ENDOMORPHISMES NILPOTENTS Soit Eun K-espace vectoriel de dimension nie n 1 De nition 0 1 Un endomorphisme g2End K(E) est nilpotent s’il existe un entier m 1 tel que gm= 0
† Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Montrer que tout hyperplan H de M(n;C) contient au moins n2 ¡ n ¡ 1 matrices nilpotentes lin¶eairement ind¶ependantes Exercices corrig¶es Exercice 1 (a) Montrer que si KerA2 = KerA, alors il existe un pseudo-inverse X, i e
Exercice 13 Soient ˙2S n et P ˙ la matrice de permutation associée Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de P ˙ II Endomorphismes nilpotents Exercice 14 Si u2L(E) est nilpotent alors id + uest inversible Montrer qu'il existe v2L(E) telle que id + u= v2 Exercice 15 Soit u2L(E) un endomorphisme
oùaestunréelnonnul 2 Danscettepartie,A= 2 4 a a a 1 a a 1 1 a 3 52M 3(C) oùaestunréelnonnul 2 1 MontrerqueA= B3 +B2 +B,oùB= 2 4 0 0 a 1 0 0 0 1 0 3 5 2 2
Donc un endomorphisme nilpotent f, est diagonalisable ssi f(X) = X Autrement dit f= 0 Exercice 4: Soit m2R et A m2M 3(R) la matrice m 1 1 1 m 1 1 1 m 1 Calculer les valeurs propres de A m et une base de vecteurs propres 2 D eterminer suivant les valeurs de mle rang de A m D eterminer lorsque cela est possible A 1 m 3 Lorsque A
Exercice 11 ***I Soient K un sous-corps de C et E un K-espace vectoriel de dimension finie notée n Soit u un endomorphisme de E On dit que u est nilpotent si et seulement si 9k 2N=uk =0 et on appelle alors indice de nilpotence de u le plus petit de ces entiers k (par exemple, le seul endomorphisme u, nilpotent d’indice 1 est 0)
Un endomorphisme de E est une application lin eaire de E dans lui-m^eme On note L(E) l’espace vectoriel de tous les endomorphismes de E Exemples 3 2 1) L’application de K[T] dans K qui a un polynme P associe P(1) est lin eaire En revanche, celle qui a P associe P(1)2 (ou P(0) + 1) ne l’est pas
Corrigé : 1 Si dimkerA = 0 alors A n’a pas de valeur propre 0, donc ne peut pas etre nilpotent Si dimkerA = 3 alors A = 0 et l’indice de nilpotence et 1 Si dimkerA = 1 alors l’indice de nilpotence est 3 d’après la dernière exercice Donc dimkerA = 2 2 Soit b 3 2R3 un vecteur qui n’est pas dans le noyau de A Alors b 1 = A(b 3
6 Soit fun endomorphisme cyclique Si χf est scindé sur Kà racines simples, on sait que fest diagonalisable Réciproquement, supposons fdiagonalisable Alors, CQ est diagonalisable puis CT Q est diagonalisable Nécessairement, χf = χCT Q = χC Q = Qest scindé sur K et l’ordre de multiplicité de chaque valeur propre de CT Q est
Finalement, on peut vérifier que l’endomorphisme représenté par dans la base canonique est représenté par la matrice suivante dans la base : Exercice 2 1) Soit En posant : , on a : 2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est :
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Endomorphismes nilpotents - LAGA
† Calculer la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents † Donner les sous-espaces stables sous l’action d’un endomorphisme dont la matrice
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Réduction des endomorphismes
Exercice 14 Si u2L(E) est nilpotent alors id + uest inversible Montrer qu'il existe v2L(E) telle que id + u= v2 Exercice 15 Soit u2L(E) un endomorphisme Montrer que uest nilpotent ss'il existe une base Bde Edans laquelle Mat Busoit triangulaire supérieure stricte En déduire que l'indice de nilpotence de uest toujours inférieur ou
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Feuille d’exercices n 6
