20 Soit f : D une fonction uniformément continue bornée et g : une fonction continue Montrer que g f est uniformément continue sur D 21 Déterminer une fonction f définie et discontinue sur un intervalle I telle que f I soit un intervalle de R
1 2 onctionF continue mais pas uniformément continue : Uniforme continuité et dérivée bornée : 1- Montrer que la fonction f: x −→ x2 n'est pas uniformément continue sur R 2- Montrer que la fonction g: x −→ 1 x n'est pas uniformément continue sur ]0,+∞[
l’intégrale Toutefois, Cauchy utilise implicitement qu’une fonction continue sur un segment [a,b] y est uniformément continue Riemann Il faudra attendre Heine pour expliciter la notion d’uniforme continuité et apporter une preuve du résultat précédent, vers 1870 Bernhard Riemann, dans un mémoire sur les séries trigonomé-
On dit que f est uniformément continue sur I ssi : >0, >0 vers On dit que f est une fonction continue par morceaux sur [a,b] i = (x 0, x 1
intervalle, alors f est continue Etendre le résultat au cas d’une fonction strictement décroissante Exercice 11 Soit f: [0,1[ → R uniformément continue Montrer que f est bornée Exercice 12 Soit f: R+ → R continue et tendant vers 0 à l’infini Montrer que f est uniformément continue Exercice 13
Soit f : R → R une fonction uniformément continue On suppose que pour toute suite (x n ) n>0 à valeurs dans Λ telle que x n → +∞, f(x n ) → 0 quand n → +∞
1- Montrer que la fonction f: x −→ x2 n'est pas uniformément continue sur R 2- Montrer que la fonction g: x −→ 1 x n'est pas uniformément continue sur ]0,+∞[ 3- Soit Eun espace vectoriel normé de dimension nie sur K = R ou C, et fune fonction vectorielle de classe C1 dé nie sur un intervalle Ide R à aleursv dans E
b Montrer que la suite (fn) converge uniformément sur [0,1] vers une fonction à préciser 28 Soient f une fonction continue de dans et (Pn) une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers f sur a Justifier qu'il existe un entier naturel N tel que : ∀ n ≥N, ∀ x ∈ , Pn x( ) −PN x( ) ≤1
Probabilité continue 1 Densité de probabilité Définition On appelle densité de probabilité sur un intervalle I toute fonction f continue et positive sur I telle que : • 1 si I=a,b [ ] b a ∫ f(x)dx = • 1 si I=a,[ ]+ x x a lim f(t)dt →+∞ ∫ = ∞
uniformément sur R car elle converge simplement vers la fonction nulle sur R, et kfn ¡0k1,R =1 pour tout n 2N De même, la suite (gn)n2N⁄ définie par gn: x 2R7¡(n¯1)x n 2Rconverge simplement vers la fonction nulle sur [0,1[, mais ne converge pas uniformément sur [0,1[ car kgn¡0k1,[0,1[˘n¯1 En revanche, pour tout a ˙1,
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Problème 1 : continuité uniforme
x est uniformément continue sur R+ 4 3 Montrer que la fonction g n’est pas lipschitzienne sur R+ 5 5 1 En considérant les deux suites de réels (xn)n∈N et (yn)n∈N définies pour tout entier n par xn = √ n+1 et yn = √ n, montrer que la fonction h : x → x2 n’est pas uniformément continue sur R 5 2 La fonction h est-elle
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FONCTIONS NUMÉRIQUES DÉFINIES SUR UN INTERVALLE
Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues 6 2 3 CNS pour qu'une fonction dérivable soit lipschitzienne 8 2 4 Théorème de Heine Exercice : si ƒ continue sur [a, +∞[ admet une limite finie en +∞, alors ƒ est u-continue 8 3 Applications 10 3 1 Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint Taille du fichier : 133KB
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Topologie et Analyse Fonctionelle - univ-toulouse
Donner un exemple de fonction uniformément continue qui ne soit pas Lipschitzienne 3 Montrer que toute fonction f: [0;1] R uniformément continue est continue 4 Montrer que si f: [0;1] R n’est pas uniformément continue, alors il existe >0, x2[0;1] et deux suites (x n) n;(y n) n 2[0;1]N convergeant toutes deux vers xet vérifiant jf(x n) f(y n)j pour tout n2N 5 En déduire que
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Continuité Applications continues - Exo7
Applications uniformément continues Exercice 6 1 Soit f une fonction réelle continue sur [0;1]; montrer que f est “presque lipschitzienne” au sens : 8e >0 9Ce; 8x;y2[0;1] jf(x) f(y)j6Cejx yj+e: 2 Montrer qu’une fonction f uniformément continue de Rdans Rvérifie pour tout x2R, jf(x)j6ajxj+b où a et b sont des constantes [002358 Taille du fichier : 197KB
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Continuité
