On a vu ci-dessus qu’en tirant 100 boules de l’urne, l’intervalle de confiance obtenu est d’d’amplitude 0,2 (=0,69−0,49) ; on peut trouver cet intervalle trop grand En procédant à un tirage de 400 boules, si ???? ???????? est la fréquence observée de sortie du rouge, on obtient un intervalle de confiance au niveau 95 égal à :
Intervalle de confiance de la variance d'une population gaussienne de moyenne inconnue Intervalle à 3 sigma à 60 de confiance : σ 3σ Variance • Cas c : intervalle de confiance approximatif L'intervalle de confiance est dit approximatif s’il se base sur l’approximation d’une loi par une autre
grand qu’un intervalle de confiance 90 , puisqu’on accepte de prendre 5 de risque en plus de ne pas contenir la vraie valeur Enfin, pour la loi normale, on remarque également que l’amplitude est proportionnelle à l’écart-type
• [c1,c 2] ou [g1(θˆ), g2(θˆ)] est appelé intervalle de confiance, • c1,c 2 sont les limites de confiance, • 1− α: degré de confiance ou degré de certitude Le principe de l’estimation par intervalle de confiance est de proposer un encadrement d’un paramètre inconnu d’une population dont la loi, elle, est connue
n un estimateur de dont nous connaissons la loi de probabilit e pour chaque valeur de D e nition Etant donn e une valeur 0 du param etre , nous d eterminons un intervalle de probabilit e bilat eral de niveau (1 ) pour l’estimateur b n, c’est- a-dire deux bornes n 1 et n 2 telles que P n 1 < b n < n2j = 0 > 1 :
1 La loi de X est la loi binomiale n=30, p=0:2 2 Un intervalle de confiance au seuil 95 , permettant d’estimer le nombre de clients à prévoir : c’est pour la fréquence : 0 657; 0 943 Soit entre 20 et 28 personnes C’est une large fouchette due à n petit Correction del’exercice4 N 1 On obtient, sur l’échantillon, la moyenne m
une valeur, il est nécessaire de déterminer un intervalle contenant, avec une certaine probabilité fixée au préalable, la vraie valeur du paramètre : c’est l’es-timation par intervalle de confiance 3 1 Définition d’un intervalle de confiance Soit (X 1;:::;X n) un n-échantillon aléatoire et un paramètre inconnu de la loi des
12 = et 0 , l’intervalle de confiance est alors de la forme : IC a, - quand on ne veut absolument pas dépasser un seuil maximal, on prend 12= e t 0 et on obtient alors un intervalle de confiance de la forme : IC b, 3) Construction Pour construire un intervalle de confiance, on utilise une variable aléatoire dont on connaît la distribution
intervalle de fluctuation ≠ intervalle de confiance (ou de Variation) Fixe, dépends des paramètres théoriques Pour construire l’intervalle de confiance, le statisticien va utiliser le calcul des probabilités: • Suppose que la loi de la population et sa moyenne sont connues;
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ESTIMATION, INTERVALLES DE CONFIANCE DE LA MOYENNE
INTERVALLES DE CONFIANCE DE LA MOYENNE D’UNE LOI NORMALE Rappels On consid`ere un espace probabilis´e (E,E,P) ou` la mesure de probabilit´e P est mal connue Cet espace est vu comme l’espace d’´etat d’une variable al´eatoire X muni de la loi de cette variable Pour d´eterminer certaines caract´eristiques ou param`etres de cette loi, on effectue une suite de mesures ou de r Taille du fichier : 157KB
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Quelques rappels sur les intervalles de confiance
Quand la variance est connue, l’intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l’espérance d’une loi normale s’écrit donc au niveau 1 sous la forme suivante : x n est la réalisation de X n sur l’échantillon
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rappels cours sur les IC - cedriccnamfr
Quand la variance est connue, l’intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l’espérance d’une loi normale s’écrit donc au niveau 1−α sous la forme suivante : xn est la réalisation de Xn sur l’échantillon Remarque : si α=5 , le fractile d’ordre 0,975 de la loi normale centrée réduite correspond à 1,96 Taille du fichier : 50KB
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Introduction de la loi normale centrée réduite