Exercice 2 Soit h un endomorphisme nilpotent d’une espace vectoriel de dimension n On suppose que le noyau kerh est de dimension 1 1 Quelles sont les valeurs propres de h? Quelles sont leurs multiplicité algébrique et géométrique? 2 Montrer que dimkerhk = k pour 0 k n Indication : On montre d’abord que rghk+1 rghk 1 3 En déduire l’indice de nilpotence de h Corrigé : 1 Un
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I - Matrices compagnons et endomorphismes cycliques
Soit fun endomorphisme cyclique Si Supposons que fest nilpotent d’indice nou encore supposons que fn−1 6= 0et fn =0 Soit x0 ∈ Etel que fn−1 (x0)6= 0 Supposons par l’absurde qu’il existe α0,α1, ,αp−1)6=( 0,0, ,0)tel que α0x0 +α1f(x0)+ +αn−1fn−1 (x0)=0 Soit kle plus petit des entiers i∈ J0,n−1K tel que αi 6= 0 Par définition de k, on a αkfk (x0
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I Exercices d’analyse
Démontrer que u est nilpotent, préciser son indice de nilpotence On a u2(x,y) = u(0,x) = (0,0) donc u2 = 0 et u est nilpotent et son indice vaut 2 2 L’endomorphisme v est-il nilpotent? Donner sa nature géométrique, préciser ses éléments caractéristiques De même on a v2 = v Ainsi pour tout entier n ∈N∗, vn = v 6= 0, donc v n
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Endomorphismes diagonalisables Notation : Dans les
Exercice 3: Soit fun endomorphisme nilpotent d’un espace vectoriel Ede dimension nie n 1 Donner le polyn^ome caract eristique de f Que peut-on dire sur le polyn^ome minimal de f? 2 En d eduire qu’un endomorphisme nilpotent est diagonalisable si et seulement si il est nul 1 Correction : Un endomorphisme f, est nilpotent si il existe un entier naturel k2N tel que fk= 0 Puisque f
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Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 20 *** Décomposition de DUNFORD Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle et f un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est scindé sur K Montrer qu’il existe un couple d’endomorphismes (d;n) et un seul tel que d est diagonalisable, n est nilpotent n et f =d+n Correction H [005670] Exercice 21 **Taille du fichier : 330KB
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Espaces vectoriels de dimension finie (ou non)
Exercice 11 ***I Soient K un sous-corps de C et E un K-espace vectoriel de dimension finie notée n Soit u un endomorphisme de E On dit que u est nilpotent si et seulement si 9k 2N=uk =0 et on appelle alors indice de nilpotence de u le plus petit de ces entiers k (par exemple, le seul endomorphisme u, nilpotent d’indice 1 est 0) Taille du fichier : 214KB
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07 - Réduction d'endomorphismes Exercices
Soit u un endomorphisme d’un -espace vectoriel E de dimension finie On suppose que u admet une unique valeur propre λ a Quel est le polynôme caractéristique de u? b A quelle condition u est-il diagonalisable ? c Justifier que u −λ id E est nilpotent 32 Soit u un automorphisme d’un K-espace vectoriel E de dimension finie Montrer que u−1 est un polynôme en u 33 Soient E un
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I MATRICES, ENDOMORPHISMES ET DETERMINANTS
45 Adjoint d’un endomorphisme, endomorphismes sym etriques 46 Isom etries du plan 47 Isom etries en dimension 3 48 Isom etries en dimension quelconque 49 R eduction simultan ee des formes quadratiques 50 Coniques 51 Surfaces quadriques 52 EXERCICES 3 I MATRICES, ENDOMORPHISMES ET DETERMINANTS Le but de ce chapitre est d’introduire la notion de d Taille du fichier : 715KB
25 mai 2013 · On note ν(f) ∈ N⋆ cet entier, appelé indice de nilpotence de f Partie I Deux exemples 1 Endomorphisme nilpotent de Kn Dans cette question,