une fonction uniformément continue sur I est nécessairement continue sur I Nous verrons que la réciproque est fausse en général c) Une fonction lipschitzienne sur I est nécessairement uniformément continue sur I En particulier si f est dérivable sur I et si f0 est bornée, alors f est uniformément continue sur I Par contre si f0 est non bornée , alors on sait que f n’est pas
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Problème 1 : continuité uniforme
D’après la remarque précédente, P n’est pas uniformément continue sur R 7 2 De même, puisque lim x→+∞ ex x =+∞ d’après un théorème de croissances comparées, la fonction exponentielle n’est pas uniformément continue sur R 8 Théorème de Heine 8 1 Puisque G n’est pas uniformément continue sur [a,b],
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Exercice 1 Corrig´e
(La fonction est f(x) = x2 est mˆeme Lipschitzienne sur [a,b] et donc uniform´ement continue sur [a,b]) 3 L`a le probl`eme se pose a l’infini On va raisonner comme dans le cas 1 ∃ε 0 = 1 tq ∀α>0,∃n ∈ N∗ tel que 1 n 1 1 Exercice 2 Prolongement par densit´e Soient fet gdeux fonctions d
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Planche no 21 Continuité : corrigé
La fonction g est continue sur [a,b]puisque f l’est De plus, g(a)=f(a)−a >0 et g(b)=f(b)−b 60 D’après le théorème des valeurs intermédiaires, g s’annule au moins une fois sur [a,b]ou encore, l’équation f(x)=x admet au moins une solution dans [a,b] Exercice no 3 Puisque f(x) x tend vers ℓ ∈ [0,1[, il existe A > 0 tel que pour x >A, f(x) x 6 ℓ +1 2 < 1 Ainsi, f(A) 6A
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Fonctions continues
Fonctions continues Exercice 1 Fonction périodique Soit f: R → R et T > 0 On suppose que f est T-périodique cad : ∀x ∈ R, f(x+T) = f(x) 1) Si f possède une limite en +∞, montrer que f est constante 2) Si f est continue non constante, montrer que f a une plus petite période 3) Si f est continue, montrer que f est bornée et atteint ses bornes Exercice 2 Fonction ayant des
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431 Critères de continuité - pagesperso-orangefr
4 3 Applications linéaires 4 3 1 Critères de continuité Théorème : Soient E et F deux espaces vectoriels normés et u: E → F une application linéaire Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) u est continue en 0; (ii) u est continue dans E; (iii) u est uniformément continue dans E; (iv) u est lipschitzienne; (v) u est bornée sur la boule unité; (vi) u est bornée sur la
ƒ non u-continue sur I ⇒ ƒ non lipschitzienne sur I Exercice : Comportement global d'une fonction uniformément continue Soit ƒ : + → une application
fc f abfd fdd a e b e c
x est uniformément continue sur R+ (c) Montrer que la fonction g n'est pas lipschitzienne sur R+ (5) (a) En considérant les deux suites de réels (xn)n∈N et
CAPESdevoir
x est uniformément continue sur R+ (c) Montrer que la fonction g n'est pas lipschitzienne sur R+ 5 (a) En considérant les deux suites de réels (xn)n∈N et
Correction session
Montrer que la fonction f(x) = x2 n'est pas uniformément continue sur [0, +∞[ Corrigé 1 (La fonction est f(x) = x2 est même Lipschitzienne sur [a, b] et donc
dm corr
Pour tout x ∈ R+ fixé, la fonction t ↦→ f(x, t) est continue sur R+ Si on note g la Ainsi, la fonction racine carrée est uniformément continue sur [0,+∞[ 4 Montrer que la fonction racine carrée n'est pas lipschitzienne sur [0,+∞[ Supposons
fetch.php?media=programmes ue l :topologie mesure:partiel matheco correction
Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément Exercice 10 f et g sont lipschitziennes bornées, démontrer que f g est lipschit- Exercice 14 Démontrer que f : x → 3 x est uniformément continue sur R (mais non
colle
Prolongement d'une fonction uniformément continue 30 2 5 Fonctions Lipschitziennes Dérivabilité en un point non isolé du domaine de définition
SMIA An Continuit C A D C A rivabilit C A
1 f n'est pas uniformément continue sur I si et seulement si ∃ε > 0/ ∀η>0, ∃(x, y ) ∈ I2/ (x − y ⩽ η et f(x) − f(y) > ε) 2 Soit f une fonction k-lipschitzienne sur
Capes M Corrige
SAVOIR REFAIRE : Montrer que toute fonction lipschitzienne est continue Donner 3 exemples de fonction non uniformément continue, mais continues
QC
donc la fonction racine carrée est bien uniformément continue sur R+ 4 3 Montrer que la fonction g n'est pas lipschitzienne sur R+ Supposons que g soit
CAPES co
ƒ non u-continue sur I ? ƒ non lipschitzienne sur I. Exercice : Comportement global d'une fonction uniformément continue. Soit ƒ : + ? une application
19 janv. 2012 uniformément continue sur R. (b) La fonction h est-elle lipschitzienne sur R? (6) On considère les fonctions définies sur R+ par h1( ...