Introduction de la loi normale centrée réduite Les lois de probabilité discrètes donnant lieu à des calculs fastidieux dans certaines situations (par exemple la détermination d'intervalles de confiance), on cherche à approcher les résultats par ceux de calculs effectués avec des variables aléatoires continues à densité Dans le cadre des programmes de Terminales, ce problème est
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Statistique : étude de cas Intervalles de confiance
Les plantes marines : suite D eterminons un intervalle de con ance a 95 pour la moyenne de la quantit e de toxine par gramme de solution La moyenne et la variance etant inconnues, l’intervalle de con ance a 95 pour la moyenne s’obtient avec la formule suivante : b 9(obs) t 8;0;975 S 9;c(obs) p 9 <
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Lyc ee Dominique Villars COURS ECE 2 INFERENCE STATISTIQUE
CONFIANCE 1 Le principe d’estimation par intervalles de con ance Le d efaut de l’estimation ponctuelle r eside dans le fait que l’estimateur n’est pas accompagn ee d’une pr ecision d’approximation Cette pr ecision d’estimation est double En e et, lorsqu’ a la suite
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1 Intervalle de fluctuation - Lainé
tend vers la loi normale centrée réduite n(0 ; 1) Par suite, d'après le théorème de Moivre-Laplace, on Estimation : pOn estime la proportion par un intervalle de confiance déterminé à partir de la fréquence f obs et de la taille n de l’échantillon Remarque : La fréquence f obs calculée varie d’un échantillon à l’autre du fait de la fluctuation d’échantillonnage Il
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Estimation et tests statistiques, TD 5 Solutions
1) Quelle est la loi de N ? Par quelle loi peut-on l’approcher et pourquoi? En d´eduire une approximation de la loi de F = N/n 2) On observe une proportion f de gens qui vont chaque mois au cin´ema Donner la forme d’un intervalle de confiance pour p, de niveau de confiance 1−α 3) Applications num´eriques : f = 0,1, 1−α = 90 , 95 , 98 Taille du fichier : 65KB
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Table de la loi normale - Université Laval
Table de la loi normale Claude Blisle La table qui appara^ t a la page suivante nous permet de trouver la surface a gauche d’une valeur donn ee sous la densit e de la loi normale de moyenne 0 et de variance 1, aussi appel ee la loi normale standard ou la loi normale centr ee et r eduite Voici quelques exemples illustratifs Exemple 1 Taille du fichier : 38KB
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Lois de probabilité à densité Loi normale
2 3 Loi normale générale 13 Définition 3 : Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l’intervalle I =[a,b], avec a 6=b, lorsque la densit é f est constante sur cet intervalle On en déduit alors la fonction f: f(t)= 1 b −a Conséquence Pour tout intervalle J =[α,β]inclus dans I, on a alors : P(X ∈ J)= β −α b Taille du fichier : 288KB
Les bornes de l'intervalle de confiance IC dépendent de l'échantillon, elles sont donc aléatoires Par abus de langage, On recherche dans la suite des fonctions pivotales particulières adaptées aux cas étudiés ce cas, la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central limite
Rappels sur les intervalles de confiance
s'intéresse la statistique est de décrire une loi de probabilité `a partir Donnons tout de suite des exemples archi-classiques de telles familles : Voici `a présent la définition mathématique d'un intervalle de confiance telle qu'on peut pour θ, toutes deux basées principalement sur l'utilisation du théor`eme limite central :
intervalles
Définition 1 3 1 La v a X suit une loi uniforme sur l'intervalle borné [a, b] si elle a Un résultat général de probabilité (le théor`eme central limite, TCL) justifie l'ap L'intervalle de confiance de la variance σ2 se calcule `a partir de l'échantillon
stat IUT
Exercice 1 – Dans un centre avicole, des études antérieures ont montré que la masse c) Donner un intervalle de confiance au niveau 95 , puis 98 , de la masse approcher cette loi par la loi normale N(np,√np(1 − p)), et donc F suit