corrige ds
Feuilles d'exercices-MP ½¼ º¾Corrigé,Pr J DEBARBIEUX,LycéeFaidherbe, Lille On considère un endomorphisme nilpotent u de E, c'est à dire un
ProbCor Bis
apr`es avoir donné la définition d'un endomorphisme nilpotent et de l'indice de nilpotence (illustrer avec des exemples), il faut Exercices corrigés Exercice 1
endo nilp
Corrigé de la feuille 1 Exercice 1 On note n = dim(E) Soit k = dim Ker(f) 0 = 0 et donc f0 est un endomorphisme nilpotent de V0 On a immédiatement Ker(f0)
corAL
Exercice 11 ***I Soient K un sous-corps de C et E un K-espace vectoriel de dimension finie notée n Soit u un endomorphisme de E On dit que u est nilpotent si
fic
Exercice de base, à maîtriser parfaitement (* s'il s'agit d'un exercice classique), endomorphisme f de E On suppose que fest nilpotent d'ordre n, c'est-à-dire
.Applications lin C A aires.Corrig C A
4 nov 2010 · Réduction des endomorphismes Corrigé Exercice 4 Soit k un corps d'un endomorphisme nilpotent est 0, la seule valeur propre de fFi est λi
reduction corrige
Feuille d'exercice III vectoriel de dimension n et u un endomorphisme nilpotent de E 1 On a un polynôme annulateur : , k = indice de nilpotence avec k'≤ k
TD ALGEBRE DU (partie )
30 août 2017 · Exercice 1 Soit f un endomorphisme d'un K-espace vectoriel E tel que Montrer que tout endomorphisme nilpotent (i e dont une puis-
Polycop Exercices Algebre Lineaire Yves Aubry Sept
Exercice 3 (Autour des endomorphismes nilpotents). Soit E un espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E. 1. On suppose que f est nilpotent
CORRIGÉS-MP. 2. Devoir Libre. Endomorphismes nilpotents. Un homme regarde un match de foot dans un café lorsque son équipe nationale marque un but
25 mai 2013 Dans cette partie on consid`ere un endomorphisme nilpotent de E tel ... EXERCICE 2. 1. De la relation 3f3 = f2 + f + idE
nilpotence de u le plus petit de ces entiers k (par exemple le seul endomorphisme u
Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ [[1n]]
Corrigé M1S1 SR. Corrigé exercice 4: Endomorphismes nilpotents. Supposons que ƒ € L(E) soit un endomorphisme nilpotent : In Є N tel que f² = 0 Soit à une
Par récurrence on a montré que toute matrice carrée nilpotente est semblable `a une certaine matrice triangulaire supérieure stricte. c. L'endomorphisme f est
Corrigé M1S1 SR. Corrigé exercice 4: Endomorphismes nilpotents. Supposons que ƒ € L(E) soit un endomorphisme nilpotent : In Є N tel que f² = 0 Soit à une
Source : corrigé (très légèrement modifié) du site de l'UPS. Auteur : Pierre et d'un endomorphisme nilpotent que : ∀M ∈ Γn(C) ∃!(D
16 nov. 2021 Exercice 6. Soit E un ev de dimension n. Soit P ∈ K[X]. Soit g ∈ L(E) un endomorphisme nilpotent. 1. Déterminer χP (g). 2. Soit λ ∈ K ...
25 mai 2013 On note ?(f) ? N? cet entier appelé indice de nilpotence de f. Partie I. Deux exemples. 1. Endomorphisme nilpotent de Kn. Dans cette question ...
Feuilles d'exercices-MP ½¼ º¾CorrigéPr.J.DEBARBIEUX
Soit u un endomorphisme de E. On dit que u est nilpotent si et seulement si ?k ? N?/ uk = 0 et on appelle alors indice de nilpotence de u.
Préliminaires - endomorphismes nilpotents trace d'un endomorphisme Source : corrigé (très légèrement modifié) du site de l'UPS.
Soit u un endomorphisme nilpotent d'indice p ? 2. a. Par hypoth`ese fp?1 = 0 et fp = 0. Par conséquent
7 avr. 2018 exercice dans l'ordre. Exercice 1. - D'apr`es EML 1999 ... Partie III : Commutant d'un endomorphisme nilpotent maximal ... Corrigé du DS 6 –.
apr`es avoir donné la définition d'un endomorphisme nilpotent et de l'indice de nilpotence (illustrer avec des Exercices corrigés. Exercice 1.