Donc la fonction f est 1-lipschitzienne sur R et en particulier f est uniformément continue sur R d'après la question 2.
SAVOIR REFAIRE : Montrer que toute fonction lipschitzienne est continue. Donner 3 exemples de fonction non uniformément continue mais continues.
?x est uniformément continue mais non lipschitzienne sur [0 1]. • Si f : R ?? R est une fonction continue admettant des limites finies en ±?
Montrer que toute fonction lipschitzienne sur I est uniformément continue sur I. uniformément continue sur R+ et donc pas non plus sur R.
Donner un exemple de fonction continue mais non uniformément conti- nue ainsi qu'un exemple de fonction uniformément continue qui n'est pas Lipschitzienne.
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue. Preuve. Exercice 2.10. Vérifiez les points non démontrés dans le point 1.2.5. Exercice 2.8.
Donner des exemples de normes sur l'espaces des fonctions continues sur un intervalle : traité Une application lipschitzienne est uniformément continue.
En déduire que la fonction cosinus est lipschitzienne. A.8 Montrer que toute application lipschitzienne est uniformément continue. Donner en justifiant sa
Théorème : les fonctions lipschitziennes sont uniformément continues Raisonnons par contraposition et montrons : non (i) ? non (ii)
(1) Écrire à l'aide de quantificateurs la proposition f n'est pas uniformément continue sur I (2) On rappelle qu'une fonction est lipschitzienne sur I de
Donc la fonction f est 1-lipschitzienne sur R et en particulier f est uniformément continue sur R d'après la question 2
Exercices 4 3 24 à 4 3 26 La notion d'application lipschitzienne est plus facile à appréhender que celle d'application uniformément continue car
Une fonction uniformément continue n'est pas nécessairement lipschitzienne En effet il suffit de considérer la fonction de [01] dans [01] f : x ?? ?
Toute fonction uniformément continue est continue mais la réciproque est fausse Exercice 2 3 Montrer que la fonction x ?? x2 n'est pas uniformément
— Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné est uniformément continue (Heine) Exemple des fonctions lipschitziennes Enfin en quelle couleur
Une famille importante de fonctions uniformément continues sur un intervalle est celle des fonctions lipschitziennes sur cet intervalle
En déduire que la fonction cosinus est lipschitzienne A 8 Montrer que toute application lipschitzienne est uniformément continue Donner en justifiant sa
Exercice 1 Uniforme continuité 1 Montrer que la fonction définie par f(x) = 1/x n'est pas uniformément continue sur ]0 1] 2 Soit ?? < a < b < +?
Comment montrer qu'une fonction est uniformément continue ?
f est uniformément continue veut dire que : Pour tout ?>0, il existe ?>0 tel que pour tout points x,y dans R, x?y<? implique que f(x)?f(y)<?. En mots, si la distance entre x et y est assez petit, alors la distance entre f(x) et f(y) est petit également.Comment montrer qu'une fonction n'est pas lipschitzienne ?
parmi les fonctions à une variable, définies et continues sur un intervalle I?R, les fonctions non lipschitziennes sont celles qui ont au moins une tangente verticale quelque part sur I.Est-ce que toute fonction continue est lipschitzienne ?
Toute fonction lipschitzienne est uniformément continue et toute fonction localement lipschitzienne est continue. En effet, les fonctions lipschitziennes sont exactement les fonctions 1-höldériennes, or toute fonction höldérienne est uniformément continue.- En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction. Tout d'abord, une fonction f est continue si à des variations infinitésimales de la variable x correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
Fonctions continues et uniformement continues