° Montrer que la fonction f est dérivable sur IR-{-l) et calculer sa dérivée.

2° Soit

D la droite d"équation : x = - 3 y + 2.

a) Montrer qu"il existe deux points de C que l"on déterminera où la tangente est parallèle à D

b) Montrer qu"il existe deux points de C que l"on déterminera où la tangente est orthogonale à D .

3° a) Etudier les variations de f.

b) Montrer que la courbe C admet une asymptote verticale et une asymptote oblique que l"on déterminera

4° Tracer la courbe

C .

1 Soit f la fonction définie sur [- 2 ; 2] par : f(x) = 1 + 3 x - x3 .

1° Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement trois solutions dans l'intervalle [ - 2 ; 2].

f est une fonction polynôme elle est donc dérivable sur IR et f "(x) = 3 - 3 x

2 = 3 (1 - x) (1 + x)

f(2) = - 1 et f(- 2) = 3 f(1) = 3 et f(- 1) = - 1 f est continue et strictement décroissante sur [- 2 , - 1 ] f est donc une bijection de [- 2 , 1 ] sur [- 1 , 3 ] 0

Î [- 1 , 3 ]

donc l"équation f(x) = 0 admet une solution et une seule dans [- 2 , 1 ]

f est continue et strictement croissante sur [- 1 , 1 ] f est donc une bijection de [- 1 , 1 ] sur [- 1 , 1 ]

0 Î [- 1 , 1 ] donc l"équation f(x) = 0 admet une solution et une seule dans [- 1 , 1 ]

f est continue et strictement décroissante sur [- 1 , 2 ] f est donc une bijection de [ 1 , 2 ] sur [ - 1 , 1 ]

0 Î [- 1 , 1 ] donc l"équation f(x) = 0 admet une solution et une seule dans [ 1 , 2 ]

2° On se propose de déterminer la valeur exacte de chacune des solutions de l'équation f(x) = 0.

a) Démontrer que, pour tout réel u : sin(3 u) = 3sin u - 4 sin 3 u.

sin (3 x) = sin (2 x + x) = sin (2 x) cos x + cos (2 x) sin x = 2 sin x cos x ´ cos x + (1 - 2 sin

2 x) ´ sin x

= 2 sin x (1 - cos

2 x) + sin x - 2 sin3 x = 3 sin x - 4 sin3 x

b) Démontrer que si x ÎÎÎÎ [- 2 ; 2], alors il existe un réel u tel que x = 2 sin u.

Si x

Î [ - 1=2 , 2 ] alors x

Î [ - 1 , 1 ] alors il existe u tel que x

2 = sin u alors il existe u tel que x = 2 sin u.

En déduire que si x est solution de l'équation f(x) = 0, alors il existe un réel u tel que 1 + 2 sin 3 u = 0.

Si x solution de l"équation f(x) = 0 alors 1 + 3 x - x 3 = 0 alors il existe u tel que x = 2 sin u et 1 + 3 ´ (2 sin u) - 8 sin

3 u = 0

1 + 3

´ (2 sin u) - sin

3 u = 1 + 6 sin u - sin3 u = 1 + 2 (3 sin u - 4 sin u) = 1 + 2 sin3 u.

Il existe bien un réel u tel que 1 + 2 sin

3u = 0.

2 , pppp 2 f(x) = 0 Û ??? x = 2 sin u1 + 2 sin (3 u) = 0 Û x = 2 sin usin (3 u) = - 1 2 x = 2 sin u

3 u = -

6 + 2 k p

3 u = -

5 p 6 + 2 k p Û u = - p 18 + 2 k p 3 u = - 5 p

18 + 2 k p

3 x = 2 sin u u = - p 18 + 2 k p x = - 2 sin )))p 18 ou u = 11 p 18 + 2 k p x = 2 sin )))11 p 18 ou u = - 13 p 18 + 2 k p x = - 2 sin )))13 p 18 ou u = - 5 p 18 + 2 k p x = - 2 sin )))5 p 18 ou u = 7 p 18 + 2 k p x = 2 sin )))7 p 18 ou u = - 17 p 18 + 2 k p x = - 2 sin )))17 p 18

On trouve trois solutions - 2 sin

)))p 18 , - 2 sin ((( )))5 p

18 et 2 sin (((

)))7 p 18quotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] [PDF] 0 admet exacte

1 Soit f la fonction définie sur [- 2 ; 2] par : f(x) = 1 + 3 x - x3 .

1° Démontrer que l"équation f(x) = 0 admet exactement trois solutions dans l"intervalle [ - 2 ; 2].