Le sujet comporte six exercices indépendants les uns des autres. Un endomorphisme u d'un K-espace vectoriel est dit nilpotent s'il existe p ? N? tel ...
Structure des endomorphismes nilpotents - Réduite de Jordan -. Exercice 1. ?. Soit E un K-espace vectoriel de dimension 2 et soit u un endomorphisme non
Ce sujet porte sur les matrices et endomorphismes nilpotents. Le principal théo- rème qui y est démontré concerne une réduction particulière des
† Calculer la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent † Un sous-espace vectoriel maximal dans le c^one nilpotent est semblable au matrice strictement triangulaire sup¶erieure † L’adh¶erence de l’orbite d’un bloc de Jordan de taille maximale est l’ensemble des nilpotents
For a nilpotent endomorphism f (resp matrix A 2Mat n(C)) we de ne the exponent of f (resp of A) denoted (f ) (resp (A)) to be the smallest r 2N such that f r = 0 (resp Ar = 0) Therefore if (f ) = r then there exists v 2V such that f r 1(v) 6= 0 V For v 2V we de ne the height of v (with respect to f ) denoted ht(v) to be the smallest
Exercice 36 ** Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension ?nie non nulle et F un sous-espace non nul de E stable par f On suppose que f est diagonalisable Montrer que la restriction de f à F est un endomorphisme diagonalisable de F Correction H [005686] Exercice 37 **I
D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N? tel que fp = 0 L(E) Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N? tel que fp = 0L(E) On note ?(f) ? N ? cet entier appel´e indice de nilpotence de f Partie I Deux exemples 1 Endomorphisme nilpotent de Kn
Exercice 649
Enoncé: On montre quelques propriétés de base de la nilpotence : Corrigé : Partie 1 : Nilpotence de la somme si les matrices commutent Notons k l’indice de nilpotence de A et l l’indice de nilpotence de B. On va considérer (A+B)k+l?1(A+B)^{k+l-1} (A+B)k+l?1et développer cette quantité Pour la dernière ligne, on a fait le changement d’indice i?=k+l?...
Exercice 115
Enoncé: Corrigé: On appelle ceci une racine de matrice. Vous allez voir, la démonstration fait appel à des concepts d’analyse. Notons n l’ordre de nilpotence de A. On sait que le développement limité de 1+xsqrt{1+x} 1+x?est Ce qui peut se résumer sous la forme 1+x=?k=0nakxk+o(xn)sqrt{1+x} = displaystyle sum_{k=0}^n a_k x^k +o(x^n)1+x?=k=0?n?ak?...
Comment savoir si un endomorphisme est nilpotent ?
PROBL`EME 1 Dans tout le probl`eme E d´esigne un espace vectoriel de dimension ?nie sur K = R ou C. D´e?nition : Un endomorphisme f ? L(E) est dit nilpotent s’il existe p ? N?tel que fp= 0 L(E). Notons qu’il existe en ce cas un plus petit entier p ? N?tel que fp= 0L(E). On note ?(f) ? N ?cet entier, appel´e indice de nilpotence de f.
Comment calculer le commutant d’un endomorphisme nilpotent ?
†SoitM=S+Nla d¶ecomposition de Dunford deMen semi-simple plus nilpotent. Montrez queSest dans l’adh¶erence de la classe de similitude deM. †Donner, en fonction des invariants de similitude, la dimension du commutant d’un endomorphisme nilpotent.
Comment se démarquer des endomorphismes diagonalisables ?
Remarque d’ordre g¶en¶eral: comme pour la le»conEndomorphismes diagonalisables, il faut se d¶emarquer de la le»con R¶eduction des endomorphismes, en se concentrant sur les endomorphismes nilpotents. Comme motivation on peut mentionner la d¶ecomposition de Dunford.
Comment calculer la nilpotence d’une somme ?
Corrigé : Partie 1 : Nilpotence de la somme si les matrices commutent Notons k l’indice de nilpotence de A et l l’indice de nilpotence de B. On va considérer (A+B)^ {k+l-1} (A+B)k+l?1 et développer cette quantité
Exercices corrigés algèbre linéaire