td correction
mations : intervalle de confiance d'une proportion, d'une moyenne si la variance qui ne suit plus une loi normale mais une loi dite de Student à n − 1 degrés
st l inf estim
Une variable aléatoire réelle X suit une loi normale (ou loi gaussienne, loi de Corollaire 2 3 2 (Théorème central limite) Soit une suite (Xn) de variables aléatoires L'intervalle de confiance pour la moyenne d'une population de variance σ2
cours stat S
exemple la détermination d'intervalles de confiance), on cherche à approcher pour tout entier naturel non nul n, la variable aléatoire Xn suit la loi binomiale
Lois normales
Intervalle de confiance de la différence de deux moyenne 18 On suppose dans ce paragraphe que X suit la loi normale N(m, σ2) théorème central limite s'avère être un très bon outil, pour obtenir un intervalle de confiance asymptotique
ProbaAgreg COURS Stat
1 2 Intervalle de confiance par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev On considère une suite (Xn) de variables aléatoires i i d suivant la même loi de Bernoulli
ECS Chapitre
Confiance Th éorie approximation 1,96 ? intervalle ? Estimation Term 1 Estimation: intervalle de √np(1 − p)suit une loi normale N(0; 1) • Xn − np √ np(1
estimation nouveau programme
si ? = 10% le fractile d'ordre 0
mations : intervalle de confiance d'une proportion d'une moyenne si la variance est connue ou non
suit sensiblement une loi normale centrée réduite. 4.b. Intervalle de confiance du rapport de deux variances. Théorème 13. Un intervalle de confiance au
On note ? la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite : L'intervalle de confiance pour la moyenne d'une population de variance ?2 ...
où c = 1 ? ? s'appelle la confiance et ? s'appelle le risque (de se tromper Intervalles pour la loi normale centrée réduite. Soit Z ? N(0 1).
d'intervalles de confiance ou des tests statistiques à poser fréquemment P = 1 ? ? ou Table no2.1— Fractiles de la loi normale centrée réduite .
TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE. Lecture de la table: Pour z=1.24 (intersection de la ligne 1.2 et de la colonne 0.04).
Intervalles de confiance. Rappels sur la loi normale Soit ? ? (0 1)
avec ?(a) = p(Z<a) o`u Z suit la loi normale centrée réduite. Rappelons ?(a) est le nombre donné Estimation d'une moyenne µ par intervalle de confiance.
c) Donner un intervalle de confiance au niveau 95% puis 98%
Quand la variance est connue l'intervalle de confiance bilatéral symétrique pour l'espérance d'une loi normale s'écrit donc au niveau 1?? sous la forme
TABLE DE LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE Lecture de la table: Pour z=1 24 (intersection de la ligne 1 2 et de la colonne 0 04)
La table qui appara?t `a la page suivante nous permet de trouver la surface `a gauche d'une valeur donnée sous la densité de la loi normale de moyenne 0 et
Intervalles pour la loi normale centrée réduite Soit Z ? N(0 1) Challenge : Trouver I? centré en 0 tel que P[Z ? I?] = 1 ? ? Propriété de la loi
mations : intervalle de confiance d'une proportion d'une moyenne si la variance est connue ou non loi normale centrée réduite) On obtient alors
Loi Normale Centrée Réduite valeurs quantiles Logiciel R version 2 6 1 (2007-11-26) – tdr27 rnw – Page 2/7 – Compilé le 2008-01-27
La table suivante donne l'intervalle de confiance ??min?k ???max?k ??× du param`etre ? d'une loi de de Poisson pour une observation unique égale `a k ? ? La
d'une loi normale centrée réduite alors [Fn ? u? ?n?Fn(1 ? Fn); Fn + u? ?n?Fn(1 ? Fn)] est un intervalle de confiance approximativement de niveau
Loi Normale centrée réduite Probabilité de trouver une valeur inférieure à x Loi du 2 ? Valeur de 2 ? ayant la probabilité P d'être dépassée
Intervalle de confiance pour les paramètres d'une loi normale Intervalle de confiance En introduisant la variable aléatoire centrée réduite U = X?100
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Quelques rappels sur les intervalles de confiance