2° On se propose de déterminer la valeur exacte de chacune des solutions de l"équation f(x) = 0.

2 + x et C sa représentation graphique dans un

¾®i;

¾®j)

1° a) Pour tout x réel différent de - 2, trouver trois réels a, b , c tels que f(x) = a x + b + c

2° Démontrer que C admet un centre de symétrie.

3° Déterminer les points d"intersection de la courbe C avec l"axe des abscisses et donner une équation de la tangente

à la courbe

C en ces points.

4° Soit A le point de coordonnées (2 , 0). Montrer qu"il existe une et une seule tangente T à la courbe C passant

5° Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative C dans un repère orthogonal.

2 + sin t.

1° Pour tout réel t, montrer que j(p - t) = j(t). Expliquer comment l"étude des variations de j sur ???

2 permet

2° a) On pose a =

3 - 2. Justifier l"existence et l"unicité de t0 Î ???

2 tel que sin t0 = a.

2 et tracer la courbe représentative de j sur ???

1° Soit la fonction g définie sur IR par : g(x)= 2 x - 1 +x2.

2° Soit la fonction f définie sur IR par : f(x) = 2

1 +x2 - x et C sa courbe représentative dans le plan muni d"un

¥ et en - ¥

1 + x2 . En déduire le tableau des variations de la fonction f.

D " est asymptote à la courbe C en +¥ .

4 On munit le plan d"un repère orthonormé (O;

¾®i;

Partie A

1° Etudier les variations de f.

2° Démontrer que pour tout x de [ 0 ; 1 ] on a f

Partie B On considère les points A

On note D

1° Déterminer une équation de D

2° Soit D "

Vérifier que pour toute valeur de l, D

3° Montrer que les coordonnées de M

2, yl = (((

4° Démontrer que lorsque l décrit ???

5. Démontrer que la droite

¾®i,

¾®j) .

1° Etudier les variations de la fonction f .

2° Déterminer les réels a , b , c et d tels que, pour tout réel, x ¹ 1 : f(x) = a x + b + c x + d

En déduire la position de la courbe

3° Déterminer l"abscisse du point J de la courbe

équation de cette tangente

4° Tracer la courbe

C et les droites D et T .

5° Etudier graphiquement, suivant les valeurs du paramètre p, le nombre de solutions de l"équation "f(x) = x + p"

6° Lorsque la droite D d"équation y = x + p coupe la courbe

2 + (1 - 2 p) x + p = 0 .

P = 1 + 3

2 p - 4 et démontrer que P appartient à la courbe C " d"équation:

2 (x - 1)

P lorsque p décrit D ?

2 (x - 1)

Préciser la partie de la courbe

1° Montrer que la fonction f est dérivable sur IR-{-l) et calculer sa dérivée.

2° Soit

D la droite d"équation : x = - 3 y + 2.

3° a) Etudier les variations de f.

4° Tracer la courbe

1 Soit f la fonction définie sur [- 2 ; 2] par : f(x) = 1 + 3 x - x3 .

1° Démontrer que l'équation f(x) = 0 admet exactement trois solutions dans l'intervalle [ - 2 ; 2].

2 = 3 (1 - x) (1 + x)

Î [- 1 , 3 ]

0 Î [- 1 , 1 ] donc l"équation f(x) = 0 admet une solution et une seule dans [- 1 , 1 ]

2° On se propose de déterminer la valeur exacte de chacune des solutions de l'équation f(x) = 0.

2 x) ´ sin x

2 x) + sin x - 2 sin3 x = 3 sin x - 4 sin3 x

Î [ - 1=2 , 2 ] alors x

Î [ - 1 , 1 ] alors il existe u tel que x

3 u = 0

´ (2 sin u) - sin

3 u = 1 + 6 sin u - sin3 u = 1 + 2 (3 sin u - 4 sin u) = 1 + 2 sin3 u.

Il existe bien un réel u tel que 1 + 2 sin

3u = 0.

3 u = -